Решения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238819), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Тогда два корня уравнения (Р3.37)можно переписать как02"'[0~ -0~(Р3.38)-1-0 2о +0 4оПоскольку мы ищем связанное решение, то 0 должнотельно, поэтому выбираем первый корень. А так как 00и 0 = ~2МЕа / 2tz, имеемV - MW022tz2 .обыть действи= ~2МV0 а/ 2tz(Р3.39)Теперь видно, что разложение в ряд Тейлора второго порядка былонеобходимо нам для того, чтобы получить критически важный второй член в этом уравнении.Далее, в соответствии с уравнением (Р3.17Ь) имеет место равенствоК=~2M(V0 -Е)nMW0(Р3.40)---п2•Как мы видим, этот коэффициент не зависит от а в пределе а ~ О, еслиV0 a = W 0остается постоянным, и согласуется с тем, что мы нашли впредыдущем упражнении.90РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫРешение для упражнения3.43.Частица изначально приготовлена в связанном состоянии исходного потенциала (см.
упр.при к 0=W0 M33.41):/ 1i 2 • После внезапного изменения потенциала связанное состояние задается другой волновой функцией:'V1(х) = rк{ек,х' х <о'1/1\.1где к 1е-к,х, х>О'= 2W0 M / 1i 2 • Вероятность того, что частица останется в связанном состоянии нового потенциала, задается, согласно постулату обизмерениях, квадратом скалярного произведенияpr = i('Vo l'V1)l =2~ ll ljl; (x)ljl ,(x)dxl'~ к,к, 12у e-' 'e-'''dxl'0=КоК112Ко +к11289Рис. РЗ.2. Двойной дельта-потенциал (упр.3.44)и волновые функции четного и нечетного энергетического собственного состоянияРешение для упражнения3.41.3.44.Следуем логике решения упр.Потенциал за пределами ям равен нулю, так что общие нечетные и четные волновые функции в этих областях будут иметь вид91ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯ(Р3.41)и(Р3.42)соответственно, где ке,о = ~2М(-·Ее,о) / h (нижние индексы е и о означают «четный» и «нечетный»), а А и В оба действительны и положительны (рис.3.2).В отличие от случая с единственной потенциальнойямой, мы не можем исключить нечетное решение аpriori.Рассмотрим четное решение подробно.
Условие непрерывностипри х =±а дает Ае(е"·а+ е-к,а) = Вее-к,аили Ве= Ае(е 2 "'а + 1). Тогда разрыв производной в этой точке=-А к (е"'а -е-к,а)-В к е-к,аееее==-Аеке(е"•а -е-к,а +е"'а +е-к,а)== -2Аекеек,а.Уравнение (Р3.33) для нашего случая принимает вид(Р3.43)так что, используяке= к (1 + е-Zк,а)О\jf(±a) = Ае(е"'а+е-к,а), находим:(Р3.44)'где к 0 = Wo~ есть коэффициент снижения волновой функции в слуhчае единичного дельта-потенциала (обозначаемый к в упр.3.41).Мывидим, что в пределе при а ~ оо это решение стремится к таковому дляединичной потенциальной ямы.Для конечного расстояния между ямами (Р3.44) трансцендентально.
Найдем приблизительное решение для случая к 0 ашем ке92= к 0 (1+о). Тогда (Р3.44)принимает вид» 1. ЗапиРЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫоткуда получаем, что () < е-2 " 0 а, а значит, 2()к 0 а «можем записать в первом порядке е- 20" 0 а = 1, так что31. Поэтому мы() = е-2 к 0 а и(РЗ.45)Соответствующая энергия равнаЕ =- (nк.)2 =- (1iко)2 (1+())2 ~- Wo2M (1+2<>)=е2М(РЗ.46)21i 22Мw м= __o_(l + 2е-2к 0 а ).22п 2Рассуждения для нечетного случая аналогичны, но в этом случаесдвиг энергии противоположен:Е =оWo2 М (1- 2е-2коа) .21i2(РЗ.47)Решение для упражнения 3.45. Пусть 'l'ед (х) - волновая функция(3. 71), соответствующая единичной потенциальной яме в виде дельтафункции. Тогда для к 0 а » 1 нечетное (РЗ.41) и четное (РЗ.42) решения задачи с двойной ямой могут быть аппроксимированы как( ) - 'l'ед(х-а)-'l'ед(х+а)J2'\jl 0 Х -J2(множительИ'l'e( )- 'l'ед(х-а)+'\j1 0д(х+а)J2Х -возникает из-за нормирования). Теперь выразимлокализованные состояния через энергетические собственные состояния следующим образом:( _ )- '1'.(x)+'\jl 0 (x)'l'ед ха-J2(и 'l'ед х+а)- '1'.(x)-'1j1 0 (x)-J2Эти состояния взаимно ортогональны с хорошим приближением.Волновая функция начального состояния '\jl(X, О)энергии Ее,о= Е0 += 'l'ед(х -а).
ЗнаяЛ четного и нечетного состояний, гдеЕ =- Wo2M и Л= Wo2M е-2коао21i2ti293ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯкак найдено в упр.\jl(x,t)=3.44,мы записываем эволюцию в виде:~[ 'l'.(x)exp(-i ~· t)+\j/ (x)exp(-i ~0 t)]=0=~ ехр ( - i ~о t) [ \jl е х) ехр ( i ~ t) + \jl х) ехр ( -i ~ t)] ==~exp(-i ~о t )[ (\jl ед (х-а) + \jl ед (х +а) )ехр( i ~ t) +(0 (+("'ед (x-a)-\jl ед (х+ а) )exp(-i ~ t)] == exp(-i~о t )[ 'l'eд(x-a)cos( ~ t) + i'l'eд(x + a)sin( ~ t)JОтсюда вероятность найти систему в состоянии с волновой функцией'l'ед(х +а) равна sin ~ t).2 (Решение для упражнениядва связанных состояния1'1'1 )Предположим, что существует3.46.и1'1'2 ),соответствующие одной и тойже энергии Е.
Стационарные уравнения Шрёдингера(3.60)для этихсостояний имеют видп2-'l'~'(x)2М= [V(x)- E]\jf 1 (х)ип2-\jl~(x)=[V(x)-E]\jl 2 (x).2МУмножим левую часть первого уравнения на правую часть второго, инаоборот. Во всех точках, гдеV(x) -Е* О, имеет место равенствоилиПоследнее уравнение можно переписать как94РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ3из чего мы делаем вывод, чтоКонстанта в правой части данного уравнения должна быть равнанулю, поскольку известно, что состояние связанное, т. е. при х ~ ±оо иволновые функции, и их производные обращаются в нуль. Разделивобе части этого равенства на \lf; (х), получаемво всех точках, где \lf /x)* О, или\lfi(x) =const\lf2(X)'так что обе волновые функции пропорциональны друг другу.Следует признать, что изложенное доказательство не применимо кточкам, в которых\lf2(x) = О или V(x) = Е.
Предлагаю читателю проработать эти случаи самостоятельно.Решение для упражнения3.49. Поскольку фазовая скорость волныk равна uрь = р/2.М =де Бройля с импульсом р и волновым числом= nk/2.М, то у нас получатся следующие токи плотности вероятности:· =(~)~.1л1 2Jл2М"vдля падающей волны,(-n )· =kv IА l2 ( kv - k1 )Jв 2Мkv +k12для отраженной волны и2 kv +k1 2· =(2М )k 1л1 (~)Jc11iдля прошедшей волны.Соответственно, коэффициент отражения равен95ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯкоэффициент пропускания равена их сумма равна единице.Коэффициент отражения стремится к единице при Е ~когдаk1 ~О)и к нулю при Е ~ оо (т.
е. когдаk0-k1 ~О).V0(т. е.Коэффициент пропускания ведет себя противоположным образом.Решение для упражнения3.50.Если энергия Е ниже уровняпотенциального барьера, решение стационарного уравнения Шрёдингера после барьера представляет собой убывающую экспоненту:111(Е х)'!"'-+ Be-iJc,,x х <О{ Ае;1с,,х'с -кхо'егде ko = .J2ME /(РЗ.48),х~n, к= ~2M(V0 -Е) /n. Обратите внимание, в этом случае нет D-волны, потому что она показывала бы при х ~ оо экспоненциальный рост. Условие непрерывности теперь принимает видА+В=С;ik0 (A -В) = -кС.Эта система двух линейных уравнений легко решается и даетВ=А iko+к.·z. -к 'l"QС=А 2iko .iko -кТак как 1~ko+к 1=1, амплитуды падающей и отраженной волн (А и1kо-кВ соответственно) одинаковы по абсолютной величине.
Более того, этиволны распространяются с одинаковыми фазовыми и групповымискоростями, а потому имеют одинаковый ток плотности вероятности.Следовательно, коэффициент отражения равен единице.РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫРешение для упражненияНачальный волновой пакет3.51.можно переписать в базисе волновых чисел, согласно1'1'(0)) = ((3.52),этого состояния. В упр.k03.29иk 1•как(Р3.49)~ J/4Iе-iкае-к'd'121 ko +к) dк:'где к мала по сравнению с3Наша цель-вычислить эволюциюнам помогало то, что собственные состояния импульса в правой части уравнения (Р3.49) автоматически являлись и собственными состояниями энергии.
Здесь это уже не так.Однако с учетом заданных предположений мы можем с высокой степенью точности заменить импульсные собственные состояния в разложении выше на соответствующие энергетические собственные состояния.Чтобы убедиться в этом, запишем собственные состояния энергии(3. 76)в виде'2МVо(xl '1' бар (к))= Aei(f<oнJxe(-x) + Be-i(f<oнJxe(-x) +Се; U<o+кJ ----;;zx 8(х), (Р3.50)где В и С связаны с А согласно уравнениювой части уравнения (Р3.50)ции(xlk:a~Первый член пра-идентичен волновой функ-lk 0+к) слева от барьера дляА-волна+к)= ~ei(f<oнJx состояния'121t1А=-(3. 78а)..
Второй член (В-волна) тоже располагается слева от барьера,'121tно имеет отрицательное волновое число. Третий член (С-волна) расположен справа от барьера. Исходный волновой пакет располагаетсяпочти полностью далеко слева от барьера и состоит, тоже почти полностью, из волн с положительными волновыми числами. Это означает, что его разложение (Р3.49) можно переписать какld2 ) 1/ 4 e-iкae-•'d' /21 'I' бар (к)) dк: .1'1'(0)) = ( -;-(Р3.51)Теперь, поскольку каждое l'l'бар(к)) есть собственное состояниенашего гамильтониана, мы можем найти эволюцию приведенноговыше состояния во времени согласноl;d2) 1/ 4 e-"E,1e-i•ae-•'d'/2l'l'бap(к))dк'l'l'(t))= ( -;-где энергия каждогонами по к) Е. = h (ko2(Р3.52)l'1'6a (к)) равна (пренебрегая квадратичными чле+к)~ / 2М ""(h 2 / 2М)(Тс; + 2k:a к). Находим для век-тора состояния97ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯl'VCt)) =(d: J/4 е-iМф/2м 7е -1к(а+ п~,t)е-к'd' /21 'Vбар (к)) dк(РЗ.53)и для его волновой функции\j/(x,t)=( ~ J/4 е-111ф;2м7е-iк(а+~t)е-к',1';2 (xl'Vбar(к))dк.(РЗ.54)Теперь мы можем вычислить интеграл в уравнении (РЗ.54) длякаждой волны в уравнении (РЗ.50) по отдельности.
Общим фазовыммножителем e-;r,1<,ir;zм и вариацией амплитуд В и С в зависимости отмалого параметра к можно пренебречь.А-волна. Применив стандартные правила преобразования Фурье(упр. Г.5), получаем:. ( d2'Vл(x,t)=A8(-x)e'kox--;-2=A8(-x)eikox()114+сюf -iк(а+ h~J t)~е22·м е-кd/ 2 е'кхdк=(x-a-Mt""" )'1/4~) Г2j е- ~(х-а- "5> t )=8(-x)e'kox (-1-)1/4 е------ы.1:Jtd2(РЗ.55)2-Это гауссов волновой пакет, центр которого располагается в точкех =а+ nko t и распространяется со скоростью hk0/M в положительноммнаправлении. Когда пакет доходит до барьера (т.
е. в точкеt6ap-аМ= - - ),tzkoон пропадает из-за множителя 8(-х). Перед тем как это произойдет,полная вероятность, связанная с этим волновым пакетом, будет равнаt<юрrл = Jl'V л (x,t)l2dx=1.В-волна обрабатывается аналогично, за исключением того, что интеграл соответствует обратному преобразованию Фурье. Мы получаем. ( d2 )1/4 .J2ir,'Vв(x,t)=B8(-x)e-'kox --;-de(х+а+ ti~t )'(3.78а)zd'=(З.78а)Z.. - k. ( 1 )1/4 -(x+a+'~t= _"'о_ _ 8(-x)e-1kox - - е 2d1ko + kl98Jtd2)'РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ3Этот волновой пакет представляет собой зеркальное отображениеt =О он расположен в х =-а, но «невидим» из-запредыдущего.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
