Решения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238819), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Б.2в качестве аргумента в пользу того, что(Pl.33)Первое слагаемое в этом выражении представляет собой величину матожидания оператораV2 •Решение для упражнения1.34. Эксперимент, о котором идет речь,эквивалентен измерению наблюдаемого &z N раз и суммированию всехрезультатов. Статистика такого суммирования вычислена в упр. Б.5.Применив результат упр.1.33,выясняем, что значение математического ожидания N (cr z ) = О , а неопределенностьРешение для упражненияоператораv'JN ~(Лсr~) = JN .1.35. Если l'JI) - собственное состоянието имеют место равенства 1\jl) = v 1\jl) и 2 1\jl) = v2 I\jl) .vv23ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯСледовательно,Для доказательства обратного следствия предположим, что неопределенность измерения наблюдаемогоОбозначив V1чт)=1 <р) , запишем:Vв состоянии lчт> исчезает.где в последнем равенстве мы учли тот факт, что V , будучи наблюдаемым, эрлмитов, так что ( чтlf 2 l чт) =(чтlftfl '1') =(<i>l<i>).
По предположению, ( Л V2 ) =О , поэтому имеет место равенство(Pl.34)Поскольку состояниенение1'1') нормированное, мы можем переписать урав(Pl.34) какТеперь заметим, что это уравнение представляет случай равенства внеравенстве Коши-Буняковского (А.10). А в упр. А.26 определено,что такое может произойти в том и только том случае, если состояния1'1') и 1<р) коллинеарны, т. е. 1<р)=V1 чт) = vl '1').Решение для упражнения1.36Если оба оператора одновременно приводимы к диагональному виду,то можно представить их как А= L;~lv;)(v;I и В= L;Bilv;)(v;I.Тогда:АЕ= L~Bj lv;)(vi lvj )(vj 1 = L~Bi lv;)(vi 1=в.А.ij'----,,..-----'Ov(Pl.35)iТеперь докажем обратное утверждение.
Рассмотрим 1и 1 )-один изсобственных векторов А :(Pl.36)Умножим обе стороны уравнения на В слева:24РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ1(Pl.37)Коммугируя операторы в левой части уравнения, получаем(Pl.38)так что В v1 ) должно быть собственным состоянием А с собственнымзначением А 1 • Если собственное значение v 1 не вырождено, то такоевозможно, только когда1 ) пропорционально1 ) (упр. А.66), а этоозначает, что 1 ) есть собственное состояние В.Теперь рассмотрим случай вырожденного v 1• Как мы знаем из упр.А.70, собственные состояния А с собственным значением v 1 образуютподпространство (которое мы назовем V').
А уравнение (Pl.38) говорит нам, что оператор В отображает любое состояние в V' на другоесостояние в V'.Поскольку В есть эрмитов оператор в V', в этом подпространстве онприводится к диагональному виду. То есть в V' существует ортонормальный базис, состоящий из собственных векторов В. Но поскольку V'содержит только собственные векторы А , то каждый элемент этого1lvBlvlvбазиса одновременно является собственным вектором обоих операторов.Описанная выше процедура может быть применена к каждому изподпространств, связанных с собственными значениями оператора А .Решение для упражнения1.37([ А,В ]) = ( "'IAВI "')-("' IБА.1 "') == ( 'l'IAВI '1' )-( 'l'liJt A.tl '1') = [поскольку А и В эрмитовы]= ( '1'IAВI '1' )-( '1' IAВI '1').
= [согласно (А.37)]=(АВ)-(АВ). == 2i Im (А.В) [поскольку z-z •= 2ilm z для любого комплексного z]Аналогично25ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯНаконец,Решение для упражнения1.38. Левая часть неравенстваКоши-Буняковского(аiа)(ЪIЪ) ~ l\alЪ)l 2(Pl.40)при la) = Al'V) и IЪ) = Bl'V), где А и В-эрмитовы операторы, принимает вид(Pl.41)Аналогичным образом правая часть выражения(Pl.40)превращается в(Pl.42)так что неравенство(Pl.40)приобретает вид(1.20).Решение для упражнения 1.39.
Поскольку (А)= (В)= О, имеютместо равенства ( лА 2 ) = (А 2 ) и ( лВ 2 ) = (В 2 ) , так что принципнеопределенности (1.21) принимает вид(Pl.43)Этот результат следует непосредственно из уравнений(1.19)и(1.20).Решениедляупражнения1.40.ОпределимоператорыА'= А -(А) и В'= В -(В) . Значения матожиданий этих наблюдаемых обращаются в нуль, поэтому мы можем использовать «упрощенный» принцип неопределенности из предыдущего упражнения,чтобы записать(Pl.44)В то же время имеют место равенства26РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ(лл 2 ) = ((л-(А) )2 ) = (л' 2 );1(Pl.45)(лв 2 ) = ((в-(в)) 2 ) = (в' 2 )и[Л',в'] =А'В'-В'А'==(Л-(Л) )( в-\в))-(в-\в) )(Л-(Л) )=(Pl.46)= Лв -(Л) в - Л (в) + ( Л) (в)- вЛ + в (Л) + (в) Л -(в) (Л) =лллл=АВ-ВА==[ Л,в].Подставив(Pl.45)и(Pl.46)в(Pl.44),получим(Pl.47)Принцип неопределелннос;и перестал бы действовать, если бы мызаменили коммутатор А и В на антикоммутатор или произведениеэтих операторов, потому что в таком случае(Pl.46)стало бы уженеприменимо.Решение для упражнения1.41Решение для упражнения1.42а) (&x)=(Hl&xlH)=(l о)(~ ~)(~)=О;(&y)=\нl&ylн)=(l о{~ ~i)(~)=o;(Pl.48)(Pl.49)(л&/) =\нl&/lн)-((нl&хlн) ) =(1 о)(~ ~ )(~ ~)(~)-о= 1;227ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯJНо мы знаем из упр.
А.78, что [ &х,&у = 2icr,, поэтомуЬ) Принцип неопределенности принимает видОбе части этого выражения равны1.с) Произведение неопределенностей может обращаться в нуль длялюбого состояния, в котором математическое ожидание&,равно нулю. Например, если 1'1') = 1 +), то у наблюдаемого&хесть вполне определенное значение+ 1 и,следовательно, произведение неопределенностей равно нулю.Решение для упражнения1.43. Согласно (1.25):l'l'(t)) стапри e-i(E,-E,Jt/h =-1Если пренебречь общим фазовым множителем, состояниеновится физически эквивалентноили 1 Е2-Е1 1t j(IE1 )-IE2 ))/.J2n=тt .Решение для упражнения1.44{IEk)} - энергетический собственный базис. Из (1.25) мызнаем, что U Ek) =e-iE.tfh Ek) . Элементы матрицы оператора эвоа) Пусть11люции, следовательно, таковы:Отсюда следует, что(Pl.52)28РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ1Ь) Эту матрицу можно переписать в нотации Дирака с использованием (А.24) какU= ~:e-iEkt/п IEk)(Ek(Pl.53)1 ·kСравнивая полученное с уравнением(1.26)для гамильтонианаи определением (А.49) операторных фуцкций, находим, чтол-if!_t"U(t) е " .
Оператор гамильтониана Н соответствует физиче-=скому наблюдаемомуэнергии--ратор эволюции Шрёдингера еи потому эрмитов. Тогда опе_/1_r"должен быть унитарнымсогласно упр. А. 92.Решение для упражнения1.46.Согласно результату упр. А.96,d _i_ffti л _i_ffti л-е" i'lf(O))=--He" i'lf(O))=--Hl'l'Ct)),dtппчто согласуется с уравнением ШрёдингераРешение для упражнения(1.31).1.47а) Метод 1. Собственные состояния оператораcr zравнысоответствующими собственными значениями±1IH) и(упр.1V) с1.29),это означает, что энергетические собственные значения Ениравны соответственно=IH) -аEvnw и -hw.
Начальное состояние l'lf(O)) =собственное состояние гамильтониана (и, следовательно,стационарное состояние) и эволюционирует в соответствии сНачальное состояние1l'lf(O)) =1+) = F2 (IH)+IV)), отсюдаv)) =F2 e-iwr н) +ei(J)r V)).l'l'Ct)) о~в) J:__(e -iE"r н) +е -iEvr 1F21Метод п. Поскольку____!__(11cr, =IH)(Hl-IV)(VI' оператор эволюцииравен (ер. упр. А.94)U(t) = e-i<OO,rПрименив= e-iwt IH)(Hl+ei(J)t IV)(VI.(Pl.54)(1.29), получим для фотона, первоначально находившегося в состоянииl'lf(O))=IH),29ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯДля начального состоянияМетод1\jfIII.1\j/(O)) = 1 +):ПустьCO)=('VнCt))'Vv(t)(Pl.55)в каноническом базисе.
Матрица гамильтониана равнал =пrон(1оо) ,-1и уравнение Шрёдингера приобретает вид:илиd (\j/ нСt))dt \Jfv(t). ( \jf нСt))= -I(J)-'Vv(t) .Это выражение означает, что для каждой строки матрицы влевой и правой частях должно выполняться дифференциальноеуравнение, поэтому мы можем переписать его в виде системыобыкновенных дифференциальных уравнений{\jl н (t) = -iffi'Jf н (t)\jJ v (t) = iro\j/ v (t) 'которая имеет следующее решение:{\j/ н (t) = лe-iwt\jf v (t) = Be'wtКоэффициенты А и В могут быть получены из начальных условий.Если начальное состояние Н) =( ~), то имеем А = 1, В = О, и таким1образом30РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫЕсли на~альное состояниеА == В=J21+) == ~С)1,то мы находим, чтои, следовательно,1 (e-iwr)l'VC t)) == J2 eiwt 'что соответствует результату, полученному двумя остальнымиметодами.Ь) Метод1+)иСобственные состояния гамильтониана теперь равныI.1-),с соответствующими собственными значениями Е± == ±nw.
Начальное состояние1l'VC О)) = J2 (1+)+1-))IH)раскладывается согласнои эволюционирует в соответствии сl\jf(t))= ~( e-iE.t l+)+e-iE_r 1-) )== ~(e-iwr l+)+eiwr 1-))==~[ e-iwr (IH)+IV))+eiwr (lн)-lv))]==cos mt 1Н)- i sin mt 1V).Начальное состояние1+) есть собственное сосгояние гамильтониана:Метод П. Оператор эволюции теперь равенU(t)= e-i№-x=e-iwt l+)(+l+eiwt 1-)(-1 ·(Pl.56)Эволюция во времени для фотона, исходно находившегося всостоянии1l\\f(O)) = IH),такова:'VCt)) = u(t)I н) ==[ e-imt 1+)(+1+eiwt1-)(-1] ~ (1+ )+1-)) == ~(e-iwtl+)+e;"'rl-))== cos mt 1Н)- i sin mt 1V).31ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯДля начального состояния1'1'(0))1+ ):=J'l'(t)) =(e-iыt J+) (+ J+ eiыt J-) (-J) J+) = e-iыt J+) .МетодIII.Чтобы применить матричный метод решения уравнения Шрёдингера, мы вновь разложимниюлН(Pl.55).l'l'(t)) согласно выражеМатрица гамильтониана принимает вид:1)== tzoo (о1 0 ,а уравнение Шрёдингера-.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
