Главная » Просмотр файлов » Решения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А.

Решения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238819), страница 6

Файл №1238819 Решения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А. (Решения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А.) 6 страницаРешения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238819) страница 62020-10-28СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Применив определение (2.17а) частичногоi,jскалярного произведения, получим(а'IЧ1) =La;bj (a'lv;)lwj )=(Р2.13)=Ia;(a'luJxIЬjlwj)==(a'la)IЬ).(Р2.14)ji(Р2.15)Решение для упражнения 2.33. Пусть 1Ч1) =L Ч1 !i 1V;)1 ш j) . Тогда,согласно определению (2.17а),!i(Ьl(аlЧ1) =(Ьl(L. Ч1 и (alv; )1 wj )) =L, Ч1 и (al u; )(ЬI wj);ии(аl(ЬIЧ1) =(al(L. Ч1и lv;)(Ьlwj ))= L, Ч1и (alv;)(Ьlwj);ии(аЬIЧ1) =(aЬl(L. Ч1и lviwj )) =L, Ч1 и (alv; )(Ьlwj),иигде последнее уравнение получается из определения скалярного про­изведения в составном пространстве.Решение для упражнения 2.34. Используем Аи= (viwj IЧ1) иµk 1=(u;w;IЧ1), а также разложение тождества (подразд. А.6.3), чтобы(2.21).

Говоря конкретнее, мывставляем два оператора тождества, Ilv;)(u; и Ilw;)(w;I.преобразовать левую сторону уравнения1kL Ч1и (alv;)lwj) =L (v;wj IЧ1)(alv;)lwj) =ijij=L(v;wj IЧ1)(alv;)(u;w;lv;wj )lw;) =ijk/=~(v;w;i( tlviwj )(u;wj 1)1Ч1)(alv;)lw;) ==I(v;w;IЧ1)(alv;)lw;)= LЧ1~1 (alv;)lw;).ы48ы1РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫРешение для упражнения22.35а) Взяв частичное скалярное произведение обеих сторон уравне­ния(2.15)и произвольного элемента(v)из базиса измеренияАлисы, находимЬ) Это следует из предыдущего результата и того факта, что1Ь)нормирован.1Решение для упражнения 2.36.

Поскольку 1Ч1) = г;:; (1RV)+1 Н +)),находим:-vЗЭто суть (ненормированные) состояния, в которых измерение Алисыприготавливает фотон Боба. Вероятности их равны квадратам нормэтих состояний:Решение для упражнения2.37.Проведем доказательство длясостояния Белла IФ+).

Пусть первый элемент ортонормального базисаlv 1)Алисы задан выражением+ Ь IV), где а и Ь lal 2 + 1Ь1 2 = 1. Тогда=а IН)ные комплексные числа, такие чтопроизволь­и таким образомТогда вероятность наблюдения второго элемента базиса Алисыдолжна равняться1pr2 =1- -1=- . Рассуждения для других состояний2 2Белла аналогичны.49ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯРешение для упражнениячто состояние12.39.По аналогии с упр.'11-) может быть выражено2.9отметим,как1Ч1-)= ~(lйv)-lvй)),(Р2.16)где состояния lй)=al~/+~IV) и lv)=-~·lн)+a·lv) образуютортонормальный базис, а 1 Н)состояние, которое Алиса хочет пригото­-вить в локации Боба.

Из уравнения (Р2.16) мы видим, что Алисе сле­дует проводить и~мерения в базисе {1й),1 V)} .Удаленное приг~товле­ние состояния н) происходит, если Алиса обнаруживает v)' что11случается с вероятностью1/2,Решение для упражненияв соответствии с упр.2.37.Как мы знаем из упр.2.40.2.27, Алисапри измерении в базисе {le),1%+8)} увидит каждый из возможныхрезультатов с вероятностью рrАл иса видит 101 =Предположим, что Алиса наблюдаетprАлиса видит 1• +е)2= 1/2.18). Тогда состояние Боба про­ецируется на 1%+ 8).

При условии этого события Боб, измеряющий вканоническом базисе, получит следующие вероятности:Р БобвидитfН)IАлисавидитfе)r22 e·1-- 1( Н~+е'2 ) 1 -sin1( 7t )1Р rБоб видит fV)IAлиca видит fe) = v -2 + е21= cos 2 е .Аналогично этому, если Алиса наблюдаетlf+8), Боб получает 18), азначит, условные вероятности таковы:р rБобвидитfН)IАлисавидитl~+е) --1( Н 1е 12)1( 1 )1р rБоб видит fV)IAлиca видит 11+0) = V 82-- cos 2 е ·'•=SШ28'Чтобы найти общую вероятность того, что Боб будет наблюдать 1 Н) , мыдолжны воспользоваться правилом (Б.б) для условных вероятностей:рrБобвидитfН)= рrБобвидитfН)IАлисавидитfе)рrАлисавидитfе)+prБобвидитfН)IАлисавидитl~+е) prАлисавидитj~+е) --= sin 2 8/2 + cos2 8/2 = 1/2.50+РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ2Таким же образом находимрrБоб видит 1v) = 1/2 ·Решение для упражнения2.41.Для первого сценария результатнепосредственно следует из первоначального постулата об измере­ниях.

Проанализируем второй сценарий. В отличие от предыдущегорешения мы не станем использовать условные вероятности, а будемрассуждать в терминах ненормированных состояний, которые вклю­чают в себя вероятности в качестве своей нормы. Это отличие всеголишь в способе записи, физика здесь та же.Измерение Алисы даст ненормированное состояниеIl A,i 1о/)=1 V;) А (8) А V; 1о/) В(гдеi'случайно. Если теперь Боб выполняет измерение над своейчастью состояния, вероятность того, что он увидитlw.),)равна(Р2.17)Как мы выяснили в упр.

2.33, (wjl((v;IЧ1))=(viwjlЧ1). Соответ­ственно,(Р2.18)а это эквивалентно тому, что мы получили в первом сценарии. Экви­валентность третьего сценария первому доказывается так же.Решение для упражнения2.421а) Поскольку 1Ч1) = J3 (1RV)+1 Н +)) , имеют место равенстварrнн =l(HHIЧ1)l 2 =~l(HHIRV)+(HHIH +)1 =~10+ ~1 2 =~,prнv =l(HVIЧ1)l 2 =~l(HVIRV)+(HVIH +)1 =~1~ + ~1 2 ~,22prvн =l(VHIЧ1)l 2 =_!_l(VHIRV)+(VHIH+)l=_!_IO+Ol =0;3322prvv =l(WIЧ1)l 2 =~l(WIRV)+(WIH+)l 2 =~1~+012~51ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯЬ) Как мы знаем из упр.prАлисавидит IH)2.30,Алиса увидит IН) с вероятностью5=б, при этом состояние, приготовленное у Боба, будетIH)~IV); состояние IV) Алиса увидит с вероятностью5prАлисавидит lv)1= б, состояние же, приготовленное у Боба, будет 1V).

Впервом случае вероятности результатов измерения Боба составятрrБобвидитlН)IАлисавидитlН) =1(HjрrБобвидитlV)IАлисавидитlН) =1(VIIH)+2jv)1 2 1.J5=S,IH)+2IV)l24=S'.J5а во втором случаеР rБоб видит IН)IАлиса вид~т IV)--1( Н V )1 2 --О·'12Р rБобвидитlV)IАлисавидитlV) = 1(V 1V ) 1 =1 •Воспользовавшись правилом для условных вероятностей, получаем1= ~;Рfнн = рrБоб видит IН)IАлисавидит IН)рrАлиса видит IH)prНV= prБоб видит IV)IAлиca видит IH)-- •prАлиса видит IH) -3'Pr VH = p rБоб видит IН)IАлиса видит IV) prАлиса видит IV)-О·'-Pr vv =--prБоб ВИДИТ 1V)1 Алиса ВИДИТ 1V)Решение для упражнениятого, что Боб обнаружит1prАлиса ВИДИТ 1V)-2.43. Чтобы16•найти общую вероятностьw1.), мы должны просуммировать по всем воз-можным результатам измерения АлисырrБоб видит lw;)- ""'prБоб видит- ~-lw;) и Алиса видит lи;) -1(2.19)=I,(Ч11vPwj)(v;,wjl'P) =i=L('Plwj)вlv;)AA (v;lв(wjl'P)=i=(Ч11wj )i(wj 1'11)==11(wj521Ч1/ll2 'РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ2а это эквивалентно вероятности, с которой такой результат будетиметь Боб, если произведет измерение до Алисы.

Очевидно этавероятность не зависит ни от последовательности, в которой Алисаи Боб проводят свои измерения, ни от того, какой базис{lv)}выбе­рет Алиса.Решение для упражнения2.44.Если бы клонирование бьmо воз­можно, Алиса и Боб могли бы реализовать следующий протокол. В началеу них общее запутанное состояние, например'11-).1Когда Алисе нужноотправить Бобу сообщение, она зашифровывает его в величину угла0между О и ~, а затем измеряет свой фотон в базисе {10).1~+0)},мгновенно приготавливая таким образом одно из этих двух состоянийв локации Боба. Боб делает множество копий этого состояния и произво­дит над ними квантовую томографию (см.

подразд.1.4.2),определяятаким образом угол поляризации своего удаленно приготовленногофотона со сколь угодно высокой точностью. Несмотря на то что этот уголможет быть равен либо 0, либо-+0,20,1tиз него можно определить так как1tо нем известно, что он лежит между О и - . После этого Боб расшифро-2вывает данную величину и получает из нее первоначальное сообщениеАлисы.Решение для упражнения2.45.Если Алиса измерила свой фотонв каноническом базисе, то получившиеся в результате ненормирован­ные состояния для Боба окажутся следующими:а) л(НIЧ1)=1Н)/J5;л (VIЧ1)= 21v)/J5.Соответственно, ансамблевое описание фотона Боба станет таким:«либо IН) с вероятностью1/5, либоIV) с вероятностью 4/5».Ь) л(НIЧ1)=(1н)+iv))/~ =~2/Зi+);л(ViЧ1)=iV)/~.53ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯЭто состояние описывается как ансамбль «либостью2/3, либо 1 V)с вероятностью1+)с вероятно­1/3».Обратите внимание, что Алиса, когда проецирует на IН), не раз­1рушает когерентность между Н) и1V) Боба.

Это можно увидетьтакже, если переписать начальное состояние какДля диагонального базиса:а) А (+IЧ1) = Jl/10 IH)+J2; SIV)= ~ (.Ji751н)+J4/s1v));А (-IЧ1) = Jl/10IH)-J2;s1v) = ~(.Ji751н)-J4/s1v)),где векторы состояния в скобках нормированы. Фотон Боба естьлибо .Ji751 Н) + J4 / S IV), либо Jl / S IН)- J4 / S IV) с вероятно­стями по 1/2 каждый.Ь) л(+IЧ1)= .Ji761н)+J2/ 3 IV) = л-(.J1751н)+J4/s1v));л(-IЧ1) = Jl/ 6IH).6Это состояние равно или Jl / S IН) + J4 / S IV) с вероятностью5/6, или IН) с вероятностью 1/6.Решение для упражнения2.46.Пусть(Р2.19)Если известно, чтоМл=-1рrМл11'л = l;L1111LprM 8 11' 8= 1;М 8 =-1LрrNл11'л = 1;Nл=-1LprN 8 11' 8=1(Р2.20)N 8 =-I(поскольку, например, для заданного Лл значения, которые может при­нимать МА, это либо+ 1, либо-1),находимПолучим теперь первое слагаемое в(2.26) из первого члена в (2.24);остальные члены вычисляются аналогично.

Имеет место равенство:54РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ(Р2.20)=LЛл,Лв(Р2.19)+!LРГлл.л.РГмл1ллРrм.1л.РГNлlЛлрrN.1л.МАМв2(Р2.19)Мл,М 8 ,Nл,N 8 ~-1+!LМл,М 8 ,Nл,N 8 ~-1РГмл,М 8 ,Nл,N8 МАМВ.Решение для упражненияпереписано как(S'; =(М)Мв2.47.Уравнение(2.26)может быть- Nв) + NА(Мв + Nв)). Рассмотрим любоевозможное множество значений для {МА,Мв,NА,Nв}, демонстрируе­мых на экранах на рис.2.3 в единичном событии. Поскольку и Мв, иNв имеют значения + 1 или -1, то либо (Мв - Nв), либо (Мв + Nв) должнобыть равно нулю. Так как и МА, и NАравны + 1 или -1, мы находим, чтозначение S для этого события должно равняться либо +2, либо -2.Усредняя по всем событиям, что эквивалентно усреднению по распре­делению вероятностей рrм мА•В•NА•NВ,получаем1(S';I~2.Это и естьнеравенство Белла.Решение для упражнения2.48.Находим<\ = le)(el-l%+e )\%+е! == (cosel н) + sinel v) )( cose(нl + sine(vl)-(-sinel н) + cosel v) )(-sine(HI + cose(vl) =(Р2.21)= (cos 2 e-sin 2 e)IH)(Hi-Ccos 2 e-sin 2 e)IV)(VI ++2cos0sinel H)(VI + 2cos0sinel v)(HI == cos(2e)(IH)(Hl-IV)(vl) + sin(2e)(lн)(vl+I v)(HI),и таким образомМА =& 0 =IH)(Hl-IV)(VI=&,;Мв =&тт/8=1(1H)(Hl-IV)(Vl+IH)(Vl+IV)(HI);NA =сrтт/4 =IH)(Vl+IV)(Hl=&x;(Р2.22)Nв =сrзтт/8=1(-IH)(Hl+IV)(Vl+IH)(Vl+IV)(HI)·55ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯ2.49а) Члтобы определить л ('Р-1 J\f А ®Мв 1'Р-), сначала вычислимМА 1 'Р-) (поскольку МА и Мв обитают в разных линейных про­Решение для упражнениястранствах, они коммуrируют между собой, поэтому мы можемприменять их в любом порядке).

Оператор МА действует нафотон Алисы, оставляя горизонтальную поляризацию неизмен­ной, но домножая состояние вертикальной поляризации на-1:мА l'P-)= ~(lн)(нl-lv)(vl)A (lнv)-lvн))= ~(lнv)+lvн)).Затем применяем оператор Мв к фотону Боба:МА ®Мв 1'P-)=~(IH)(Hl-IV)(Vl+IH)(Vl+IV)(Hl)в (IHV)+IVН))==_!_ (1 vн)-1нv)+1нн)+1 w))2и наконец('Р-1мА ®Мв 1'Р-)= \, ((НVl-(VНl)(IVH)-IНV)+IHH)+IW))=2v2-1.л.·Разумеется, те же вычисления можно было бы провести вматричном виде, как в упр.2.14.Ь) Второй элемент матрицы находится аналогичным образом:('Р-1 мА ® Nв 1'Р-) == 21((нv1-(vнl)(IH)(Hl-IV)(vl)A хx(-IH)(HI +1v)(VI+1 н)(vl +IV)(нl)в (1 нv)-1 vн)) == 2 1((HVl-(VHl)(-IH)(Hl+IV)(Vl+IH)(Vl+IV)(Hl)в(IHV)+lvн))=112v2v2=~((HVl-(VHl)(-IVH)+IНV)+IHH)+lw))= г;:;·с) Третий и четвертый элементы матрицы тоже можно было бынайти пуrем прямых вычислений.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
13,44 Mb
Тип материала
Предмет
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6480
Авторов
на СтудИзбе
303
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее