Решения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238819), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Применив определение (2.17а) частичногоi,jскалярного произведения, получим(а'IЧ1) =La;bj (a'lv;)lwj )=(Р2.13)=Ia;(a'luJxIЬjlwj)==(a'la)IЬ).(Р2.14)ji(Р2.15)Решение для упражнения 2.33. Пусть 1Ч1) =L Ч1 !i 1V;)1 ш j) . Тогда,согласно определению (2.17а),!i(Ьl(аlЧ1) =(Ьl(L. Ч1 и (alv; )1 wj )) =L, Ч1 и (al u; )(ЬI wj);ии(аl(ЬIЧ1) =(al(L. Ч1и lv;)(Ьlwj ))= L, Ч1и (alv;)(Ьlwj);ии(аЬIЧ1) =(aЬl(L. Ч1и lviwj )) =L, Ч1 и (alv; )(Ьlwj),иигде последнее уравнение получается из определения скалярного произведения в составном пространстве.Решение для упражнения 2.34. Используем Аи= (viwj IЧ1) иµk 1=(u;w;IЧ1), а также разложение тождества (подразд. А.6.3), чтобы(2.21).
Говоря конкретнее, мывставляем два оператора тождества, Ilv;)(u; и Ilw;)(w;I.преобразовать левую сторону уравнения1kL Ч1и (alv;)lwj) =L (v;wj IЧ1)(alv;)lwj) =ijij=L(v;wj IЧ1)(alv;)(u;w;lv;wj )lw;) =ijk/=~(v;w;i( tlviwj )(u;wj 1)1Ч1)(alv;)lw;) ==I(v;w;IЧ1)(alv;)lw;)= LЧ1~1 (alv;)lw;).ы48ы1РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫРешение для упражнения22.35а) Взяв частичное скалярное произведение обеих сторон уравнения(2.15)и произвольного элемента(v)из базиса измеренияАлисы, находимЬ) Это следует из предыдущего результата и того факта, что1Ь)нормирован.1Решение для упражнения 2.36.
Поскольку 1Ч1) = г;:; (1RV)+1 Н +)),находим:-vЗЭто суть (ненормированные) состояния, в которых измерение Алисыприготавливает фотон Боба. Вероятности их равны квадратам нормэтих состояний:Решение для упражнения2.37.Проведем доказательство длясостояния Белла IФ+).
Пусть первый элемент ортонормального базисаlv 1)Алисы задан выражением+ Ь IV), где а и Ь lal 2 + 1Ь1 2 = 1. Тогда=а IН)ные комплексные числа, такие чтопроизвольи таким образомТогда вероятность наблюдения второго элемента базиса Алисыдолжна равняться1pr2 =1- -1=- . Рассуждения для других состояний2 2Белла аналогичны.49ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯРешение для упражнениячто состояние12.39.По аналогии с упр.'11-) может быть выражено2.9отметим,как1Ч1-)= ~(lйv)-lvй)),(Р2.16)где состояния lй)=al~/+~IV) и lv)=-~·lн)+a·lv) образуютортонормальный базис, а 1 Н)состояние, которое Алиса хочет пригото-вить в локации Боба.
Из уравнения (Р2.16) мы видим, что Алисе следует проводить и~мерения в базисе {1й),1 V)} .Удаленное приг~товление состояния н) происходит, если Алиса обнаруживает v)' что11случается с вероятностью1/2,Решение для упражненияв соответствии с упр.2.37.Как мы знаем из упр.2.40.2.27, Алисапри измерении в базисе {le),1%+8)} увидит каждый из возможныхрезультатов с вероятностью рrАл иса видит 101 =Предположим, что Алиса наблюдаетprАлиса видит 1• +е)2= 1/2.18). Тогда состояние Боба проецируется на 1%+ 8).
При условии этого события Боб, измеряющий вканоническом базисе, получит следующие вероятности:Р БобвидитfН)IАлисавидитfе)r22 e·1-- 1( Н~+е'2 ) 1 -sin1( 7t )1Р rБоб видит fV)IAлиca видит fe) = v -2 + е21= cos 2 е .Аналогично этому, если Алиса наблюдаетlf+8), Боб получает 18), азначит, условные вероятности таковы:р rБобвидитfН)IАлисавидитl~+е) --1( Н 1е 12)1( 1 )1р rБоб видит fV)IAлиca видит 11+0) = V 82-- cos 2 е ·'•=SШ28'Чтобы найти общую вероятность того, что Боб будет наблюдать 1 Н) , мыдолжны воспользоваться правилом (Б.б) для условных вероятностей:рrБобвидитfН)= рrБобвидитfН)IАлисавидитfе)рrАлисавидитfе)+prБобвидитfН)IАлисавидитl~+е) prАлисавидитj~+е) --= sin 2 8/2 + cos2 8/2 = 1/2.50+РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ2Таким же образом находимрrБоб видит 1v) = 1/2 ·Решение для упражнения2.41.Для первого сценария результатнепосредственно следует из первоначального постулата об измерениях.
Проанализируем второй сценарий. В отличие от предыдущегорешения мы не станем использовать условные вероятности, а будемрассуждать в терминах ненормированных состояний, которые включают в себя вероятности в качестве своей нормы. Это отличие всеголишь в способе записи, физика здесь та же.Измерение Алисы даст ненормированное состояниеIl A,i 1о/)=1 V;) А (8) А V; 1о/) В(гдеi'случайно. Если теперь Боб выполняет измерение над своейчастью состояния, вероятность того, что он увидитlw.),)равна(Р2.17)Как мы выяснили в упр.
2.33, (wjl((v;IЧ1))=(viwjlЧ1). Соответственно,(Р2.18)а это эквивалентно тому, что мы получили в первом сценарии. Эквивалентность третьего сценария первому доказывается так же.Решение для упражнения2.421а) Поскольку 1Ч1) = J3 (1RV)+1 Н +)) , имеют место равенстварrнн =l(HHIЧ1)l 2 =~l(HHIRV)+(HHIH +)1 =~10+ ~1 2 =~,prнv =l(HVIЧ1)l 2 =~l(HVIRV)+(HVIH +)1 =~1~ + ~1 2 ~,22prvн =l(VHIЧ1)l 2 =_!_l(VHIRV)+(VHIH+)l=_!_IO+Ol =0;3322prvv =l(WIЧ1)l 2 =~l(WIRV)+(WIH+)l 2 =~1~+012~51ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯЬ) Как мы знаем из упр.prАлисавидит IH)2.30,Алиса увидит IН) с вероятностью5=б, при этом состояние, приготовленное у Боба, будетIH)~IV); состояние IV) Алиса увидит с вероятностью5prАлисавидит lv)1= б, состояние же, приготовленное у Боба, будет 1V).
Впервом случае вероятности результатов измерения Боба составятрrБобвидитlН)IАлисавидитlН) =1(HjрrБобвидитlV)IАлисавидитlН) =1(VIIH)+2jv)1 2 1.J5=S,IH)+2IV)l24=S'.J5а во втором случаеР rБоб видит IН)IАлиса вид~т IV)--1( Н V )1 2 --О·'12Р rБобвидитlV)IАлисавидитlV) = 1(V 1V ) 1 =1 •Воспользовавшись правилом для условных вероятностей, получаем1= ~;Рfнн = рrБоб видит IН)IАлисавидит IН)рrАлиса видит IH)prНV= prБоб видит IV)IAлиca видит IH)-- •prАлиса видит IH) -3'Pr VH = p rБоб видит IН)IАлиса видит IV) prАлиса видит IV)-О·'-Pr vv =--prБоб ВИДИТ 1V)1 Алиса ВИДИТ 1V)Решение для упражнениятого, что Боб обнаружит1prАлиса ВИДИТ 1V)-2.43. Чтобы16•найти общую вероятностьw1.), мы должны просуммировать по всем воз-можным результатам измерения АлисырrБоб видит lw;)- ""'prБоб видит- ~-lw;) и Алиса видит lи;) -1(2.19)=I,(Ч11vPwj)(v;,wjl'P) =i=L('Plwj)вlv;)AA (v;lв(wjl'P)=i=(Ч11wj )i(wj 1'11)==11(wj521Ч1/ll2 'РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ2а это эквивалентно вероятности, с которой такой результат будетиметь Боб, если произведет измерение до Алисы.
Очевидно этавероятность не зависит ни от последовательности, в которой Алисаи Боб проводят свои измерения, ни от того, какой базис{lv)}выберет Алиса.Решение для упражнения2.44.Если бы клонирование бьmо возможно, Алиса и Боб могли бы реализовать следующий протокол. В началеу них общее запутанное состояние, например'11-).1Когда Алисе нужноотправить Бобу сообщение, она зашифровывает его в величину угла0между О и ~, а затем измеряет свой фотон в базисе {10).1~+0)},мгновенно приготавливая таким образом одно из этих двух состоянийв локации Боба. Боб делает множество копий этого состояния и производит над ними квантовую томографию (см.
подразд.1.4.2),определяятаким образом угол поляризации своего удаленно приготовленногофотона со сколь угодно высокой точностью. Несмотря на то что этот уголможет быть равен либо 0, либо-+0,20,1tиз него можно определить так как1tо нем известно, что он лежит между О и - . После этого Боб расшифро-2вывает данную величину и получает из нее первоначальное сообщениеАлисы.Решение для упражнения2.45.Если Алиса измерила свой фотонв каноническом базисе, то получившиеся в результате ненормированные состояния для Боба окажутся следующими:а) л(НIЧ1)=1Н)/J5;л (VIЧ1)= 21v)/J5.Соответственно, ансамблевое описание фотона Боба станет таким:«либо IН) с вероятностью1/5, либоIV) с вероятностью 4/5».Ь) л(НIЧ1)=(1н)+iv))/~ =~2/Зi+);л(ViЧ1)=iV)/~.53ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯЭто состояние описывается как ансамбль «либостью2/3, либо 1 V)с вероятностью1+)с вероятно1/3».Обратите внимание, что Алиса, когда проецирует на IН), не раз1рушает когерентность между Н) и1V) Боба.
Это можно увидетьтакже, если переписать начальное состояние какДля диагонального базиса:а) А (+IЧ1) = Jl/10 IH)+J2; SIV)= ~ (.Ji751н)+J4/s1v));А (-IЧ1) = Jl/10IH)-J2;s1v) = ~(.Ji751н)-J4/s1v)),где векторы состояния в скобках нормированы. Фотон Боба естьлибо .Ji751 Н) + J4 / S IV), либо Jl / S IН)- J4 / S IV) с вероятностями по 1/2 каждый.Ь) л(+IЧ1)= .Ji761н)+J2/ 3 IV) = л-(.J1751н)+J4/s1v));л(-IЧ1) = Jl/ 6IH).6Это состояние равно или Jl / S IН) + J4 / S IV) с вероятностью5/6, или IН) с вероятностью 1/6.Решение для упражнения2.46.Пусть(Р2.19)Если известно, чтоМл=-1рrМл11'л = l;L1111LprM 8 11' 8= 1;М 8 =-1LрrNл11'л = 1;Nл=-1LprN 8 11' 8=1(Р2.20)N 8 =-I(поскольку, например, для заданного Лл значения, которые может принимать МА, это либо+ 1, либо-1),находимПолучим теперь первое слагаемое в(2.26) из первого члена в (2.24);остальные члены вычисляются аналогично.
Имеет место равенство:54РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ(Р2.20)=LЛл,Лв(Р2.19)+!LРГлл.л.РГмл1ллРrм.1л.РГNлlЛлрrN.1л.МАМв2(Р2.19)Мл,М 8 ,Nл,N 8 ~-1+!LМл,М 8 ,Nл,N 8 ~-1РГмл,М 8 ,Nл,N8 МАМВ.Решение для упражненияпереписано как(S'; =(М)Мв2.47.Уравнение(2.26)может быть- Nв) + NА(Мв + Nв)). Рассмотрим любоевозможное множество значений для {МА,Мв,NА,Nв}, демонстрируемых на экранах на рис.2.3 в единичном событии. Поскольку и Мв, иNв имеют значения + 1 или -1, то либо (Мв - Nв), либо (Мв + Nв) должнобыть равно нулю. Так как и МА, и NАравны + 1 или -1, мы находим, чтозначение S для этого события должно равняться либо +2, либо -2.Усредняя по всем событиям, что эквивалентно усреднению по распределению вероятностей рrм мА•В•NА•NВ,получаем1(S';I~2.Это и естьнеравенство Белла.Решение для упражнения2.48.Находим<\ = le)(el-l%+e )\%+е! == (cosel н) + sinel v) )( cose(нl + sine(vl)-(-sinel н) + cosel v) )(-sine(HI + cose(vl) =(Р2.21)= (cos 2 e-sin 2 e)IH)(Hi-Ccos 2 e-sin 2 e)IV)(VI ++2cos0sinel H)(VI + 2cos0sinel v)(HI == cos(2e)(IH)(Hl-IV)(vl) + sin(2e)(lн)(vl+I v)(HI),и таким образомМА =& 0 =IH)(Hl-IV)(VI=&,;Мв =&тт/8=1(1H)(Hl-IV)(Vl+IH)(Vl+IV)(HI);NA =сrтт/4 =IH)(Vl+IV)(Hl=&x;(Р2.22)Nв =сrзтт/8=1(-IH)(Hl+IV)(Vl+IH)(Vl+IV)(HI)·55ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯ2.49а) Члтобы определить л ('Р-1 J\f А ®Мв 1'Р-), сначала вычислимМА 1 'Р-) (поскольку МА и Мв обитают в разных линейных проРешение для упражнениястранствах, они коммуrируют между собой, поэтому мы можемприменять их в любом порядке).
Оператор МА действует нафотон Алисы, оставляя горизонтальную поляризацию неизменной, но домножая состояние вертикальной поляризации на-1:мА l'P-)= ~(lн)(нl-lv)(vl)A (lнv)-lvн))= ~(lнv)+lvн)).Затем применяем оператор Мв к фотону Боба:МА ®Мв 1'P-)=~(IH)(Hl-IV)(Vl+IH)(Vl+IV)(Hl)в (IHV)+IVН))==_!_ (1 vн)-1нv)+1нн)+1 w))2и наконец('Р-1мА ®Мв 1'Р-)= \, ((НVl-(VНl)(IVH)-IНV)+IHH)+IW))=2v2-1.л.·Разумеется, те же вычисления можно было бы провести вматричном виде, как в упр.2.14.Ь) Второй элемент матрицы находится аналогичным образом:('Р-1 мА ® Nв 1'Р-) == 21((нv1-(vнl)(IH)(Hl-IV)(vl)A хx(-IH)(HI +1v)(VI+1 н)(vl +IV)(нl)в (1 нv)-1 vн)) == 2 1((HVl-(VHl)(-IH)(Hl+IV)(Vl+IH)(Vl+IV)(Hl)в(IHV)+lvн))=112v2v2=~((HVl-(VHl)(-IVH)+IНV)+IHH)+lw))= г;:;·с) Третий и четвертый элементы матрицы тоже можно было бынайти пуrем прямых вычислений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
