Главная » Просмотр файлов » Решения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А.

Решения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238819), страница 2

Файл №1238819 Решения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А. (Решения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А.) 2 страницаРешения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238819) страница 22020-10-28СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Прибор, способный четкоопределить одно из состояний, скажем,la), должен включать в{ 1а), 1а 1 ) } , гдеортогональное к 1а).себя проективное измерение, связанное с базисом1а 1 )-некоторое состояние,Если этот прибор теперь применяется для измерения состоя­нияlb), он с ненулевой вероятностью1(а1Ь)1 2 покажетla). Сле­довательно, с некоторой вероятностью проективное измерениевыдаст одинаковый результат для 1а) и для 1 Ь). Какой бы клас­сической обработке ни подвергался результат этого измерения,неоднозначность сохранится.Ь) Такое устройство может быть изготовлено из двух подустройств,одно из которых измеряет в базисе{ib), ib 1 ) } ,{ 1а),1а 1 )}, а второе-в базисеи генератора случайных событий, который случай­ным образом отправляет состояния в одно из подустройств;например, это может быть неполяризующий светоделитель.Если второе подустройство регистрирует состояние 1Ь 1 ), стано­вится ясно, что входящее состояние было точно неэто былоla).

Аналогично,lb),значит,если первое подустройство регистри­рует состояние 1а 1 ), то входящее состояние-точно 1Ь). В случаелюбого другого результата входящее состояние остается неопре­деленным.Решение для упражнения1.17.Фотон с 50%-ной вероятностьюпойдет либо по верхнему, либо по нижнему пути. Если по нижнему,бомба взорвется. Если по верхнему, то он выйдет из интерферометра всостоянии вертикальной поляризации и с равной вероятностью попа­дет либо в детектор«+», либо в«-». Таким образом, вероятность собы­тия в каждом из детекторов равнатора«-»25%.В случае срабатывания детек­бомба обнаружена. Если срабатывает детектор «+»,выводао наличии бомбы сделать нельзя.Решение для упражнения1.18.Прежде всего заметим, что кошибкам могут привести только те события, в которых Алиса и Бобпользуются одним и тем же базисом (так как остальные события израссмотрения выбрасываются).

Примерно в половине событий Еватоже будет пользоваться этим базисом, и тогда она не привнесетошибки. В оставшейся половине событий Ева перехватит и заново15ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯотправит фотон в неверном базисе, который затем будет случайнымобразом зарегистрирован одним из детекторов Боба. С вероятностью1/2 этобудет «не тот» детектор, поэтому Боб запишет значение бита,отличающееся от того, что было выслано Алисой.

Следовательно,общая вероятность ошибки составит1/21/2 = 1/4.Потери не влияют на безопас­1.19.Решение для упражненияхность, потому что при генерации секретного ключа Алиса и Боб неиспользуют данные тех событий, в которых фотон был утрачен.1.205% на 1 км подразумевает, что п(L) = п 0 е-РLL = 1 км. Соответственно, р = -(ln 0,95) км- 1Решение для упражненияа) Уровень потерь в= О,95п 0при:::: 0,0513км- 1 •Ь) ПриL = 300 кмполучаемРешение для упражненияe-PL::::е- 15 ::::2х=::::10-7 •1.21.

Из п 0 фотонов, отправляемых Али­сой каждую секунду, до Боба дойдут п 0 е-РL; каждый из них будет заре­гистрирован с вероятностьюrJ.Из зарегистрированных фотонов поло­вина будет использована для генерации секретного ключа, так что ско­рость передачи 1 квантовых битов составит riп 0 e-PL/2. Кроме того, двадетектора Боба генерируют темновые срабатывания со скоростью2fd,но половина этих срабатываний соответствует событиям, при которыхАлиса и Боб выбрали разные базисы. Из оставшейся половины опять­таки только половина событий окажется «не в том» детекторе, поро­див таким образом ошибку в секретном ключе.

Так что частота оши­бок квантового бита составитJd /2.Доля ошибок в полученном секретном ключе окажется, соответ­ственно,fd / (jd +10 10 с- 111%, безопасность неL:::: 200 км при п 0 = 2 х 107 с- 1(рис. 1.5).1.22.Используя результат упр. А.45,riп 0 e-PL). Если она будет вышегарантируется. Такое происходит, когдаи когдаL:::: 340 кмпри п 0 =2хРешение для упражнениязапишем1+)(-I канониче;иА базис __!__(1)__!__ (l - l) = _!_(1 -1) •f2.11f2.Реальная скорость передачи секретного ключа несколько ниже из-за «наценки»,связанной с усилением секретности.162 1 -1РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫЧтобы применить этот же подход в базисевалось бы получить выражения для{IR), IL)}1нам потребо­1+) и 1-) в этом базисе. В качествеальтернативного метода мы используем выражение (А.21) для преоб­разования оператора из дираковой формы в матричную:(Rl(l+)(-l)IR) =(Rl+)(-IR) ==1-i)1 (1)][ -(11-1)1 (1)] =-i[-(1J2J21 J2h,i2(RI (1 +)(-1)1 L) = (RI+ )(-1 L) ==[-1 (1J2-1 )-1 ( 1 )] =_!_-i )-1 (1)] [_!_(1J21J2J2-i2(LI (1+ )(-1)1 R) =(LI+ )(-1 R) ==[ ~(1i)~(~)][ ~(1-1)~С)]=~(LI (1+ )(-1)1 L) =(LI+ )(-1 L) =1.

1 (1)][11 ( -i1 )] =2i=[ J2(11)J21 J2(1-1)J2отсюда матрица:(Pl.12)Решение для упражнения1.23а) Пользуясь (А.25), запишем:А =IR)(Hl+2IH)(VI = ~ (IH)+ilv))(нl+2IH)(vl =1.= J21н)(нl+ hlv)(Hl+2IH)(vl,что согласно (А.24) соответствует матрицеА2].=[1/J2i/J2 о(Pl.13)17ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯЬ) Аналогичнотак что получаем матрицу(Pl.14)1.24(1.4) находимРешение для упражненияа) Из уравнений (А.25) и(Pl.15)Ь) Намизвестноизтабл.1.1,что.

а)ia):::o ( cosиSШ аа).1 2:.+a)::=[c~s(1-+a))=(-sincos аsш(1-+а)2Следовательно, мы можем записать::= eiл<r (c~sa)( cosa sina)+(-sina)(-sina cosa) =cosasша= ( eiл<r cos 2 а+ sin 2 а (eiл<r -1) sin а cos а).е'л<r sin 2 а+ cos 2 а( е'л<r -1) sin а cos а= :л, так что eiл<r = -1. Для чет­= :л/2, так что eiл<r = i. Подставив этос) Для полуволновой пластинки Лq>вертьволновой пластинки Лq>в Ал<r, получим выражения (1.5) (для полуволновой пластинкинам потребуется также применить тригонометрические тожде­ства для синуса и косинуса двойного аргумента).18РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫРешение для упражненияа) Записав11.25le) = ( cose)., наидем:vsшелAнwrCa)le)(l.Sa)= (-c~s2a-sin2a)(c~se) =-sш2acos2asше= (-cos2acos8-sin2asin8) =-sin2a cose + cos2asin е=(-cos(2a-8))=-sin(2a-8)=-12а-е).Ь) Для четвертьволновой пластинки с оптической осью, ориентированной горизонтально, а = О, так чтол~wrCO)= 0i о)1 .

Применив((1.Sb)принимает видэто к состояниям диагональной икруговой поляризации, найдем:~wpco)I+)= 1(~ ~)С)= 1C)=ilL);~wrCO)IL)= 1(~ ~)(~J= 1(~J=il-);~wrCO)I-) =1 (~ ~)( ~l) = 1 (~l) =ilR);~wpco)IR)= 1(~ ~)С)= 1(:)= il+).Решение для упражнения1.26.Исходя из(1.Sa),находим, чтоматричное представление (в каноническом базисе) полуволновой пла­стинки с оптической осью, ориентированной вертикально, представ­ляет собой оператор&, . Этаволновая пластинкадимо для реализации оператора а,Аналогично [см. упр.1.24 Ь)],для реализации оператора ахвсе, что необхо­полуволновой пластинки с оптиче­ской осью, выставленной под угломл-.135°к горизонтали, достаточно.Если у нас есть последовательность оптических элементов, при­меняемых к фотону, то оператор для этой последовательности можетбыть найден путем перемножения операторов отдельных элемен­тов (в обратном порядке, т.

е. оператор, соответствующий первому19ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯоптическому элементу, в произведении должен стоять последним).Посколькуо)(о1л л (1crcrzх--1о-i)1) - (о 1) -1·(о- -1 о - iоо.л У'-ш-оператор Паули &У может быть реализован (с точностью до общегофазового множителя) при помощи полуволновой пластинки с опти­ческой осью, ориентированной под135°, за которой следует полувол­новая пластинка с оптической осью, ориентированной вертикально.Решение для упражнения1.27а) Исходя из (А.24), находим:~( 11'12 1 -1)= '12~(lн)(Hl+IH)(Vl+lv)(Hl-IV)(vl)·(Pl.16)(Pl.17)HIV)=_!__(l 1)(о)=_!__(1 )=1-450)J2 1 -1 1 J2 -1с) Матрица (1.5а) принимает вид матрицы Адамара при 2а= 5л/4.Операция Адамара, следовательно, может быть реализована припомощи полуволновой пластинки с оптической осью, ориенти­рованной под углом 5л/8 =Решение для упражнения[о112,5°.1.28о о о]Il=o100.2ооооооооРешение для упражнения1.29.Начнем с того, что запишем опе­ратор наблюдаемого для измерения в каноническом базисе в нотацииДирака согласно определению(1.12):(1) IH)(HI + (-1) IV)(VI.Это эквивалентно оператору Паули20(Pl.18)crz[см.

(1.бс)].РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫАналогичным образом, воспользовавшись табл.11.1, найдем дляизмерения в диагональном базисе1+)(+1-1-)\-1=~С}1 1)-~( !1}1 -1)=(~ ~)=<\ ·(Pl.19)и в круговом базисе(Pl.20)Решение для упражнения1.30а) Оператор наблюдаемого V задан (1.12). Поскольку собственныезначения наблюдаемого действительны (т. е.v; = V; ), сопряжен­ный оператор равен ему же:Ь) Это следует из спектральной теоремы (упр.

А.60).Решение для упражнениял --(оО"1х1)о1.31.Начнем с матрицы Паули•Мы ищем собственные значения и собственные векторы этойматрицы (подробности данной процедуры см., например, в решениидля упр. А.64). Характеристическое уравнение принимает вид:Решив это уравнение относительноv,находим, что собственные зна­чения равныv12 = ±1.Теперь, ре~ая уравнениевектор1(crx-vi)lv)=O, получаем собственныйv) =(;), связанный с каждым из этих собственных значений.Уравнение приобретает видиз которого приванияа2+р2=v 1 = 1 находим1иа= р. Применяем условие нормиро­определяем нормированный собственный вектор21ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯ(Pl.21)Использовав эту же процедуру приv2 = -1,получаем:(Pl.22)Теперь мы, следуя той же процедуре, вычисляем собственные век­торы и собственный базис для двух остальных матриц Паули.

Для-i)&у : : : ( о1.получаемоv 12 = ±1,и(Pl.23)Матрица1crл2(1О:::::v1)::::: ( ~):::::1Н) ;о)-l1уже диагональна, так чтоv 1_2 = ±1иv2)::::: ( ~)::::: V) .1Эти результаты согласуются с альтернативным определениемматриц Паули из упр.1.29.Обратите внимание, что во всех трех случаях матричные представ­ления операторов Паули в их собственных базисах состоят из соб­ственных значений, размещенных по диагонали:-(iл 'аоо)(Pl.24)-1Решение для упражнения1.32а) Пользуясь (Б.1), мы можем написать, что величина математи­ческого ожидания задается как(Pl.25)i=lгдеv; -величина, полученная при измерении, аность обнаружитьl'Jf)в состоянииlv;).pr; -вероят­Эта вероятность равна(Pl.26)и отсюда22РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ1(Pl.27)(Pl.28)Ь) По аналогии с пунктом а) пишем(Pl.29)Преобразуя оператор в правой части(v -(v)i)2= {~[(vi -(v))lvi)(vi 1] }(1.15),получим(Pl.30)2=L,[(vi-(v))(vj -(v))lvi)(vi lvj)(vj IJ=i,j(Pl.31)= L.[(vi -(v)) 2 lvi)(vi1}(Pl.32)1Тогда квантовое среднее значение этого оператораа это то же самое, что правая часть уравненияЧтобы доказать(1.16),(Pl.29).воспользуемся результатом упр.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
13,44 Mb
Тип материала
Предмет
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6455
Авторов
на СтудИзбе
305
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее