Главная » Просмотр файлов » Решения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А.

Решения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238819), страница 7

Файл №1238819 Решения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А. (Решения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А.) 7 страницаРешения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238819) страница 72020-10-28СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Однако этих расчетов удастсяизбежать, если вспомнить, что состояниеl'P-) изотропно. Если иАлиса, и Боб повернуr свои системы отсчета на угол л/8, состоя-56РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ2ние l'11-) не изменится, оператор Nл в пространстве Алисы пре­вратится в Мв , а оператор Мв в пространстве Боба станет Мл .Таким образом, в новой системе отсчета нам нужно вычислитьматожидание оператора Мв ®Мл . Поскольку состояние l'11-)антисимметрично по отношению к обмену Алисы лна Б~баместами, искомое матожидание равно матожиданию Мл ®Мвопределенному в части (а), т.

е.d)-1/J2.,Если мы повернем системы отсчета Алисы и Боба на л/4, опера­торы NА и Nв станут МА и Мв соответственно. Искомое мат­ожидание опять же равно (МА ®Мв)= -1 / J2.Решение для упражнения2.51. Поскольку мы играем роль«адво­ката дьявола», то можем делать любые предположения относительноработы источника единичных частиц, несомой этими частицамиинформации и способа, посредством которого приборы Алисы и Бобаее интерпретируют,-если только наши допущения не противоречатлокальному реализму. Предположим поэтому, что каждая частицанесет с собой два бита информации о том:•при нажатии наблюдателем какой кнопки-Мили N-получив­ший эту частицу прибор должен показать какое-либо значение;•какое значение -+1 или -1 -должен показывать прибор в случае,если нажатая наблюдателем кнопка соответствует первому биту.Источник назначает первые биты для каждой пары частиц слу­чайным образом. Вторая пара битов выбирается тоже случайно, но ссоблюдением следующих условий:•если первые биты частиц и у Алисы, и у Боба равны М, то втораяпара битов должна демонстрировать среднюю корреляцию(мАмв)=-1/J2.;•если первый бит частицы у Алисы равен М, а у Боба N, то втораяпара битов должна демонстрировать среднюю корреляцию(MANв)=1/J2.;•если первый бит частицы у Алисы равен N, а у Боба М, то втораяпара битов должна демонстрировать среднюю корреляцию(NAMв)=-1/J2.;•если первые биты частиц и у Алисы, и у Боба равны N, то втораяпара битов должна демонстрировать среднюю корреляцию(NANв)=-1/J2..57ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯТаким способом каждый прибор покажет какое-либо значение вполовине всех событий.

Если отзываются оба прибора, корреляциямежду их ответами будет подобна той, что наблюдается в квантовомслучае (упр.2.49), нарушая такимРешение для упражненияобразом неравенство Белла.2.52.Для событий, при которых детек­торы на станциях и Алисы, и Боба работают правильно, что происходитс вероятностью prуспеха= ТJ 2 , имеет место равенство (S)успеха= 2J2. Еслина одной из станций случается ошибка и детектор не регистрируетфотон, что происходит с вероятностью рrошибки =1- Т] 2 ,между показан­ными на двух станциях значениями не будет никакой корреляции, т. е.(S)оши6 кн= О. Приняв во внимание оба эти типа событий, находим:(S) =prуспеха(S)успеха+ prошибки (S) ошибки= 2J2.n'1 2 •Таким образом, критическое значение эффективности, при котором1нарушается неравенство Белла(S) ~ 2, равноТ\min= 2- 4 = 0,84.2.53. Рассуждения здесь полностью анало­гичны тем, что мы применили для упр. 2.46.

Мы вводим скрытые пара­Решение для упражненияметры Лл, Л.8 , ЛС' связанные с тремя частицами таким образом, что значе­ния, показываемые на трех приборах, зависят от этих параметров так:(Р2.23)где каждый из индексовi, j, kможет принимать значения х или у.Теперь введем величину(Р2.24)Сумма (Р2.24) должна быть неотрицательной, потому что неотри­цательны все ее слагаемые. Далее, при условии чтоLахА=-158111РГсrхАIЛл = l;Lсrхв=-1РГсrхпl'-н = l;Lахе=-1pr"~·l'-c = 1;(Р2.25)РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ2находимЭто означает, что величинуpr0хА•0уЛ•0хВ•0уВ•0хС•0.у(можно интерпретиро-вать как распределение вероятности.Решение для упражнения 2.54. Вспомнив, что &хи &У =-ilH)(VI+ ilV)(HI, находим= 1Н) (V 1+1 V) (Н 1а) &Хл ®&Ув ®&Ус IЧ1снz)= -1&Хл ®&Ув ®&Ус (IHHH)+IVVV))== -1&Хл ®&Ун (ilHHV)-ilWH))== -1&хл (-IHW)-IVHH))=1= .J2 (-IVVV)-IHHH)) = -IЧ1снz)·Для остальных двух операторов в пункте (а) доказательство ана­логично.Ь) &хл ®&х 8 ®&хе IЧ1снz)= -1&хл ®&х 8 (IHHV)+IWH))== -1&хл (IHW)+IVHH))=1= .J2(1VVV)+IHHH))= IЧ1 снz)·.

Решение для упражнения 2.55. Декогеренция заключается в потереинформации о партнере атома по запуrыванию, т. е. о среде. Следуя рас­суждениям подразд.2.2.4, находим, что, потеряв эту информацию, атомpri = l'Vi/ 2 •может находиться в любом из состояний /х) с вероятностьюРешение для упражнения2.56.Начальное состояние пары фото­нов равно(Р2.26)59ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯПредположим, что измерение Алисы происходит первым. Посколькуоно делается в базисе {le),l~+e)}, запутанность между системой иприбором Алисы будет выглядеть следующим образом:l'PSA)= ~(lшл1)®le)®l%+e )-lшл2)®l%+е )®le)) == ~[[шAl)®le)®(-sinelH)+coselv))--1шл2)®1 ~ +е) ®(cos е 1н) +sin е 1v))],где lш 1 ,) может соответствовать лавинам в детекторах1и2соответ­ственно.

Теперь Боб запутывает свой прибор с этим состоянием иполучает['Р sлв) = ~ [lшл~) ®le) ®(-sinel Н) ®[ш 81 )+ coselv) ®1ш 82 ) ) --lшл 2 ) ®1%+ е) ®(coselH) ®[ш81 ) +sinel V) ®1ш82 )где индексSAB)],в левой части уравнения означает совокупностьсистемы, прибора Алисы и прибора Боба.Решение для упражнения2.57. Число ветвей,содержащихkиз презультатов с горизонтальной поляризацией, задается комбинатор­ным выражениемn!( n)k - k!(n-k)! ·Поскольку полное число слагаемых в суперпозиции равно2", доляслагаемых, которые интересуют нас, составляет(Р2.27)n!( n)/2" _k2"k!(n-k)!Решение для упражнения2.59.Без потери общности предполо­жим, что п четное, и найдем логарифм отношения между числом сла­гаемых, которые содержат60kкомпонентов с горизонтальной поляри-РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫзацией, и слагаемых, содержащих2n/2 таких компонентов. Воспользо­вавшись приближением Стирлинга, получаемr = log[=log(~)/(n~2 )]=[(n/2)!]2k!(n-k)!(Р2.28)= 2 log[( п / 2)!]- log[( п / 2 + 8)!]-log[(n / 2-8)!]"'"'n[log(n /2)-1]-(n/2+ 8)[Iog(n /2+8)-1J--(n / 2-8)[Iog(n / 2-8)-1 ],гдеS = k - n/2.Теперь, воспользовавшись разложением Тейлора, аппроксими­руем8) = logx±--8 822 +0(83 ) .log(x±8)= logx+ log ( 1±хх(Р2.29)2хПодставив этот результат в (Р2.28), находим28 28 2 -1 ] r"' n[log(n / 2)-1]-(n /2+8) [ log(n /2)+-;728 28 2 ]-(n/2-8) [ log(n/2)-----1пиз чего следует уравнениеn2(2.41).Решение для упражненияа) В упр.28 2=--,п2.602.57 мы нашли, что в дереве, изображенном на рис.

2.5 а,k сплошных ветвей (соответствующихчисло путей, содержащихнаблюдению горизонтальной поляризации) и п- kпунктирныхветвей (вертикальная поляризация), равно ( ~) . Каждая сплош­ная ветвь на рис.2.5а заменяется на тн ветвей на рис.тогда как каждая пунктирная ветвь заменяется наПоэтому число путей сk сплошнымии пmv2.5Ь,ветвей.- k пунктирнымивет-вями на рис. 2.5 Ь равно ( ~) m~ml-k.61ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯЬ) См.

рис.2.6,Ь.с) Следуя за рассуждениями в предыдущем упражнении, найдемлогарифм отношения между числом слагаемых, содержащихkкомпонентов с горизонтальной поляризацией, и тех, что содер­жатa 2nтаких компонентов. Установим о=k - a 2 n.Воспользо­вавшись результатом пункта а), а также тем фактом, что дельтамного меньшеn,получимприбл. Стирлинrа(loga 2 - logp 2)о++a 2n(log a 2n -1) + p2n(log p2n -1)-( a 2n + o)(log(a 2n + о)-1)""-(P2n-o)(log(p 2n-o)-l)(Р2.29)""(Р2.ЗО)=(loga 2 -logp 2)0++a 2n(log а 2 + log п -1) + p2n(log р 2 + log п - l)-(a2n + o)(log a2 + logn+__0__-~-1)a2n 2a 4n 2-(p 2n-0)(1ogp 2+logn-~-~-1)""p2n 2p4n2В этом преобразовании мы воспользовались тем, что mнfmv = а2 /р 2и а2+р2 =1.Решение для упражнения2.61а) Из описания оператора мы сразу можем вывести, что62РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ2Ь) Аналогичным образом,c-=rьase 1оо)(оо1+101)=(011+110)(101-111) (111 = [1ll](Р2.32)-1с) Вентиль Адамара в локальном пространстве отображаетIO)~l+)=(IO)+l1))/.J2 и 11)~1-)=(I0)-11))/.J2.

В составномпространстве локальный вентиль Адамара у Боба отображает100)~10+);101)~10-);110)~11+);111)~11-)и, соответственно, может быть записан какi ® н =10+)(001+10-)(011+11 +)(101 +11-)(111.Теперь, воспользовавшись (А.21), найдем в каноническом базисел л 1~ ~11l®H = .J21 1] .(Р2.ЗЗ)1 -1Все эти операторы унитарны (мы можем это вывести из определе­ния унитарности или просто заметить, что каждый из них отображаетодин ортонормальный базис на другой ортонормальный базис).

Этоозначает, что их можно реализовать в физическом процессе.Решение для упражнения2.62.Умножив матрицу (Р2.33) на(Р2.32), а затем снова на (Р2.ЗЗ), получаем матрицу (Р2.31).Решение для упражнения2.63.Поскольку гамильтониан можетбыть записан какн = 01нн)(нн1+01нv)(нv1+01vн)(vн1+пrolvv)(vvl,63ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯоператор эволюции равен:i'еДля--Hth= е 0 IHH)(HHl+e0 IHV)(HVl+e0 IVН)(VНl+e-iм IW)(WI.wt =л получаем:i'e-hнr =IHH)(HHl+IHV)(HVl+IVH)(VНl-IW)(WI,что соответствует вентилю С- Phase.2.64. В применении к системе и при­C-NOT, или управляемое «НЕ» (Р2.31), приним.аетРешение для упражнениябору одновременновид:Этот оператор преобразует систему в состоянии, таком какприбор в состоянии1(2.32),иw) вв соответствии с выражением фон Неймана(2.33).2.65.

Применяя вентиль C-NOT (Р2.31)к разделимому состоянию (IO)+l1))®IO)/J2, получаем состояние(100) +111))/ J2=1 Ф+), которое, как мы знаем из упр. 2.6, запутанно.То, что вентиль C-Phase тоже может создавать запутанность, сле­Решение для упражнениядует из того факта, что он может быть выражен как произведениелокальных унитарных операторов (вентилей Адамара) и вентиляC-NOT.Как нам известно из упр.2.22,локальный унитарный опе­ратор не может изменить свойство запутанности состояния. Сле­довательно, если вентильC-NOTсоздает запутанность, то вентильC-Phase тоже это делает.Вот конкретный пример: применив вентильC-Phase(Р2.32)1к разделим ому состоянию 1++) =-(100) +1О1) +11 О)+ l11)) , мы получим211-(IOO)+IOl)+ll0)-111))= rn-(IO+)+ll-)). Это состояние запутанно,1~22потому что оно получено из состояния Белла IФ+)=посредством операции Адамара над вторым фотоном.64J2(IOO)+l11))РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫРешение для упражненияствию вентиляC-NOT,2.66.2Подвергнув состояния Белла дей­получимlчi+)= ~(lнv)+IVH))~ ~(IHV)+lw))=l+V);1ч~-)= ~(IHV)-IVH))~ ~(IHV)-lw))=l-V);IФ+)= ~(IHH)+IW))~ ~(IHH)+IVH))=l+H);IФ-)= ~(IHH)-lw))~ ~(IHH)-IVH))=l-H).Теперь, измеряя первый фотон в диагональном базисе, а второй-в каноническом, мы можем различить все четыре состояния.Решение для упражнения2.67а) lx)®lчi-)=(alH)+PIV))® ~(IH)®IV)-IV)®IH))=1(Р2.35)= .J2(aiHHV)-aiHVH)+PIVHV)-PIWH)).Ь) Из определения состояний Белла находим(Р2.Зб)(Р2.37)(Р2.38)(Р2.39)с) Используя результаты двух предыдущих пунктов, выводимlx)®lчi-) =~(alФ+v)+alФ-v)-alчi+ н)-аlч~-н)+(Р2.40)+Plчi+v)-Plчi-v)-PIФ+ н)+РIФ-н)).65ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯd)Вынося за скобки состояния Белла в уравнении (Р2.40), получаемlx)®IЧ1-) = ~IЧ1-)(-a1H)-PIV) )+~1 \f/+ )(-аlн) + PI v) )+(Р2.41)+~IФ-)( alV)+ PIH) )+ ~IФ+ )( aiV)-PIH) ).Это выражение имеет такой же вид, как и уравнение(2.15).Изме­рение Алисы случайным образом выберет одно из четырех сла­гаемых в приведенном выражении и приготовит в локации Бобасоответствующее состояние.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
13,44 Mb
Тип материала
Предмет
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6390
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее