Решения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238819), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Прибор, способный четкоопределить одно из состояний, скажем,la), должен включать в{ 1а), 1а 1 ) } , гдеортогональное к 1а).себя проективное измерение, связанное с базисом1а 1 )-некоторое состояние,Если этот прибор теперь применяется для измерения состоянияlb), он с ненулевой вероятностью1(а1Ь)1 2 покажетla). Следовательно, с некоторой вероятностью проективное измерениевыдаст одинаковый результат для 1а) и для 1 Ь). Какой бы классической обработке ни подвергался результат этого измерения,неоднозначность сохранится.Ь) Такое устройство может быть изготовлено из двух подустройств,одно из которых измеряет в базисе{ib), ib 1 ) } ,{ 1а),1а 1 )}, а второе-в базисеи генератора случайных событий, который случайным образом отправляет состояния в одно из подустройств;например, это может быть неполяризующий светоделитель.Если второе подустройство регистрирует состояние 1Ь 1 ), становится ясно, что входящее состояние было точно неэто былоla).
Аналогично,lb),значит,если первое подустройство регистрирует состояние 1а 1 ), то входящее состояние-точно 1Ь). В случаелюбого другого результата входящее состояние остается неопределенным.Решение для упражнения1.17.Фотон с 50%-ной вероятностьюпойдет либо по верхнему, либо по нижнему пути. Если по нижнему,бомба взорвется. Если по верхнему, то он выйдет из интерферометра всостоянии вертикальной поляризации и с равной вероятностью попадет либо в детектор«+», либо в«-». Таким образом, вероятность события в каждом из детекторов равнатора«-»25%.В случае срабатывания детекбомба обнаружена. Если срабатывает детектор «+»,выводао наличии бомбы сделать нельзя.Решение для упражнения1.18.Прежде всего заметим, что кошибкам могут привести только те события, в которых Алиса и Бобпользуются одним и тем же базисом (так как остальные события израссмотрения выбрасываются).
Примерно в половине событий Еватоже будет пользоваться этим базисом, и тогда она не привнесетошибки. В оставшейся половине событий Ева перехватит и заново15ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯотправит фотон в неверном базисе, который затем будет случайнымобразом зарегистрирован одним из детекторов Боба. С вероятностью1/2 этобудет «не тот» детектор, поэтому Боб запишет значение бита,отличающееся от того, что было выслано Алисой.
Следовательно,общая вероятность ошибки составит1/21/2 = 1/4.Потери не влияют на безопас1.19.Решение для упражненияхность, потому что при генерации секретного ключа Алиса и Боб неиспользуют данные тех событий, в которых фотон был утрачен.1.205% на 1 км подразумевает, что п(L) = п 0 е-РLL = 1 км. Соответственно, р = -(ln 0,95) км- 1Решение для упражненияа) Уровень потерь в= О,95п 0при:::: 0,0513км- 1 •Ь) ПриL = 300 кмполучаемРешение для упражненияe-PL::::е- 15 ::::2х=::::10-7 •1.21.
Из п 0 фотонов, отправляемых Алисой каждую секунду, до Боба дойдут п 0 е-РL; каждый из них будет зарегистрирован с вероятностьюrJ.Из зарегистрированных фотонов половина будет использована для генерации секретного ключа, так что скорость передачи 1 квантовых битов составит riп 0 e-PL/2. Кроме того, двадетектора Боба генерируют темновые срабатывания со скоростью2fd,но половина этих срабатываний соответствует событиям, при которыхАлиса и Боб выбрали разные базисы. Из оставшейся половины опятьтаки только половина событий окажется «не в том» детекторе, породив таким образом ошибку в секретном ключе.
Так что частота ошибок квантового бита составитJd /2.Доля ошибок в полученном секретном ключе окажется, соответственно,fd / (jd +10 10 с- 111%, безопасность неL:::: 200 км при п 0 = 2 х 107 с- 1(рис. 1.5).1.22.Используя результат упр. А.45,riп 0 e-PL). Если она будет вышегарантируется. Такое происходит, когдаи когдаL:::: 340 кмпри п 0 =2хРешение для упражнениязапишем1+)(-I канониче;иА базис __!__(1)__!__ (l - l) = _!_(1 -1) •f2.11f2.Реальная скорость передачи секретного ключа несколько ниже из-за «наценки»,связанной с усилением секретности.162 1 -1РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫЧтобы применить этот же подход в базисевалось бы получить выражения для{IR), IL)}1нам потребо1+) и 1-) в этом базисе. В качествеальтернативного метода мы используем выражение (А.21) для преобразования оператора из дираковой формы в матричную:(Rl(l+)(-l)IR) =(Rl+)(-IR) ==1-i)1 (1)][ -(11-1)1 (1)] =-i[-(1J2J21 J2h,i2(RI (1 +)(-1)1 L) = (RI+ )(-1 L) ==[-1 (1J2-1 )-1 ( 1 )] =_!_-i )-1 (1)] [_!_(1J21J2J2-i2(LI (1+ )(-1)1 R) =(LI+ )(-1 R) ==[ ~(1i)~(~)][ ~(1-1)~С)]=~(LI (1+ )(-1)1 L) =(LI+ )(-1 L) =1.
1 (1)][11 ( -i1 )] =2i=[ J2(11)J21 J2(1-1)J2отсюда матрица:(Pl.12)Решение для упражнения1.23а) Пользуясь (А.25), запишем:А =IR)(Hl+2IH)(VI = ~ (IH)+ilv))(нl+2IH)(vl =1.= J21н)(нl+ hlv)(Hl+2IH)(vl,что согласно (А.24) соответствует матрицеА2].=[1/J2i/J2 о(Pl.13)17ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯЬ) Аналогичнотак что получаем матрицу(Pl.14)1.24(1.4) находимРешение для упражненияа) Из уравнений (А.25) и(Pl.15)Ь) Намизвестноизтабл.1.1,что.
а)ia):::o ( cosиSШ аа).1 2:.+a)::=[c~s(1-+a))=(-sincos аsш(1-+а)2Следовательно, мы можем записать::= eiл<r (c~sa)( cosa sina)+(-sina)(-sina cosa) =cosasша= ( eiл<r cos 2 а+ sin 2 а (eiл<r -1) sin а cos а).е'л<r sin 2 а+ cos 2 а( е'л<r -1) sin а cos а= :л, так что eiл<r = -1. Для чет= :л/2, так что eiл<r = i. Подставив этос) Для полуволновой пластинки Лq>вертьволновой пластинки Лq>в Ал<r, получим выражения (1.5) (для полуволновой пластинкинам потребуется также применить тригонометрические тождества для синуса и косинуса двойного аргумента).18РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫРешение для упражненияа) Записав11.25le) = ( cose)., наидем:vsшелAнwrCa)le)(l.Sa)= (-c~s2a-sin2a)(c~se) =-sш2acos2asше= (-cos2acos8-sin2asin8) =-sin2a cose + cos2asin е=(-cos(2a-8))=-sin(2a-8)=-12а-е).Ь) Для четвертьволновой пластинки с оптической осью, ориентированной горизонтально, а = О, так чтол~wrCO)= 0i о)1 .
Применив((1.Sb)принимает видэто к состояниям диагональной икруговой поляризации, найдем:~wpco)I+)= 1(~ ~)С)= 1C)=ilL);~wrCO)IL)= 1(~ ~)(~J= 1(~J=il-);~wrCO)I-) =1 (~ ~)( ~l) = 1 (~l) =ilR);~wpco)IR)= 1(~ ~)С)= 1(:)= il+).Решение для упражнения1.26.Исходя из(1.Sa),находим, чтоматричное представление (в каноническом базисе) полуволновой пластинки с оптической осью, ориентированной вертикально, представляет собой оператор&, . Этаволновая пластинкадимо для реализации оператора а,Аналогично [см. упр.1.24 Ь)],для реализации оператора ахвсе, что необхополуволновой пластинки с оптической осью, выставленной под угломл-.135°к горизонтали, достаточно.Если у нас есть последовательность оптических элементов, применяемых к фотону, то оператор для этой последовательности можетбыть найден путем перемножения операторов отдельных элементов (в обратном порядке, т.
е. оператор, соответствующий первому19ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯоптическому элементу, в произведении должен стоять последним).Посколькуо)(о1л л (1crcrzх--1о-i)1) - (о 1) -1·(о- -1 о - iоо.л У'-ш-оператор Паули &У может быть реализован (с точностью до общегофазового множителя) при помощи полуволновой пластинки с оптической осью, ориентированной под135°, за которой следует полуволновая пластинка с оптической осью, ориентированной вертикально.Решение для упражнения1.27а) Исходя из (А.24), находим:~( 11'12 1 -1)= '12~(lн)(Hl+IH)(Vl+lv)(Hl-IV)(vl)·(Pl.16)(Pl.17)HIV)=_!__(l 1)(о)=_!__(1 )=1-450)J2 1 -1 1 J2 -1с) Матрица (1.5а) принимает вид матрицы Адамара при 2а= 5л/4.Операция Адамара, следовательно, может быть реализована припомощи полуволновой пластинки с оптической осью, ориентированной под углом 5л/8 =Решение для упражнения[о112,5°.1.28о о о]Il=o100.2ооооооооРешение для упражнения1.29.Начнем с того, что запишем оператор наблюдаемого для измерения в каноническом базисе в нотацииДирака согласно определению(1.12):(1) IH)(HI + (-1) IV)(VI.Это эквивалентно оператору Паули20(Pl.18)crz[см.
(1.бс)].РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫАналогичным образом, воспользовавшись табл.11.1, найдем дляизмерения в диагональном базисе1+)(+1-1-)\-1=~С}1 1)-~( !1}1 -1)=(~ ~)=<\ ·(Pl.19)и в круговом базисе(Pl.20)Решение для упражнения1.30а) Оператор наблюдаемого V задан (1.12). Поскольку собственныезначения наблюдаемого действительны (т. е.v; = V; ), сопряженный оператор равен ему же:Ь) Это следует из спектральной теоремы (упр.
А.60).Решение для упражнениял --(оО"1х1)о1.31.Начнем с матрицы Паули•Мы ищем собственные значения и собственные векторы этойматрицы (подробности данной процедуры см., например, в решениидля упр. А.64). Характеристическое уравнение принимает вид:Решив это уравнение относительноv,находим, что собственные значения равныv12 = ±1.Теперь, ре~ая уравнениевектор1(crx-vi)lv)=O, получаем собственныйv) =(;), связанный с каждым из этих собственных значений.Уравнение приобретает видиз которого приванияа2+р2=v 1 = 1 находим1иа= р. Применяем условие нормироопределяем нормированный собственный вектор21ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯ(Pl.21)Использовав эту же процедуру приv2 = -1,получаем:(Pl.22)Теперь мы, следуя той же процедуре, вычисляем собственные векторы и собственный базис для двух остальных матриц Паули.
Для-i)&у : : : ( о1.получаемоv 12 = ±1,и(Pl.23)Матрица1crл2(1О:::::v1)::::: ( ~):::::1Н) ;о)-l1уже диагональна, так чтоv 1_2 = ±1иv2)::::: ( ~)::::: V) .1Эти результаты согласуются с альтернативным определениемматриц Паули из упр.1.29.Обратите внимание, что во всех трех случаях матричные представления операторов Паули в их собственных базисах состоят из собственных значений, размещенных по диагонали:-(iл 'аоо)(Pl.24)-1Решение для упражнения1.32а) Пользуясь (Б.1), мы можем написать, что величина математического ожидания задается как(Pl.25)i=lгдеv; -величина, полученная при измерении, аность обнаружитьl'Jf)в состоянииlv;).pr; -вероятЭта вероятность равна(Pl.26)и отсюда22РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ1(Pl.27)(Pl.28)Ь) По аналогии с пунктом а) пишем(Pl.29)Преобразуя оператор в правой части(v -(v)i)2= {~[(vi -(v))lvi)(vi 1] }(1.15),получим(Pl.30)2=L,[(vi-(v))(vj -(v))lvi)(vi lvj)(vj IJ=i,j(Pl.31)= L.[(vi -(v)) 2 lvi)(vi1}(Pl.32)1Тогда квантовое среднее значение этого оператораа это то же самое, что правая часть уравненияЧтобы доказать(1.16),(Pl.29).воспользуемся результатом упр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
