Решения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238819), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Однако этих расчетов удастсяизбежать, если вспомнить, что состояниеl'P-) изотропно. Если иАлиса, и Боб повернуr свои системы отсчета на угол л/8, состоя-56РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ2ние l'11-) не изменится, оператор Nл в пространстве Алисы превратится в Мв , а оператор Мв в пространстве Боба станет Мл .Таким образом, в новой системе отсчета нам нужно вычислитьматожидание оператора Мв ®Мл . Поскольку состояние l'11-)антисимметрично по отношению к обмену Алисы лна Б~баместами, искомое матожидание равно матожиданию Мл ®Мвопределенному в части (а), т.
е.d)-1/J2.,Если мы повернем системы отсчета Алисы и Боба на л/4, операторы NА и Nв станут МА и Мв соответственно. Искомое матожидание опять же равно (МА ®Мв)= -1 / J2.Решение для упражнения2.51. Поскольку мы играем роль«адвоката дьявола», то можем делать любые предположения относительноработы источника единичных частиц, несомой этими частицамиинформации и способа, посредством которого приборы Алисы и Бобаее интерпретируют,-если только наши допущения не противоречатлокальному реализму. Предположим поэтому, что каждая частицанесет с собой два бита информации о том:•при нажатии наблюдателем какой кнопки-Мили N-получивший эту частицу прибор должен показать какое-либо значение;•какое значение -+1 или -1 -должен показывать прибор в случае,если нажатая наблюдателем кнопка соответствует первому биту.Источник назначает первые биты для каждой пары частиц случайным образом. Вторая пара битов выбирается тоже случайно, но ссоблюдением следующих условий:•если первые биты частиц и у Алисы, и у Боба равны М, то втораяпара битов должна демонстрировать среднюю корреляцию(мАмв)=-1/J2.;•если первый бит частицы у Алисы равен М, а у Боба N, то втораяпара битов должна демонстрировать среднюю корреляцию(MANв)=1/J2.;•если первый бит частицы у Алисы равен N, а у Боба М, то втораяпара битов должна демонстрировать среднюю корреляцию(NAMв)=-1/J2.;•если первые биты частиц и у Алисы, и у Боба равны N, то втораяпара битов должна демонстрировать среднюю корреляцию(NANв)=-1/J2..57ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯТаким способом каждый прибор покажет какое-либо значение вполовине всех событий.
Если отзываются оба прибора, корреляциямежду их ответами будет подобна той, что наблюдается в квантовомслучае (упр.2.49), нарушая такимРешение для упражненияобразом неравенство Белла.2.52.Для событий, при которых детекторы на станциях и Алисы, и Боба работают правильно, что происходитс вероятностью prуспеха= ТJ 2 , имеет место равенство (S)успеха= 2J2. Еслина одной из станций случается ошибка и детектор не регистрируетфотон, что происходит с вероятностью рrошибки =1- Т] 2 ,между показанными на двух станциях значениями не будет никакой корреляции, т. е.(S)оши6 кн= О. Приняв во внимание оба эти типа событий, находим:(S) =prуспеха(S)успеха+ prошибки (S) ошибки= 2J2.n'1 2 •Таким образом, критическое значение эффективности, при котором1нарушается неравенство Белла(S) ~ 2, равноТ\min= 2- 4 = 0,84.2.53. Рассуждения здесь полностью аналогичны тем, что мы применили для упр. 2.46.
Мы вводим скрытые параРешение для упражненияметры Лл, Л.8 , ЛС' связанные с тремя частицами таким образом, что значения, показываемые на трех приборах, зависят от этих параметров так:(Р2.23)где каждый из индексовi, j, kможет принимать значения х или у.Теперь введем величину(Р2.24)Сумма (Р2.24) должна быть неотрицательной, потому что неотрицательны все ее слагаемые. Далее, при условии чтоLахА=-158111РГсrхАIЛл = l;Lсrхв=-1РГсrхпl'-н = l;Lахе=-1pr"~·l'-c = 1;(Р2.25)РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ2находимЭто означает, что величинуpr0хА•0уЛ•0хВ•0уВ•0хС•0.у(можно интерпретиро-вать как распределение вероятности.Решение для упражнения 2.54. Вспомнив, что &хи &У =-ilH)(VI+ ilV)(HI, находим= 1Н) (V 1+1 V) (Н 1а) &Хл ®&Ув ®&Ус IЧ1снz)= -1&Хл ®&Ув ®&Ус (IHHH)+IVVV))== -1&Хл ®&Ун (ilHHV)-ilWH))== -1&хл (-IHW)-IVHH))=1= .J2 (-IVVV)-IHHH)) = -IЧ1снz)·Для остальных двух операторов в пункте (а) доказательство аналогично.Ь) &хл ®&х 8 ®&хе IЧ1снz)= -1&хл ®&х 8 (IHHV)+IWH))== -1&хл (IHW)+IVHH))=1= .J2(1VVV)+IHHH))= IЧ1 снz)·.
Решение для упражнения 2.55. Декогеренция заключается в потереинформации о партнере атома по запуrыванию, т. е. о среде. Следуя рассуждениям подразд.2.2.4, находим, что, потеряв эту информацию, атомpri = l'Vi/ 2 •может находиться в любом из состояний /х) с вероятностьюРешение для упражнения2.56.Начальное состояние пары фотонов равно(Р2.26)59ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯПредположим, что измерение Алисы происходит первым. Посколькуоно делается в базисе {le),l~+e)}, запутанность между системой иприбором Алисы будет выглядеть следующим образом:l'PSA)= ~(lшл1)®le)®l%+e )-lшл2)®l%+е )®le)) == ~[[шAl)®le)®(-sinelH)+coselv))--1шл2)®1 ~ +е) ®(cos е 1н) +sin е 1v))],где lш 1 ,) может соответствовать лавинам в детекторах1и2соответственно.
Теперь Боб запутывает свой прибор с этим состоянием иполучает['Р sлв) = ~ [lшл~) ®le) ®(-sinel Н) ®[ш 81 )+ coselv) ®1ш 82 ) ) --lшл 2 ) ®1%+ е) ®(coselH) ®[ш81 ) +sinel V) ®1ш82 )где индексSAB)],в левой части уравнения означает совокупностьсистемы, прибора Алисы и прибора Боба.Решение для упражнения2.57. Число ветвей,содержащихkиз презультатов с горизонтальной поляризацией, задается комбинаторным выражениемn!( n)k - k!(n-k)! ·Поскольку полное число слагаемых в суперпозиции равно2", доляслагаемых, которые интересуют нас, составляет(Р2.27)n!( n)/2" _k2"k!(n-k)!Решение для упражнения2.59.Без потери общности предположим, что п четное, и найдем логарифм отношения между числом слагаемых, которые содержат60kкомпонентов с горизонтальной поляри-РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫзацией, и слагаемых, содержащих2n/2 таких компонентов. Воспользовавшись приближением Стирлинга, получаемr = log[=log(~)/(n~2 )]=[(n/2)!]2k!(n-k)!(Р2.28)= 2 log[( п / 2)!]- log[( п / 2 + 8)!]-log[(n / 2-8)!]"'"'n[log(n /2)-1]-(n/2+ 8)[Iog(n /2+8)-1J--(n / 2-8)[Iog(n / 2-8)-1 ],гдеS = k - n/2.Теперь, воспользовавшись разложением Тейлора, аппроксимируем8) = logx±--8 822 +0(83 ) .log(x±8)= logx+ log ( 1±хх(Р2.29)2хПодставив этот результат в (Р2.28), находим28 28 2 -1 ] r"' n[log(n / 2)-1]-(n /2+8) [ log(n /2)+-;728 28 2 ]-(n/2-8) [ log(n/2)-----1пиз чего следует уравнениеn2(2.41).Решение для упражненияа) В упр.28 2=--,п2.602.57 мы нашли, что в дереве, изображенном на рис.
2.5 а,k сплошных ветвей (соответствующихчисло путей, содержащихнаблюдению горизонтальной поляризации) и п- kпунктирныхветвей (вертикальная поляризация), равно ( ~) . Каждая сплошная ветвь на рис.2.5а заменяется на тн ветвей на рис.тогда как каждая пунктирная ветвь заменяется наПоэтому число путей сk сплошнымии пmv2.5Ь,ветвей.- k пунктирнымивет-вями на рис. 2.5 Ь равно ( ~) m~ml-k.61ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯЬ) См.
рис.2.6,Ь.с) Следуя за рассуждениями в предыдущем упражнении, найдемлогарифм отношения между числом слагаемых, содержащихkкомпонентов с горизонтальной поляризацией, и тех, что содержатa 2nтаких компонентов. Установим о=k - a 2 n.Воспользовавшись результатом пункта а), а также тем фактом, что дельтамного меньшеn,получимприбл. Стирлинrа(loga 2 - logp 2)о++a 2n(log a 2n -1) + p2n(log p2n -1)-( a 2n + o)(log(a 2n + о)-1)""-(P2n-o)(log(p 2n-o)-l)(Р2.29)""(Р2.ЗО)=(loga 2 -logp 2)0++a 2n(log а 2 + log п -1) + p2n(log р 2 + log п - l)-(a2n + o)(log a2 + logn+__0__-~-1)a2n 2a 4n 2-(p 2n-0)(1ogp 2+logn-~-~-1)""p2n 2p4n2В этом преобразовании мы воспользовались тем, что mнfmv = а2 /р 2и а2+р2 =1.Решение для упражнения2.61а) Из описания оператора мы сразу можем вывести, что62РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ2Ь) Аналогичным образом,c-=rьase 1оо)(оо1+101)=(011+110)(101-111) (111 = [1ll](Р2.32)-1с) Вентиль Адамара в локальном пространстве отображаетIO)~l+)=(IO)+l1))/.J2 и 11)~1-)=(I0)-11))/.J2.
В составномпространстве локальный вентиль Адамара у Боба отображает100)~10+);101)~10-);110)~11+);111)~11-)и, соответственно, может быть записан какi ® н =10+)(001+10-)(011+11 +)(101 +11-)(111.Теперь, воспользовавшись (А.21), найдем в каноническом базисел л 1~ ~11l®H = .J21 1] .(Р2.ЗЗ)1 -1Все эти операторы унитарны (мы можем это вывести из определения унитарности или просто заметить, что каждый из них отображаетодин ортонормальный базис на другой ортонормальный базис).
Этоозначает, что их можно реализовать в физическом процессе.Решение для упражнения2.62.Умножив матрицу (Р2.33) на(Р2.32), а затем снова на (Р2.ЗЗ), получаем матрицу (Р2.31).Решение для упражнения2.63.Поскольку гамильтониан можетбыть записан какн = 01нн)(нн1+01нv)(нv1+01vн)(vн1+пrolvv)(vvl,63ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯоператор эволюции равен:i'еДля--Hth= е 0 IHH)(HHl+e0 IHV)(HVl+e0 IVН)(VНl+e-iм IW)(WI.wt =л получаем:i'e-hнr =IHH)(HHl+IHV)(HVl+IVH)(VНl-IW)(WI,что соответствует вентилю С- Phase.2.64. В применении к системе и приC-NOT, или управляемое «НЕ» (Р2.31), приним.аетРешение для упражнениябору одновременновид:Этот оператор преобразует систему в состоянии, таком какприбор в состоянии1(2.32),иw) вв соответствии с выражением фон Неймана(2.33).2.65.
Применяя вентиль C-NOT (Р2.31)к разделимому состоянию (IO)+l1))®IO)/J2, получаем состояние(100) +111))/ J2=1 Ф+), которое, как мы знаем из упр. 2.6, запутанно.То, что вентиль C-Phase тоже может создавать запутанность, слеРешение для упражнениядует из того факта, что он может быть выражен как произведениелокальных унитарных операторов (вентилей Адамара) и вентиляC-NOT.Как нам известно из упр.2.22,локальный унитарный оператор не может изменить свойство запутанности состояния. Следовательно, если вентильC-NOTсоздает запутанность, то вентильC-Phase тоже это делает.Вот конкретный пример: применив вентильC-Phase(Р2.32)1к разделим ому состоянию 1++) =-(100) +1О1) +11 О)+ l11)) , мы получим211-(IOO)+IOl)+ll0)-111))= rn-(IO+)+ll-)). Это состояние запутанно,1~22потому что оно получено из состояния Белла IФ+)=посредством операции Адамара над вторым фотоном.64J2(IOO)+l11))РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫРешение для упражненияствию вентиляC-NOT,2.66.2Подвергнув состояния Белла дейполучимlчi+)= ~(lнv)+IVH))~ ~(IHV)+lw))=l+V);1ч~-)= ~(IHV)-IVH))~ ~(IHV)-lw))=l-V);IФ+)= ~(IHH)+IW))~ ~(IHH)+IVH))=l+H);IФ-)= ~(IHH)-lw))~ ~(IHH)-IVH))=l-H).Теперь, измеряя первый фотон в диагональном базисе, а второй-в каноническом, мы можем различить все четыре состояния.Решение для упражнения2.67а) lx)®lчi-)=(alH)+PIV))® ~(IH)®IV)-IV)®IH))=1(Р2.35)= .J2(aiHHV)-aiHVH)+PIVHV)-PIWH)).Ь) Из определения состояний Белла находим(Р2.Зб)(Р2.37)(Р2.38)(Р2.39)с) Используя результаты двух предыдущих пунктов, выводимlx)®lчi-) =~(alФ+v)+alФ-v)-alчi+ н)-аlч~-н)+(Р2.40)+Plчi+v)-Plчi-v)-PIФ+ н)+РIФ-н)).65ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯd)Вынося за скобки состояния Белла в уравнении (Р2.40), получаемlx)®IЧ1-) = ~IЧ1-)(-a1H)-PIV) )+~1 \f/+ )(-аlн) + PI v) )+(Р2.41)+~IФ-)( alV)+ PIH) )+ ~IФ+ )( aiV)-PIH) ).Это выражение имеет такой же вид, как и уравнение(2.15).Измерение Алисы случайным образом выберет одно из четырех слагаемых в приведенном выражении и приготовит в локации Бобасоответствующее состояние.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
