Решения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238819), страница 4
Текст из файла (страница 4)
("'vCt))d ("' нСt))dt 'l'v(t) = -I(J) '1' н(t) .Вот система уравнений для компонентов состояния:{\jl H(t) = -iOO\jfy(t).\jly(t) = -iOO\jf н(t)Чтобы решить эту систему, мы можем, например, взять производную обеих частей первого уравнения и подставить\jlv(t) извторого:Решение данного уравнения имеет види, соответственно,'l'v(t) = \jJ H(t) / (-ioo) = -Aeiыt + ве-iыt.Для начального состоянияIH)имеют место равенства 'l'н(О) =и '!'у(О) =О, следовательно, А= В=1 ( еыt + e-iыt )..2 -е'"' 1 +е-'"'1\jf(t) ::::1). . oot ) .= ( cos-ISШOOtДля начального состояния 1+) получаем 'l'н(О)довательно, А3211/2, и таким образом1= О, В = J2 , а значит= '!'у(О) =1г;::; , сле-~2РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫРешение для упражнения1.48.Преобразования поляризационных состояний полуволновыми пластинками под углами О иются операторами(см.
упр.145° зада-IH)(Hl+lv)(VI и -(i+)(+l)+(i-)(-1) соответственно1.24). Сравнивая их с операторами эволюции (Pl.54) и (Pl.56)соответственно, мы видим, что они становятся идентичными с точностью до глобального фазового множителя, когда wtнwr= л/2в обоихслучаях. Четвертьволновая пластинка соответствует эволюции за промежуток времени, равный половине промежутка времени для полуволновой пластинки, т.
е. wtQwr = л/4.ГЛАВА Р2РЕШЕНИЯК УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ2Решение для упражнения 2.1. Выберем произвольное la)EVл ирассмотрим сумму l'fl)=la)®lb)+lzero)v ®IЪ). Согласно (2.За), находим l'fl)={la)+lzero)vJ®IЪ)=la)®lb). ИАными словами, прибавлениеlzero)vA ®lb) к элементу Vл ®Vв не изменило этот элемент.
Испольlzero)v ®IЪ) должен быть нулевым эле-зуя упр. А.2, Ь), получаем, чтоментом VлА® Vв.Второе тождество доказывается аналогично.Решение для упражнения2.2. Для простоты рассмотрим гильбертово пространство поляризаций двух фотонов и покажем, чтоВ= {IH)®IH),IH)®IV),IV)®IH),IV)®IV)} является его базисом.Во-первых, докажем, что В-остов этого пространства. Рассмотримпроизвольный разделимый вектор 1а) ® 1 Ь) из V л ® V в . Разложив 1а)и 1 Ь) по каноническим базисам их родных гильбертовых пространств,так чтоla) = анlН) + avlV),lb) = ЬнlН) + bvl V),используем(2.2)и(2.3),чтобы записатьla) ® lb) = анЬн IH) ® IH) + анЬv IH) ® IV) ++ аvЬн IV) ® IH) + avbv IV) ® IV).(Р2.1)Иными словами, любой разделимый элемент Vл ®Vв может бытьзаписан как линейная комбинация элементов В.
Это свойство легкообобщается на запутанные векторы, потому что любой запутанный вектор представляет собой линейную комбинацию разделимых векторов.Во-вторых, нам нужно доказать, что В линейно независимо. Этоследует из того, что все элементы В ортогональны друг другу [см.(2.4)]35ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯи что любое множество взаимно ортогональных векторов линейнонезависимо (упр.
А.17).Решение для упражнения 2.3. Поскольку lзо')= .J:3/2IH)+l/2IV);1R)=1/ J2 IН) + i/ J2 IV) , имеет место равенство.J:3/2J21зo°)<8)IR)= Fз 1нн)+ Fзi 1нv)+-1-1vн)+-i-IW)= Fзi/2J22J22J22J2130°) ® IR)разделимо.2J21/2 J2i/2J2СостояниеРешение для упражнения2.4а) Прежде всего представим оба состояния в каноническом базисе:lп) = s1нн)+бi ~ (lн)+ ilv)) ~ (lн)-lv))== s 1нн) + Зi (1 нн)-1нv)+i1vн)-i1 w)) == (5+ Зi)IHH)-ЗilНV)-ЗIVH)+ ЗIW);ln)=2 ~(lн)+lv)) ~(lн)-ilv))+з ~(lн)+ilv)) ~(lн)+ilv))== 1нн)-i1нv)+1vн)-i1 w) + ~ (1нн)+i1нv)+i1 vн)-1 w)) =2=%1нн)+~1нv)+( 1+ ~i)ivн)+(-%-i)iw).Отсюда следует, чтоЗi)+з(-~-i)=Z-1si.(ПIП)=(S-Зi)~+зi2--з(1+22222Ь) Поскольку иIP), иIП) разделимы, имеет место равенство:(Щn) = -i(2(Hl-i(Vl)(2ilH)-ЗilV) )x((Hl-i(Vl)(IH)+IV) )/2 == -i[2 х (2i) + (-i) х (-Зi)][l х 1+(-i)х1]/2 == -i(-3+4i)(l-i)/2 =(7 -i) /2.Решение для упражнения2.6.
Рассмотрим, например,IФ•). Предположим, что это состояние может быть записано как произведение:36.РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫф+ > = 1а> А (8) 1ь >В1где1 а)и1 Ь)2(Р2.2)'- некоторые состояния в Vл и V8 соответственно. Этисостояния можно разложить по каноническим базисам их пространств:la) =ан IH) + avlV>;= ЬнlН> + bvlV>.IЬ>Подставив эти разложения в (Р2.2), сравнив результат с определениемjФ+) из(2.Sc)и воспользовавшись единственностью разложения вектора в базисе, находиманЬн =1/J2анЬv =0(Р2.3)аvЬн =0avbv =1/J2.Из второго уравнения этой системы нам становится ясно, что или ан= О,илиbv =О. Поэтому либо ан Ьн, либо av Ьvдолжно обнулиться, что противоречит первому или четвертому уравнениям системы (Р2.3).Доказательство для остальных состояний Белла проводится аналогично.Решение для упражнения2.
7.Состояния Белла образуют остов,потому что четыре элемента канонического базиса могут быть выражены через эти состояния:1нн)=(IФ+)+IФ-))/J2;(Р2.4а)IW)=(IФ+)-IФ-))/J2;(Р2.4Ь)1нv)=(IЧ1+)+IЧ1-))/J2;(Р2.4с)1vн)=(IЧ1+)-IЧ1-))/J2;(P2.4d)Поскольку размерность этого пространства тензорных произведенийравна четырем, а также согласно упр. А.7, Ь), четыре состояния Беллаобразуют базис. Ортонормальность этого базиса можно проверитьпрямыми вычислениями, т. е.:37ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯ(Ф+IФ+) = ((HHIHH) + (HЩVV) + (VVIHH) + (VVIVV))/2 == (1+о+о+1)/2 = 1;(Ф+IФ-) = ((HHIHH) - (HHIVV) + (VVIHH) - (VVIVV))/2 == (1 - о+ о - 1)/2 = оит.д.Решениедляупражнения2.8.Зная,чтоIH)J+)~-) (упр.
1.4), запишем1\}/+) = _1 [ 1+) +1-) ®1+) -1-) ) +) -1-) ®1+) +1-)] = _1 [1 ++) -1- - )] ;J2J2J2J2J2J2®1+)-1-) _1+)-1-) ®l+)+l-)]=-1 [l-+)-1+-)];I Ч1-)=~[1+)+1-)J2 J2J2J2J2J2IФ+)= ~[l+);J-) ®l+)л-) )+)~-) ®l+)~-)J= ~[1++)+1--)];[1+)+1-) 0 1+)+1-)I Ф-)=-1J2 J2J21+)-1-) 0 1+)-1-)]=-1 [1+-)+1-+)].J2J2J2Мы видим, что изменение базиса отображает состояния IФ+) и IЧ1-)на самих себя, тогда как состояния IФ-) и IЧ1+) меняются местами.18) = cos8IH) +lл/2 + 8) = -sin 8IH) + cos 8IV) (см. табл. 1.1), находимРешение для упражнения+ sin 8IV)и2.9.
Используя равенства~[18)®1~+8 )-1~+8 )®18)]== ~ [( cos8I Н) +sin8IV) )® (-sin8I Н) +cos8IV) )-(-sin8I Н)+ cos8I V) )® (cos8I Н) +sin8I V) )J == ~ [ (cos 2 8+ sin 2 8)1HV)-(cos 2 8+ sin 2 8)IVH)] = IЧ1-).Решение для упражнения2.10а) Вероятность обнаружить состояние IЧ1)= IR) 1-30°)равна квадрату абсолютной величины скалярного произведения:38РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ1222Р~"') =J(Ч1-IЧ1)J = 2 J(нv!R,-зo')-(vн!R,-зo')J =22 =_!_ _l -l __=_!_J\нlR)(vl-зo)-(vlR)(нl-зo')Ji J322J2_2 J2_2Ь)14Аналогичноpr"')12= 1 1Гn ( (HVl-(VHl)(I нv)+ 21vн)+21 w) )1 =__!_11-21 2=___!__.3'11218Решение для упражнения182.11а) Для канонического базиса запишемрrнн =l\HHI Ч1/l2 =О;(Р2.5)1prнv =l\HVI Ч1)1 =- ;2212prvн =l\VHIЧ1/I =2;rri'V= l\WIЧ1/l 2 =о·Чтобы найти вероятности для измерения в диагональном базисе,разложим IЧ1) по этому базису.
Зная, чтоIV)=(l+)-l-))/J2., запишемIH)=(l+)+l-))/J2. и1++)-1+-)+1-+)-1--) i 1++)+1+-)-1-+)-1--)+е '1'=2J2.2J2.(1 +е;ч>)I+ +)+ (-1 + e;ч>)l+-)+Cl-e;ч>)I-+ )+(-1-е;ч>)I- -)2J2.= еiч>/ 2 cos(<p / 2)1+ +) +isin(<p / 2)1+-)- i sin(<p / 2)1-+ )-cos(<p / 2)1- -)IЧ1/ =J2.Отсюда следует, чтоpr.+ = pr __ =pr.
_ = pr _+ =Ь) Состояниеcos 2 (<p/2)/2;sin 2 ( <р/2)/2.1tJI+) соответствует случаю <р = О, состояние 1tp-) -случаю <р = л. Их невозможно различить в каноническом базисе,поскольку оба случая дают одинаковые вероятности (Р2.5). Но вдиагональном базисе эти состояния ведут себя по-разному: для1tJI+)проекции на1+ +)и1- - ) возникают с вероятностями 1/21каждая, а проекции на + - ) и1- +) не возникают совсем, тогда как1tp-)1+ - ) и 1- +), но не на 1+ +) и 1- - ).проецируется только на39ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯСледовательно, измерение в диагональном базисе сразу жепозволит различить эти два состояния.2.12.Решение для упражненияпотому что базис измеренияПроцедура измерения сложна,{IH-), IH+), IVR), IVL)}не может бытьзаписан как множество тензорных произведений элементов локальных базисов Алисы и Боба.
Возможный способ разобраться с этимосложнением выглядит так.•Сначала Алиса измеряет свой фотон в каноническом базисе и сообщает результат измерения Бобу по классическому каналу связи.•Боб, получив сообщение от Алисы, устанавливает свой базисизмерения на диагональный, если Алиса наблюдалаговой, если Алиса наблюдала1V).IH),икруЗатем он измеряет свой фотонв этом выбранном базисе.1:_еш~ние для упражнения2.13.Для каждого элемента матрицыА® В мы можем написать(А® B)(ii:i' =(viwj IA®Blvi,wj,) == [ (vi 1@(wj IJ[( л1 vj') )®( Бlшj') )] == ((vi 1А1 и;,))( (ш j 1В1 ш j')) == А;j'ВЛ"Во втором из приведенных выше равенств мы использовали определение тензорного произведения операторов, в третьемРешение для упражнения&х @&у=(2.8),(2.4).{IHH), IHV),1 VН), 1VV) }.
Вое-получаем:(crJннCcrY )нн( (J х) НН ((Jy )HV(сrх)нvСсrу)нн(crx)нvCcry)нvС сrJнн С (JY )vн(crx )нн (cry )w( cr х )нv (crY )vн(crJнvCcry)wС cr Jvн ( (JY )нн(cr Jvн С (JY )нv(crJw С crY) нн(crJw (crY )нv( (J х )VH ((crJvн (crY )w( (J х)w ( (JY )vн(crJwCcry)w=[~ } ; н40уравнение2.14. Запишем оператор <\®&У вматричном виде в каноническом базисепользовавшись-(Jy )VHРЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫДалее:1 1~1IЧ1 )== Гnv2 -12·оДля математического ожидания находимоо~ ~i11 ~]=о.-iоо-1ооооНеопределенность можно найти через (Б.З).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
