Решения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238819)
Текст из файла
ОтличнаяквантоваямеханикаРешенияк учебному пособию••••••Александр Львовский.AMetАЛЬПМНА НОН - ФМКWНОтличнаяквантоваямеханикаРешенияQ.UANTUM PHYSICSAN INTRODUCTION BASED ON PHOTONSА.1. Lvovsky~ SpringerАлександр ЛьвовскийОтличнаяквантоваямеханикаРешенияПеревод с английскогоАЛЬПИНА НОН·ФИКWНМосква2019УДКББК530.14522.314Л89Переводчик Н. ЛисоваРедактор А. РостоцкаяЛьвовский А.Отличная квантовая механикаЛ89Пер.
с англ.: Решения : в 2 ч. /Александр Львовский ;2019. - 304 с.М.: Альпина нон-фикшн,-ISBN 978-5-91671-952-9Ч.II. - 304 с.Вторая часть содержит подробные решения к учебному пособию.УДКББК530.14522.314Все права защищены. Никакая часть этой юшги не можетбыть воспроизведена в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами, включая JЮЗ.Мещение в сетиинтернет и в корпоративных сетях, а таюке .запись в память ЭВМ для частного шш публичного использования,без nисьмеююго разрешения владельца авторских прав.По вопросу организации доступа к электрон.ной библиотекеиздательства обращайтесь по адресу©Львовский А.,ISBN 978-5-91671-952-9 (рус.)ISBN 978-3-662-56582-7 (англ.)Руководитель проекта А. ТарасоваКорректоры Е.
Аксёнова, М. МиловидоваКомпьютерная верстка А. ФоминовДизайн обложки Ю. БугаИ/Ulюстрации на обложке©mylib@alpina.ru.2019Издание на русском языке, перевод, оформление.ООО «Альпина нон-фикшн»,2019ООО «А.льпина нон-фикшн»123007, г. Москва, ул. 4-я5, строение 1, офис 13Тел. +7 (495) 980-5354www.nonfiction.ruМагистральная,д.Shutterstock.comОтпечатано в АО «Первая ОбразцоваяПодписано в печать10.07.2019.Формат 60х90/16.Бумага офсетная №1.Печать офсетная.типография»,филиал «УЛЬЯНОВСКИЙ ДОМ ПЕЧАТИ»432980,г. Ульяновск, ул. Гончарова,19 печ. л.
Тираж 1500 экз.Заказ № 7191.ОбъемЗнак информационной продукции(Федеральный закон № 436-ФЗ от29.12.2010 r.)14ОГЛАВЛЕНИЕРешения к упражнениям главы1 ....................................... 7ГЛАВА Р2. Решения к упражнениям главы2 ..................................... 35ГЛАВА Р3. Решения к упражнениям главы3 ..................................... 69ГЛАВА Р4. Решения к упражнениям главы4 ................................... 145ГЛАВА Р5.
Решения к упражнениям главы5 ................................... 193ГЛАВАPl.ГЛАВА Р А. Решения к упражнениям приложения А .......................239ГЛАВА РБ. Решения к упражнениям приложения Б .......................283ГЛАВА РВ. Решения к упражнениям приложения В .......................291ГЛАВА РГ. Решения к упражнениям приложения Г....................... 299ГЛАВА Р1РЕШЕНИЯК УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫРешение для упражнения1.1.1Воспользовавшись результатомупр. А.15, запишем (не забывая о комплексном сопряжении там, гдеэто нужно!):1\j/) = N(2 (жива 1\j/) - i (мертва 1\j/)) =1мертва) - 2i(мертва 1жива)+ (мертва 1мертва)).( \jf=№(4(жива 1жива)+2i(живаПоскольку !мертва) и lжива)равны1.-(Pl.l)физические состояния, их нормыОднако эти состояния несовместимы друг с другом, так чтоих скалярное произведение пропадает. Следовательно, имеет месторавенство (\j/ 1\j/) = № (4 + 1) = 5№, а значит, N = 1/ J5.Решение для упражнения1.2. Хотя движение одномерно, ни одно= О, если х х'.*координатное состояние не совместимо с другими: (х 1х')Поэтому существует бесконечно много линейно независимых состояний, и размерность гильбертова пространства равна бесконечности.Решение для упражнения1.3.В каждом наборе у нас по два вектора.
Исходя из результатов упр. А.19 и двумерности нашего гильбертова пространства, достаточно показать, что эти векторы ортонормальны. Вычислим скалярные произведения векторов, выразив их вматричном виде, в каноническом базисе согласно табл.а)Для диагональных состояний находим:(+1+)=~(1l)C)=l;(-1+)=~(1-l)C)=o;1.1.ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯ(+1-)=~(1 1)(~1)=0;(-1-)=~(1 -1)(~1)=1.Ь) Аналогично находим для круговых состояний [производим комплексное сопряжение согласно (А.5)]:(RIR)=!(1 -i)C)=l;2(LIR)=!(1 i)C)=o;2(RIL)=!(1-i)( ~i)=o;(LIL)=!(1i)(~i)=l.22Решение для упражнениявыводим, пользуясь табл.1.4.Для диагонального базиса мы1.1, что1(+IH)= h.(1 1)(1)=_!___.h'о(-IH)= .1(1 -1)(1)=_!___.оh'1.(+IV)= h.(1 1)(0)=-1h'1(-IV)= .1(1 -1)(0)=-_!___h'1и, таким образом, IH)= (1+)+1-))/h.; IV) =(l+)-1-))/h..
Аналогичнодля кругового базиса поляризации:i)(l)=_!___.о8h'РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ(RIV)= ~(1-i)(~)=- ~;(LIV)= ~(1i)(~)= ~,следовательно,1IH)=(IR)+IL))/h; IV)=i(-IR)+IL))/h.Решение для упражнения1.5. Воспользовавшись табл.1.1, выразим состояния 1а) и 1 Ь) в каноническом базисе:la)=IЗO")= Fз1н1+IV) =~( ~);IЬ)=l-ЗО")= FзiH)-IV) =_!_(-Гз).22 -1Теперь мы можем применить тот же подход, что и в предыдущемупражнении.(+la)(-la)1Гn(l2v2канони•1еский базис=канонический базис=1-(12.)21)(-Гз)= Fз+l;12.)2-1)(-Гз)= Fз-1.12.)2Таким образом, разложение 1а) в диагональном базисе поляризации-этоа диаrонал;;::ыйбазис(( +la)) =_1 (Fз +1]1)(-la)2.)2Fз-1 ·(Pl.2)Аналогично получаем:IЬ)диагональный базис 1 ( -J3 -1=2.)2JFз+l .(Рl.З)Для кругового базиса поляризации(Ria)канонический базис=1(-Гз)-(1 -i)2.)21-J3 - j=-;2.)29ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАРЕШЕНИЯследовательно,(Pl.4)и аналогично(Pl.5)Чтобы найти скалярное произведение в каждом из трех базисов,используем (А.5):(alb)(юню11ический баJиса Ь );i11aro11;c1ь11"rй ба1ис11)(Гз)=_!_=_!_(JЗ2-14Гз-1 )(Гз-1)J3 + l =-21=-81 (Гз+l~.1((а ь) •руrовой бюис = 8 "' 3 + 11+i)1~ - 1·)(ГзГз - i = 2 ."' 3Все три скалярных произведения одинаковы, что подтверждаеттеорию.Решение для упражнения1.6.
В соответствии с (А.7) состояние1'1')раскладывается в базисе 1 и) согласно1\jl) = L (и, 1\jl)1 V;) .(Pl.6)Отсюда следует, что(Pl.7)1.)= L.\v1l'I'). (v;l'1') 0u=(Pl.8)i,j2 (1.3)= L.l\v; 1'1')1 ==L,щ.10(Pl.9)(Pl.10)РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫРешение для упражненияизмеренное в базисесостояния 1\j/')Предположим, что состояние1.7.{lv) }, дает вероятности pr; = 1(v;1'!')1= ei<P 1\jl)2•1l'V),Тогда дляимеет место равенствоРешение для упражнения1.8а) Как мы обнаружили в упр.
В.8, состояние145°) после прохож22,5° станет IH) и1-45°), в свою очередь, стадения через волновую пластинку под угломзатем пройдет черезнет1V)и отразитсяPBS. Состояниеот PBS. Следовательно,эти два состояниядадут щелчки в двух разных фотонных детекторах, так что данное устройство способно их различить.Ь) Как выяснилось в упр. В.9, два состояния с круговой поляризацией, проходящие через четвертьволновую пластинкупод углом0°,превращаются в диагонально поляризованныесостояния. Последующая часть устройства эквивалентна описанной в части а) и, следовательно, позволяет различить этисостояния.Решение для упражнения1.10.тому, что показано на рис.Ь, но оптическую ось волновой пла1.2стинки нужно установить под угломУстройство будет аналогично8/2к горизонтали.
Такая волно1t18) в 1Н), а 1- + 8) в 1V).вая пластинка будет переводить состояниеРешение для упражнения1.11.2Нужна всего одна четвертьволновая пластинка с оптической осью, ориентированной под45° к горизонтали. В системе отсчета, связанной с этой волновой пластинкой, состояния1Н)и1V)представляются диагонально поляризованными, такчто волновая пластинка взаимно конвертирует состояния в каноническом и круговом базисах согласноIH)~~IR)IV)~IL)~IH).Следовательно, такая волновая пластинка, если за ней будет помещатьсяполяризующий светоделитель, направит все фотоны с правой круговой поляризацией в один детектор, а с левойРешение для упражнения-в другой.1.12а) Воспользуемся теоремой о полной вероятности (упр.
Б.6). Имеяв виду, что на вход поступает либоIH)с вероятностью1V)свероятностью1/2, и используя результат упр.1/2, либо1.9, находим:11ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯ11111111Рfн =2Рfн1н +2Pfн1v =2;Pfv =2Pfv1н +2Pfv1v =2 ·Ь) Аналогично:1pr+ =2pr+IH +2pr+IV =2;111Pr =-pr-IH +-pr-IV =-- 222·с) Таким же образом:111prR =2prRIH +2prRIV =2;111prL =2prLIH +2prLIV =2.Решение для упражненияные в упр.1.13.Используем разложения, найден1.5:а) Р'н =l(зо']н)I' =l~(vГз 1)(~)1' ~' - ~ ·pr,=l(зo·]v)I' =l~(vГз 1)(~)1' =IM ~Из этого следует, что измерение даст состояниестьюЬ)рr+prс)1275%и состояние 1V) с вероятностьюIH)с вероятно25%.z =4+2JЗ =0 933·= JЗ+l1)(1)12=1(3001+)12 =1-1-(JЗ,'82J212J2=l(зо']-)1' =1 2}z(vГз 1)С1 )1' =~;/ =4 -~vГз =0,067pr,=l(зD°JR)I' =l2}z(vГз 1)(~)1' =~~i' - ~'pr,=l(зo']L)I' =l21(vГз1)CJI' = ~3;/-~РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫРешение для упражненияpr+1.14=1(+1'1')1 2 == (1(Pl.lla)(н~(V1)(1н):;• IV))' ==~l(HIH)+ei"' (HIV)+(VIH)+ei"' (VIV)l =21.41=-(1 + cos<p);22=-ll+O+O+e'"' 1=pr_=1(-1'1')1 2 =(Pl.llb)= ( (н~(Vi)(IH)~'IV) )'=~l(HIH)+ei"' (HIV)-(VIH)-ei"' (VIV)l 2 ==.!.ll+0-0-e;"' 12 =41=-(1-cos<p).2Как и ожидалось,pr+ + pr_ = 1.Решение для упражненияполяризацииДля обобщенного состояния1.15.1'1') = \jlн 1Н) + \jl v 1V)выразим \jl нгде в обоих случаях <р действительны,r=rне;"'ни \jl v= rv ei"'v ,действительны и неотрицательны.
Вспомнив, что изменение общей фазы системы не влияет наее физику, мы можем домножить состояниетель е;"'н, тогда1'1')= rнIH) + rvei"' IV)переменную <р = <pv - <рн). Наша задачаменные-1'1') на фазовый множи(где мы определили новуюнайти три неизвестные переrН' r vи <р.Посмотрим сначала на измерение в каноническом базисе. Вероятность обнаружить горизонтально поляризованный фотон равна13ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯотсюда находим:Здесь мы воспользовались тем, чтоrни r vдействительны и положительны, а также применили условие нормированияОстается определить <р.
Запишем вероятность обнаружить фотон,поляризованный под+45°,следующим образом:= 1/2lrн + rvei<Plz ==1/2[r~ + ri + rнrv (е;<Р + e-i<P )] ==1/2+rнrvcos<pа для состояния с правой круговой поляризацией так:= 1/2[r~ + ri - irнrv (ei<P - e-i<P) J== 1/2 + rнrv sin <рНи одно из этих уравнений не позволяет однозначно определить <р.IR) и IL) (для которых <р = ± л/2 соответ= О, поэтому их различить при помощи измеренийНапример, у состоянийственно)cos<ртолько в каноническом и только в диагональном базисах невозможно.Однако эти два уравнения, взятые вместе, дают нам одновременносинус и косинус угла и, следовательно, позволяют однозначно определить величину <р.14РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫРешение для упражнения11.16а) Считаем для простоты, что пространство, в котором мы собираемся измерять состояния, двумерно.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
