Главная » Просмотр файлов » Решения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А.

Решения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238819), страница 3

Файл №1238819 Решения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А. (Решения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А.) 3 страницаРешения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238819) страница 32020-10-28СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Б.2в качестве аргумента в пользу того, что(Pl.33)Первое слагаемое в этом выражении представляет собой вели­чину матожидания оператораV2 •Решение для упражнения1.34. Эксперимент, о котором идет речь,эквивалентен измерению наблюдаемого &z N раз и суммированию всехрезультатов. Статистика такого суммирования вычислена в упр. Б.5.Применив результат упр.1.33,выясняем, что значение математиче­ского ожидания N (cr z ) = О , а неопределенностьРешение для упражненияоператораv'JN ~(Лсr~) = JN .1.35. Если l'JI) - собственное состоянието имеют место равенства 1\jl) = v 1\jl) и 2 1\jl) = v2 I\jl) .vv23ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯСледовательно,Для доказательства обратного следствия предположим, что неопре­деленность измерения наблюдаемогоОбозначив V1чт)=1 <р) , запишем:Vв состоянии lчт> исчезает.где в последнем равенстве мы учли тот факт, что V , будучи наблюда­емым, эрлмитов, так что ( чтlf 2 l чт) =(чтlftfl '1') =(<i>l<i>).

По предположе­нию, ( Л V2 ) =О , поэтому имеет место равенство(Pl.34)Поскольку состояниенение1'1') нормированное, мы можем переписать урав­(Pl.34) какТеперь заметим, что это уравнение представляет случай равенства внеравенстве Коши-Буняковского (А.10). А в упр. А.26 определено,что такое может произойти в том и только том случае, если состояния1'1') и 1<р) коллинеарны, т. е. 1<р)=V1 чт) = vl '1').Решение для упражнения1.36Если оба оператора одновременно приводимы к диагональному виду,то можно представить их как А= L;~lv;)(v;I и В= L;Bilv;)(v;I.Тогда:АЕ= L~Bj lv;)(vi lvj )(vj 1 = L~Bi lv;)(vi 1=в.А.ij'----,,..-----'Ov(Pl.35)iТеперь докажем обратное утверждение.

Рассмотрим 1и 1 )-один изсобственных векторов А :(Pl.36)Умножим обе стороны уравнения на В слева:24РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ1(Pl.37)Коммугируя операторы в левой части уравнения, получаем(Pl.38)так что В v1 ) должно быть собственным состоянием А с собственнымзначением А 1 • Если собственное значение v 1 не вырождено, то такоевозможно, только когда1 ) пропорционально1 ) (упр. А.66), а этоозначает, что 1 ) есть собственное состояние В.Теперь рассмотрим случай вырожденного v 1• Как мы знаем из упр.А.70, собственные состояния А с собственным значением v 1 образуютподпространство (которое мы назовем V').

А уравнение (Pl.38) гово­рит нам, что оператор В отображает любое состояние в V' на другоесостояние в V'.Поскольку В есть эрмитов оператор в V', в этом подпространстве онприводится к диагональному виду. То есть в V' существует ортонормаль­ный базис, состоящий из собственных векторов В. Но поскольку V'содержит только собственные векторы А , то каждый элемент этого1lvBlvlvбазиса одновременно является собственным вектором обоих операторов.Описанная выше процедура может быть применена к каждому изподпространств, связанных с собственными значениями оператора А .Решение для упражнения1.37([ А,В ]) = ( "'IAВI "')-("' IБА.1 "') == ( 'l'IAВI '1' )-( 'l'liJt A.tl '1') = [поскольку А и В эрмитовы]= ( '1'IAВI '1' )-( '1' IAВI '1').

= [согласно (А.37)]=(АВ)-(АВ). == 2i Im (А.В) [поскольку z-z •= 2ilm z для любого комплексного z]Аналогично25ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯНаконец,Решение для упражнения1.38. Левая часть неравенстваКоши-Буняковского(аiа)(ЪIЪ) ~ l\alЪ)l 2(Pl.40)при la) = Al'V) и IЪ) = Bl'V), где А и В-эрмитовы операторы, прини­мает вид(Pl.41)Аналогичным образом правая часть выражения(Pl.40)превраща­ется в(Pl.42)так что неравенство(Pl.40)приобретает вид(1.20).Решение для упражнения 1.39.

Поскольку (А)= (В)= О, имеютместо равенства ( лА 2 ) = (А 2 ) и ( лВ 2 ) = (В 2 ) , так что принципнеопределенности (1.21) принимает вид(Pl.43)Этот результат следует непосредственно из уравнений(1.19)и(1.20).Решениедляупражнения1.40.ОпределимоператорыА'= А -(А) и В'= В -(В) . Значения матожиданий этих наблюдае­мых обращаются в нуль, поэтому мы можем использовать «упрощен­ный» принцип неопределенности из предыдущего упражнения,чтобы записать(Pl.44)В то же время имеют место равенства26РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ(лл 2 ) = ((л-(А) )2 ) = (л' 2 );1(Pl.45)(лв 2 ) = ((в-(в)) 2 ) = (в' 2 )и[Л',в'] =А'В'-В'А'==(Л-(Л) )( в-\в))-(в-\в) )(Л-(Л) )=(Pl.46)= Лв -(Л) в - Л (в) + ( Л) (в)- вЛ + в (Л) + (в) Л -(в) (Л) =лллл=АВ-ВА==[ Л,в].Подставив(Pl.45)и(Pl.46)в(Pl.44),получим(Pl.47)Принцип неопределелннос;и перестал бы действовать, если бы мызаменили коммутатор А и В на антикоммутатор или произведениеэтих операторов, потому что в таком случае(Pl.46)стало бы уженеприменимо.Решение для упражнения1.41Решение для упражнения1.42а) (&x)=(Hl&xlH)=(l о)(~ ~)(~)=О;(&y)=\нl&ylн)=(l о{~ ~i)(~)=o;(Pl.48)(Pl.49)(л&/) =\нl&/lн)-((нl&хlн) ) =(1 о)(~ ~ )(~ ~)(~)-о= 1;227ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯJНо мы знаем из упр.

А.78, что [ &х,&у = 2icr,, поэтомуЬ) Принцип неопределенности принимает видОбе части этого выражения равны1.с) Произведение неопределенностей может обращаться в нуль длялюбого состояния, в котором математическое ожидание&,равно нулю. Например, если 1'1') = 1 +), то у наблюдаемого&хесть вполне определенное значение+ 1 и,следовательно, произ­ведение неопределенностей равно нулю.Решение для упражнения1.43. Согласно (1.25):l'l'(t)) ста­при e-i(E,-E,Jt/h =-1Если пренебречь общим фазовым множителем, состояниеновится физически эквивалентноили 1 Е2-Е1 1t j(IE1 )-IE2 ))/.J2n=тt .Решение для упражнения1.44{IEk)} - энергетический собственный базис. Из (1.25) мызнаем, что U Ek) =e-iE.tfh Ek) . Элементы матрицы оператора эво­а) Пусть11люции, следовательно, таковы:Отсюда следует, что(Pl.52)28РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ1Ь) Эту матрицу можно переписать в нотации Дирака с использова­нием (А.24) какU= ~:e-iEkt/п IEk)(Ek(Pl.53)1 ·kСравнивая полученное с уравнением(1.26)для гамильтонианаи определением (А.49) операторных фуцкций, находим, чтол-if!_t"U(t) е " .

Оператор гамильтониана Н соответствует физиче-=скому наблюдаемомуэнергии--ратор эволюции Шрёдингера еи потому эрмитов. Тогда опе­_/1_r"должен быть унитарнымсогласно упр. А. 92.Решение для упражнения1.46.Согласно результату упр. А.96,d _i_ffti л _i_ffti л-е" i'lf(O))=--He" i'lf(O))=--Hl'l'Ct)),dtппчто согласуется с уравнением ШрёдингераРешение для упражнения(1.31).1.47а) Метод 1. Собственные состояния оператораcr zравнысоответствующими собственными значениями±1IH) и(упр.1V) с1.29),это означает, что энергетические собственные значения Ениравны соответственно=IH) -аEvnw и -hw.

Начальное состояние l'lf(O)) =собственное состояние гамильтониана (и, следовательно,стационарное состояние) и эволюционирует в соответствии сНачальное состояние1l'lf(O)) =1+) = F2 (IH)+IV)), отсюдаv)) =F2 e-iwr н) +ei(J)r V)).l'l'Ct)) о~в) J:__(e -iE"r н) +е -iEvr 1F21Метод п. Поскольку____!__(11cr, =IH)(Hl-IV)(VI' оператор эволюцииравен (ер. упр. А.94)U(t) = e-i<OO,rПрименив= e-iwt IH)(Hl+ei(J)t IV)(VI.(Pl.54)(1.29), получим для фотона, первоначально находив­шегося в состоянииl'lf(O))=IH),29ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯДля начального состоянияМетод1\jfIII.1\j/(O)) = 1 +):ПустьCO)=('VнCt))'Vv(t)(Pl.55)в каноническом базисе.

Матрица гамильтониана равнал =пrон(1оо) ,-1и уравнение Шрёдингера приобретает вид:илиd (\j/ нСt))dt \Jfv(t). ( \jf нСt))= -I(J)-'Vv(t) .Это выражение означает, что для каждой строки матрицы влевой и правой частях должно выполняться дифференциальноеуравнение, поэтому мы можем переписать его в виде системыобыкновенных дифференциальных уравнений{\jl н (t) = -iffi'Jf н (t)\jJ v (t) = iro\j/ v (t) 'которая имеет следующее решение:{\j/ н (t) = лe-iwt\jf v (t) = Be'wtКоэффициенты А и В могут быть получены из начальных условий.Если начальное состояние Н) =( ~), то имеем А = 1, В = О, и таким1образом30РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫЕсли на~альное состояниеА == В=J21+) == ~С)1,то мы находим, чтои, следовательно,1 (e-iwr)l'VC t)) == J2 eiwt 'что соответствует результату, полученному двумя остальнымиметодами.Ь) Метод1+)иСобственные состояния гамильтониана теперь равныI.1-),с соответствующими собственными значениями Е± == ±nw.

Начальное состояние1l'VC О)) = J2 (1+)+1-))IH)раскладывается согласнои эволюционирует в соответствии сl\jf(t))= ~( e-iE.t l+)+e-iE_r 1-) )== ~(e-iwr l+)+eiwr 1-))==~[ e-iwr (IH)+IV))+eiwr (lн)-lv))]==cos mt 1Н)- i sin mt 1V).Начальное состояние1+) есть собственное сосгояние гамильтониана:Метод П. Оператор эволюции теперь равенU(t)= e-i№-x=e-iwt l+)(+l+eiwt 1-)(-1 ·(Pl.56)Эволюция во времени для фотона, исходно находившегося всостоянии1l\\f(O)) = IH),такова:'VCt)) = u(t)I н) ==[ e-imt 1+)(+1+eiwt1-)(-1] ~ (1+ )+1-)) == ~(e-iwtl+)+e;"'rl-))== cos mt 1Н)- i sin mt 1V).31ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯДля начального состояния1'1'(0))1+ ):=J'l'(t)) =(e-iыt J+) (+ J+ eiыt J-) (-J) J+) = e-iыt J+) .МетодIII.Чтобы применить матричный метод решения урав­нения Шрёдингера, мы вновь разложимниюлН(Pl.55).l'l'(t)) согласно выраже­Матрица гамильтониана принимает вид:1)== tzoo (о1 0 ,а уравнение Шрёдингера-.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
13,44 Mb
Тип материала
Предмет
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6390
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее