Главная » Просмотр файлов » Решения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А.

Решения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238819), страница 4

Файл №1238819 Решения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А. (Решения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А.) 4 страницаРешения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238819) страница 42020-10-28СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

("'vCt))d ("' нСt))dt 'l'v(t) = -I(J) '1' н(t) .Вот система уравнений для компонентов состояния:{\jl H(t) = -iOO\jfy(t).\jly(t) = -iOO\jf н(t)Чтобы решить эту систему, мы можем, например, взять произ­водную обеих частей первого уравнения и подставить\jlv(t) извторого:Решение данного уравнения имеет види, соответственно,'l'v(t) = \jJ H(t) / (-ioo) = -Aeiыt + ве-iыt.Для начального состоянияIH)имеют место равенства 'l'н(О) =и '!'у(О) =О, следовательно, А= В=1 ( еыt + e-iыt )..2 -е'"' 1 +е-'"'1\jf(t) ::::1). . oot ) .= ( cos-ISШOOtДля начального состояния 1+) получаем 'l'н(О)довательно, А3211/2, и таким образом1= О, В = J2 , а значит= '!'у(О) =1г;::; , сле-~2РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫРешение для упражнения1.48.Преобразования поляризацион­ных состояний полуволновыми пластинками под углами О иются операторами(см.

упр.145° зада­-IH)(Hl+lv)(VI и -(i+)(+l)+(i-)(-1) соответственно1.24). Сравнивая их с операторами эволюции (Pl.54) и (Pl.56)соответственно, мы видим, что они становятся идентичными с точно­стью до глобального фазового множителя, когда wtнwr= л/2в обоихслучаях. Четвертьволновая пластинка соответствует эволюции за про­межуток времени, равный половине промежутка времени для полу­волновой пластинки, т.

е. wtQwr = л/4.ГЛАВА Р2РЕШЕНИЯК УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ2Решение для упражнения 2.1. Выберем произвольное la)EVл ирассмотрим сумму l'fl)=la)®lb)+lzero)v ®IЪ). Согласно (2.За), нахо­дим l'fl)={la)+lzero)vJ®IЪ)=la)®lb). ИАными словами, прибавлениеlzero)vA ®lb) к элементу Vл ®Vв не изменило этот элемент.

Исполь­lzero)v ®IЪ) должен быть нулевым эле-зуя упр. А.2, Ь), получаем, чтоментом VлА® Vв.Второе тождество доказывается аналогично.Решение для упражнения2.2. Для простоты рассмотрим гильбер­тово пространство поляризаций двух фотонов и покажем, чтоВ= {IH)®IH),IH)®IV),IV)®IH),IV)®IV)} является его базисом.Во-первых, докажем, что В-остов этого пространства. Рассмотримпроизвольный разделимый вектор 1а) ® 1 Ь) из V л ® V в . Разложив 1а)и 1 Ь) по каноническим базисам их родных гильбертовых пространств,так чтоla) = анlН) + avlV),lb) = ЬнlН) + bvl V),используем(2.2)и(2.3),чтобы записатьla) ® lb) = анЬн IH) ® IH) + анЬv IH) ® IV) ++ аvЬн IV) ® IH) + avbv IV) ® IV).(Р2.1)Иными словами, любой разделимый элемент Vл ®Vв может бытьзаписан как линейная комбинация элементов В.

Это свойство легкообобщается на запутанные векторы, потому что любой запутанный век­тор представляет собой линейную комбинацию разделимых векторов.Во-вторых, нам нужно доказать, что В линейно независимо. Этоследует из того, что все элементы В ортогональны друг другу [см.(2.4)]35ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯи что любое множество взаимно ортогональных векторов линейнонезависимо (упр.

А.17).Решение для упражнения 2.3. Поскольку lзо')= .J:3/2IH)+l/2IV);1R)=1/ J2 IН) + i/ J2 IV) , имеет место равенство.J:3/2J21зo°)<8)IR)= Fз 1нн)+ Fзi 1нv)+-1-1vн)+-i-IW)= Fзi/2J22J22J22J2130°) ® IR)разделимо.2J21/2 J2i/2J2СостояниеРешение для упражнения2.4а) Прежде всего представим оба состояния в каноническом базисе:lп) = s1нн)+бi ~ (lн)+ ilv)) ~ (lн)-lv))== s 1нн) + Зi (1 нн)-1нv)+i1vн)-i1 w)) == (5+ Зi)IHH)-ЗilНV)-ЗIVH)+ ЗIW);ln)=2 ~(lн)+lv)) ~(lн)-ilv))+з ~(lн)+ilv)) ~(lн)+ilv))== 1нн)-i1нv)+1vн)-i1 w) + ~ (1нн)+i1нv)+i1 vн)-1 w)) =2=%1нн)+~1нv)+( 1+ ~i)ivн)+(-%-i)iw).Отсюда следует, чтоЗi)+з(-~-i)=Z-1si.(ПIП)=(S-Зi)~+зi2--з(1+22222Ь) Поскольку иIP), иIП) разделимы, имеет место равенство:(Щn) = -i(2(Hl-i(Vl)(2ilH)-ЗilV) )x((Hl-i(Vl)(IH)+IV) )/2 == -i[2 х (2i) + (-i) х (-Зi)][l х 1+(-i)х1]/2 == -i(-3+4i)(l-i)/2 =(7 -i) /2.Решение для упражнения2.6.

Рассмотрим, например,IФ•). Пред­положим, что это состояние может быть записано как произведение:36.РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫф+ > = 1а> А (8) 1ь >В1где1 а)и1 Ь)2(Р2.2)'- некоторые состояния в Vл и V8 соответственно. Этисостояния можно разложить по каноническим базисам их про­странств:la) =ан IH) + avlV>;= ЬнlН> + bvlV>.IЬ>Подставив эти разложения в (Р2.2), сравнив результат с определениемjФ+) из(2.Sc)и воспользовавшись единственностью разложения век­тора в базисе, находиманЬн =1/J2анЬv =0(Р2.3)аvЬн =0avbv =1/J2.Из второго уравнения этой системы нам становится ясно, что или ан= О,илиbv =О. Поэтому либо ан Ьн, либо av Ьvдолжно обнулиться, что про­тиворечит первому или четвертому уравнениям системы (Р2.3).Доказательство для остальных состояний Белла проводится ана­логично.Решение для упражнения2.

7.Состояния Белла образуют остов,потому что четыре элемента канонического базиса могут быть выра­жены через эти состояния:1нн)=(IФ+)+IФ-))/J2;(Р2.4а)IW)=(IФ+)-IФ-))/J2;(Р2.4Ь)1нv)=(IЧ1+)+IЧ1-))/J2;(Р2.4с)1vн)=(IЧ1+)-IЧ1-))/J2;(P2.4d)Поскольку размерность этого пространства тензорных произведенийравна четырем, а также согласно упр. А.7, Ь), четыре состояния Беллаобразуют базис. Ортонормальность этого базиса можно проверитьпрямыми вычислениями, т. е.:37ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯ(Ф+IФ+) = ((HHIHH) + (HЩVV) + (VVIHH) + (VVIVV))/2 == (1+о+о+1)/2 = 1;(Ф+IФ-) = ((HHIHH) - (HHIVV) + (VVIHH) - (VVIVV))/2 == (1 - о+ о - 1)/2 = оит.д.Решениедляупражнения2.8.Зная,чтоIH)J+)~-) (упр.

1.4), запишем1\}/+) = _1 [ 1+) +1-) ®1+) -1-) ) +) -1-) ®1+) +1-)] = _1 [1 ++) -1- - )] ;J2J2J2J2J2J2®1+)-1-) _1+)-1-) ®l+)+l-)]=-1 [l-+)-1+-)];I Ч1-)=~[1+)+1-)J2 J2J2J2J2J2IФ+)= ~[l+);J-) ®l+)л-) )+)~-) ®l+)~-)J= ~[1++)+1--)];[1+)+1-) 0 1+)+1-)I Ф-)=-1J2 J2J21+)-1-) 0 1+)-1-)]=-1 [1+-)+1-+)].J2J2J2Мы видим, что изменение базиса отображает состояния IФ+) и IЧ1-)на самих себя, тогда как состояния IФ-) и IЧ1+) меняются местами.18) = cos8IH) +lл/2 + 8) = -sin 8IH) + cos 8IV) (см. табл. 1.1), находимРешение для упражнения+ sin 8IV)и2.9.

Используя равенства~[18)®1~+8 )-1~+8 )®18)]== ~ [( cos8I Н) +sin8IV) )® (-sin8I Н) +cos8IV) )-(-sin8I Н)+ cos8I V) )® (cos8I Н) +sin8I V) )J == ~ [ (cos 2 8+ sin 2 8)1HV)-(cos 2 8+ sin 2 8)IVH)] = IЧ1-).Решение для упражнения2.10а) Вероятность обнаружить состояние IЧ1)= IR) 1-30°)равна ква­драту абсолютной величины скалярного произведения:38РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ1222Р~"') =J(Ч1-IЧ1)J = 2 J(нv!R,-зo')-(vн!R,-зo')J =22 =_!_ _l -l __=_!_J\нlR)(vl-зo)-(vlR)(нl-зo')Ji J322J2_2 J2_2Ь)14Аналогичноpr"')12= 1 1Гn ( (HVl-(VHl)(I нv)+ 21vн)+21 w) )1 =__!_11-21 2=___!__.3'11218Решение для упражнения182.11а) Для канонического базиса запишемрrнн =l\HHI Ч1/l2 =О;(Р2.5)1prнv =l\HVI Ч1)1 =- ;2212prvн =l\VHIЧ1/I =2;rri'V= l\WIЧ1/l 2 =о·Чтобы найти вероятности для измерения в диагональном базисе,разложим IЧ1) по этому базису.

Зная, чтоIV)=(l+)-l-))/J2., запишемIH)=(l+)+l-))/J2. и1++)-1+-)+1-+)-1--) i 1++)+1+-)-1-+)-1--)+е '1'=2J2.2J2.(1 +е;ч>)I+ +)+ (-1 + e;ч>)l+-)+Cl-e;ч>)I-+ )+(-1-е;ч>)I- -)2J2.= еiч>/ 2 cos(<p / 2)1+ +) +isin(<p / 2)1+-)- i sin(<p / 2)1-+ )-cos(<p / 2)1- -)IЧ1/ =J2.Отсюда следует, чтоpr.+ = pr __ =pr.

_ = pr _+ =Ь) Состояниеcos 2 (<p/2)/2;sin 2 ( <р/2)/2.1tJI+) соответствует случаю <р = О, состояние 1tp-) -слу­чаю <р = л. Их невозможно различить в каноническом базисе,поскольку оба случая дают одинаковые вероятности (Р2.5). Но вдиагональном базисе эти состояния ведут себя по-разному: для1tJI+)проекции на1+ +)и1- - ) возникают с вероятностями 1/21каждая, а проекции на + - ) и1- +) не возникают совсем, тогда как1tp-)1+ - ) и 1- +), но не на 1+ +) и 1- - ).проецируется только на39ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯСледовательно, измерение в диагональном базисе сразу жепозволит различить эти два состояния.2.12.Решение для упражненияпотому что базис измеренияПроцедура измерения сложна,{IH-), IH+), IVR), IVL)}не может бытьзаписан как множество тензорных произведений элементов локаль­ных базисов Алисы и Боба.

Возможный способ разобраться с этимосложнением выглядит так.•Сначала Алиса измеряет свой фотон в каноническом базисе и сооб­щает результат измерения Бобу по классическому каналу связи.•Боб, получив сообщение от Алисы, устанавливает свой базисизмерения на диагональный, если Алиса наблюдалаговой, если Алиса наблюдала1V).IH),икру­Затем он измеряет свой фотонв этом выбранном базисе.1:_еш~ние для упражнения2.13.Для каждого элемента матрицыА® В мы можем написать(А® B)(ii:i' =(viwj IA®Blvi,wj,) == [ (vi 1@(wj IJ[( л1 vj') )®( Бlшj') )] == ((vi 1А1 и;,))( (ш j 1В1 ш j')) == А;j'ВЛ"Во втором из приведенных выше равенств мы использовали определе­ние тензорного произведения операторов, в третьемРешение для упражнения&х @&у=(2.8),(2.4).{IHH), IHV),1 VН), 1VV) }.

Вое-получаем:(crJннCcrY )нн( (J х) НН ((Jy )HV(сrх)нvСсrу)нн(crx)нvCcry)нvС сrJнн С (JY )vн(crx )нн (cry )w( cr х )нv (crY )vн(crJнvCcry)wС cr Jvн ( (JY )нн(cr Jvн С (JY )нv(crJw С crY) нн(crJw (crY )нv( (J х )VH ((crJvн (crY )w( (J х)w ( (JY )vн(crJwCcry)w=[~ } ; н40уравнение2.14. Запишем оператор <\®&У вматричном виде в каноническом базисепользовавшись-(Jy )VHРЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫДалее:1 1~1IЧ1 )== Гnv2 -12·оДля математического ожидания находимоо~ ~i11 ~]=о.-iоо-1ооооНеопределенность можно найти через (Б.З).

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
13,44 Mb
Тип материала
Предмет
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6367
Авторов
на СтудИзбе
310
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее