Решения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238819), страница 34
Текст из файла (страница 34)
РГ.1. Нормированная функция Гаусса Gь(х) и ее интеграл Гь(х)Первый член в правой части уравнения (РГ.1) равенfi. +оо) при ограниченнойf (х). Чтобы оценить второй член, проанализируем поведение функции Гь(х) (рис. РГ.1). Она приближается к О при -оо, к1 при+оо и значительно отличается от этих значений в области, где Gь(х)заметно отличается от нуля. Ширина данной области обнуляется приЬ ~О. В этом пределе Гь(х) ведет себя как ступенчатая функция Хевисайда (Г.7). Следовательно, при гладкойfi.х)f Гь(х)f'(х)dх= f-f'(x)dx=f(x)I- =f(+oo)-f(O),оосогласно формуле Ньютона-Лейбница. Подставив оба члена в (РГ.1),получаем! (0).299ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯРешение для упражнения Г.2а) Уравнение (Г.4) получаем, подставивj{х) =1 в уравнениеЬ) Произведем замену переменной интегрирования х- а=dt =(Г.З).t.
Тогдаdхи+оо(Г.3)_,..,J8(x-a)j(x)dx= J8(t)j(t+a)dt = j(a).с) Рассмотрим гладкую функцию.f{х) и интеграл:I-= J 8(ax)f(x)dx.Чтобы вычислить этот интеграл, заменим переменную интегрирования ах=I=t, так что dx = dt/a. Тогда для положительного а:-J 8(t)j(t/a)dt/a = j(O)/a.Если а отрицательно, х= ±оо соответствует t = +оо , так что нампридется изменить пределы интегрирования:I-= J8(t)j(t / a)dt/a = - J8(t)j(t / a)dt/a = - j(O) /а.Два приведенных выше уравнения можно объединить, написав-J8(ax)j(x)dx = j(0)/1а1.(РГ.2)Сравнив уравнения (Г.З) и (РГ.2), получаем:8(ах) = 8(х).lalРешение для упражнения Г.3. Пустьd8(x)/dx =а(х). РассмотриминтегралI-= Ja(x)j(x)dxгладкой ограниченной функции.f{х).
Интегрируя по частям, находим:I300-=0(x)j(x) 1: - J 0(x)f'(x)dx.РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ПРИЛОЖЕНИЯ ГПервый член в этом выражении равен.f(+оо). Второй член, согласноопределению функции Хевисайда, равен-fj'(x)dx=f(+oo)- f(O),отак что1 = j(O).Таким образом, обобщенная функция а(х) ведет себяв соответствии с определением (Г.З) дельта-функции; следовательно,она является дельта-функцией.Решение для упражнения Г.4ddссJ8(x)dx = Je'(x)dx = е(х) 1~ = 1'где 8(х) есть функция Хевисайда, и мы воспользовались формулойНьютона-Лейбница.Решение для упражнения Г.5а) Эго следует из определения (Г.10) преобразования Фурье приЬ)k=О.](-k)=-1-f e-i(-k)xj(x)dx=J2-1c ~= ~f'J21t ~=[ Jьс(e-ikx)*j(x)dx=Iе ~х'" f( )dxJ= (посколькуf(х) действительна)=J'(k).с) Вводим новую переменную интегрирования t = ах и действуемпо аналогии с упр.
Г.2, с).F[j(ax)] =~f'J21td)j(ax)e-ikxdx =~Заменим переменную интегрирования на t=х -а. Получаем:301ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯ1 .F[j(x-a)]= ~ f(x-a)e-'kxdx=J....;2rt -=-1-7 f(x-a)e-ik(x-a)-ikadx =-1-e-ika 7 j(t)e-iktdt =fj;. ~fj;.-= e-ika ](k).е)F[e;17 f(x)] =-1- 7 f(x)e-ikxei 17 dx =fj;. _= _1_7 j(x)e-i(HJxdx =fj;. _=]Ck-~).f)Воспользуемся интегрированием по частям и учтем, что.f(x)обнуляется на ±оо:F[dj(x) / dx] =-1-7 df(x) e-ikxdx =fj;.
_ dx1 de-ikx--Jf(x)-dx=- fj;. dx1-ikx,=-f(x)efj;.1 -.J f(x)e-'kxdx==0-(-ik) ~....;2rt ~= ik](k).Решение для упражнения Г.6. Чтобы вычислить интеграл(РГ.3)выразим экспоненту в уравнении (РГ.3) как квадратичную функциюот х, а затем применим (Б.17):_(х 2.k 2 b2 k'ь')F[e-x2;ь2]=-l-J е- 17+1kx+-4 --4- dx=fj;. _k'Ъ'1 -=--е 4fj;.k'Ъ' x+ikbf е -(~ь ikb)' dx=--e1 - 4- f е -- ь'-(+2k'ь'fj;.Ьk'ь'=-1-e--4-ЬJit =-е--4fj;.302J2-2/2)'dx=РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ПРИЛОЖЕНИЯ ГРешение для упражнения Г.
71+=f"27t-=а) F[o(x)](k)= ~Ь) Приравнявdсе2v'1t.o(x)e-•kxdxd к 2/Ь,1(Г.3)~.="27tмы можем переписать (Г.1) в виде:-k2d'4~o(k)(РГ.4)приЗаметим также, что в пределе при d ~ оо функция Гаусса e-x'fd'становится постоянной и равной единице. Отсюда следует, что•F[l] = limF[e-x22fd ]d->=(Г.16)d _k'd',= 11m Гn е 4d->= ...,,2(Решение Г.4)=J2Тco(k).Решение для упражнения Г.8.
Для начала установим а=1. Заметим, что требуемый интеграл представляет собой, с точностью до множителяJ21c, преобразование Фурье от функцииj(х) =1 в точке -k.Применив (Г.18), находим:-f eikxdx = J2ТcF[1](-k) = 2rt8(-k) = 2rt8(k).Здесь мы воспользовались четностью дельта-функции, которая очевидна из (Г.1). Чтобы обобщить этот результат для произвольного а,используем (Г.12).Решение для упражнения Г.9.а) Применяя результаты (Г.13) и (Г.17), получаем:eikaF[o(x+a)+o(x-a)]=+ e-ikaJ21c27tц= -coska.7tзазОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯс) F[е-ш' соs(Ьх )J(k) = F[ ,-ш' е''" ~ ,-ш' ,-''" ](k) "~"(Г.14)=21 { F[e-ax(Г.16)1= --22](k-b)+F[e-ax ](k+b){ _(k-b) 2+е4ае2.fiQd) F[e-a(x+b)(Г.16)={2~~е2+е-а(х-Ь)2_(k+b)2•(ГIЗ)2= F[e-ax ](k)(eikb +e-ikb)(Г.16)=-~40cos(kb).-fе)=}4а](k)}(Г16)F[0(x)e-ax](k) = -1$.
оe-ax-ikxdx =11=----$.а+ ik ·~] e-ikxdx =f) F[j(x)](k) =v 27tА==$. ik-а·k·kсе-· а -е'0J2.A)=--sin(ka)=-Глk../2Аа.-Гл sшc(ka),гдеsinc t = sin t /t.Решение для упражнения Г.10y:--1[.F[j]](x) = 217t=-I[Ij(x')e-ikx'dx'}ikxdk ==JJj(x') eik(x-x')dkdx' = -1 ...,.,Jj(x') [+-Jeik(x-x')dk]dx' (Г.19)1 ...,.,...,.,=-27t -27t - 1 "°"(Г.19)(Г.5)j(x')[21to(x-x')]dx' = j(x).-J27t_Решение для упражнения Г.11. Начнем с определения (Г.21)обратного преобразования Фурье и получим:;:-- 1[j(x)](k) =~fv27t _e-i(-kJx j(x)dx= F[j(x)](-k)[здесь мы поменяли местами переменные х иkпо отношению к (Г.21)].Второе равенство в (Г.23) получается заменой хна -х в уравнении выше.304« Отличная квантовая ме х аника »уникальное учебное-пособие в дву х частя х, предлагающее глубинное обсу ж дение таки х концепций , как гильбертово пространство ,квантовоеизмерение ,запутанностьи декогеренция ,на ряду с традиционным материалом , о х ватываемым курсомквантовой ме х аники (состояния , операторы , уравнениеШрёдингера , атом водорода).
Эти концепции имеют ре шающее значение для понимания квантовой физики и еесвязисмакроскопическиммиром ,норедкорассматриваются в учебника х начального уровня .В книге применяется математически про с тая физическаясистемата-поляризация фотоноввизуализации ,чтопозволяет-в качестве инструменчитателюувидетьзапутанную красоту квантового мира с самы х первы х страниц.Формальные концепции квантовой физики проиллюстрированыпримерамиизсовременныхэкспериментальны хисследований, таки х как квантовые компьютеры , коммуникации , телепортацияАлександр Львовскийи-нелокальность.профессор Оксфордского университета, экспериментатор с мировым именем в областиквантовой оптики и квантовой информатикиетсократовскуюпедагогику:-подготовленномуприменячитателюпредлагается самостоятельно разработать аппарат квантовой физики путем последовательного решения тщательно составленных задач.
Подробные решения представлены во второй части книги .Думай по-своемуJ·1·,··1·..,1·1··1· А.••9 785916 719529заказ книги на сайте+71495) 120-07-04www.nonfiction.ru-~~ РКЦРосси й с к и йКва нтовы йЦентр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
