Решения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238819), страница 32
Текст из файла (страница 32)
В каноническом базисе операторsб характеризуется следующей матрицей:sбл = sx (о11)(оО + sY i-i) (1 о )=О + s, О -1sx - isY )·-s,Эта ма1,:_рица эрмитова, следовательно (согласно упр. А.60), у оператораsбдва собственных значенияортогональных собственных вектораv 1•2и два соответствующих и~lv 1 2). Собственные значения sбнаходятся путем решения характеристического уравнения:279ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯллl.Scr-vll=s, - v.sx +1sYsx -isY-s, -v==-(s, -v)(s, +v)-(sx -isY)(sx +isy)==v2 -s2 - s2 - s2zхПосколькуравныуs-v1•2 = ±1=вектор единичной длины, собственные значенияи, таким образом,(РА.49)Теперь мы можем записать экспоненту оператора какe;es&= е;е 1v1)(v11+е-;е1 v2)(v2 I== (cos0+ i sin 0)1v1)(v11+ (cos0- i sin 0)1 v2)(v2I=(РА.50)= cos 0 (1 v1) (v11+1 v2) (v2 I) + i sin 0 (1 v1) (v11-1 v2 ) ( v2 I).Хотя мы и не нашли явного выражения для(А.50), чтоlv)иlv),мы знаем изlv1 )(v1 +lv2 )(v2 I= i.
Пользуясь этим и уравнением (РА.49),1мы можем переписать (РА.50) какe;es&=cos0l+isin0s&.РешениедляупражненияА.95. Разложимl'l'Ct))= L'l';Ct)lv;), гдеi{ 1v)} -ортонормальный базис, постоянный по отношению кt.Учи-тывая линейность гильбертова пространства, находимdl'l')_- 1lffi~. ~"'ict+ы)-"';Ct)I v )-~d"'il- ~v ).dtлно ;Лt';dt'Аналогично, производная оператора с матрицейсобой матрицу(YyCt)) представляет(dYyCt)/dt).Решение для упражнения А.96. В ортонормальном базиселкоторый диагонализирует А280, имеет место равенство{la.)},1РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ПРИЛОЖЕНИЯ А:t=:tI,(eia,r)la;)(a;I=eiAt1(РА.51)=L:t(eia,r)la;)(a;I=1(РА.52)Операторы iA.eiAr и ieiAr А имеют то же спектральное разложение, чтои оператор выше.Решение для упражнения А.
97а) Воспользуемся разложением Тейлора экспоненциальной функции оператора, чтобы записатьл~1n=On!•лл[А,е 8 ]= L,-[A,B"](А.46)=~1n=On!лL,-псв"- 1~1n=l(п-1)!= L.~n'=n-1лл==вn-11(А.46)n'=n-1=(РА.53),= L,---cB" =n'=O(п') !=се 8 .Ь) Начнем с того, что воспользуемся результатом упр. А. 96 и выведемЧтобы привести этот результат к виду правой части уравнения(А.56), нам нужно поставить и А, и В справа от экспонент. Каждый из этих операторов коммутирует с экспонентой самого себя(упр.
А.90), но, чтобы обменять местами операторы А и ел.В,необходимо использовать результат пункта а), который мы запишем как А.ел.В =ел.В (А+ 'Лс) . Имеемс) Пусть G'(A) =ем+л.В+~.2 с 12 • Взяв производную от обеих частей этогоуравнения, получим (А.56):281ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯ-°-с'(А) = _О_ем+АВ+А2 с12 =dAdA= ем+АВ+А.2с;2 [:А (М+Аfз +А 2)] =zc /= еМ+АЕ+А.2с/2 (А+ в+ АС)== G'(A)(A +в+ АС).Мы видим, что оба оператора - G(A) и G'(A) -удовлетворяютуравнению (А.56). Чтобы убедиться в равенстве этих двух операторов, нам нужно также проверить граничное условие Коши,т. е. что G(A)= G'(A) при Л =О. И действительно, в этом случае иG(A), и G'(A) превращаются в оператор тождества, так чторавенство выполняется.d)Для Л =1 уравнение(А.57) принимает вид(РА.54)Поскольку скера--число, это уравнение эквивалентно формуле БейХаусдорфа-Кэмпбелла.ГЛАВА РБРЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМПРИЛОЖЕНИЯ БРешение для упражнения Б.1.
Если мы бросим шестиграннуюигральную кость, то шанс на выпадение ее любой заданной граньювверх будет равенQi -1/6.Таким образом,pri = 1/6 длявсехi.Величиназначение, обозначенное на выпавшей стороне кости. Подставивэти величины в уравнение для математического ожидания, получаем61211(Q)= L,ргЛi =-(1+2+3+4+5+6)=-=3-.266i=l(РБ.1)Решение для упражнения Б.2. Раскроем выражение в правойчасти (Б.2) и запишем(РБ.2)В двух последних слагаемых этого выражения величинапри всех значенияхi,( Q)одинаковапоэтому ее можно вынести из-под знака суммы:(РБ.3)Используя(РБ.4)получаем( ЛQ2) = ( Q2 )- 2 (Q) (Q) + (Q) 2 = (Q2 ) - ( Q) 2 .(РБ.5)Решение для упражнения Б.3. Математическое ожидание величины на выпавшей грани костикаждого из событий равна1/6.(Q) = 7/2(см. упр. Б.1), а вероятностьПрименив определение неопределенности, вычисляем283ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯ(лQ2) = LPr; (Q; -(Q))2 =i= 12Мы можем также решить эту задачу, использовав результат предыдущего упражнения:(лQ2) =(Q2)-(Q)2 == L,pr;Q;-(Q)2 ==.!..12 +.!..22 +.!..з2 +.!..42 +.!..s2 +.!..62 -(7-)2666666235= 12Решение для упражнения Б.4.
Величину QR можно рассматриватькак случайную переменную, которая принимает значение Q,~, еслиQ;и Rj имеют место одновременно, что происходит с вероятностью pr?prjRдля каждой пары (i,j).Теперь, применив определение математического ожидания, находимij~~pr?prjRQiRj =( ~pr?Q; )( ~prjR Rj )===(Q)(R).ЕслиQиRне являКУГСЯ независимыми, то утверждение, чтоQ; и Rj происходят одновременно с вероятностью pr;Q prjR, неверно, как неверно и равенство(QR) = (Q)(R). Так, если Q =R, то (QR) = (Q2)* (Q) 2= (Q)(R).Решение для упражнения Б.5. Мы можем рассматривать каждыйk-й бросок кости как независимую случайную переменнуюNQ= L,Q(k)'k=1284Q(kJ. ТогдаРЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ПРИЛОЖЕНИЯ БиПоследнее выражение содержит № членов, из которых вNчленовkl, а в N(N - 1) членов k не равно l.
Для k = l имеет место равен( QCkJQCtJ) = ( Q2 ); в противном случае ( QCkJQ(lJ) = ( Q) 2 согласно упр.равноствоБ.4. Отсюда следует, чтоДля дисперсииQ воспользуемся (Б.З), чтобы записать:(ЛQ 2 ) = (Q2 ) - ( Q) 2 == N(Q 2 )+ N(N -l)(Q) 2 -N 2 (Q)2 == N ( Qz )- N (Q) z ==N(ЛQ 2 ),и далее, для среднеквадратического отклонения:Решение для упражнения Б.6. Воспользовавшись (Б.5), находимрrлщРrв,= рrлив,.Поскольку события В; несовместны, имеет местоprАи в, = prА и щ или .. или в,» Последняя величина равна prА'равенствоLiпотому что события В; коллективно исчерпывающи, т. е.
событие (В 1или...или в n) происходит наверняка.Решение для упражнения Б. 7а) Согласно (Б.5), имеет место равенствоРfполож.lнеинф.= Рfполож.&неинф. / Рfнеинф. 'поэтомуРfполож.&неинф.= Рfполож.lнеинф. Х Рfнеинф. == рrположlнеинф. Х [1-рrинф] = 0,04995.285ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯЬ) Разделим всех людей с положительным результатом на два подмножестваРfполож.инфицированные и неинфицированные:-= Рfполож.&неинф. + РГполож.&инф. == рr110лож.&неинф. + РГинф. = 0,051.Второе равенство в этом выражении верно, поскольку тест недает ложных отрицательных результатов, т.
е. множество людей,которые инфицированы и показывают положительный результат,-это то же множество людей, которые просто инфицированы.с) Пользуясь двумя предыдущими результатами, находим:=РГнеинф.lполож.Рfнеинф.&полож.Рfполож.О"' ' 98 'Такой итог может показаться удивительным. Хотя результатАлисы положителен, вероятность того, что она и в самом делеинфицирована, очень низка-потому что еще более низка долялюдей, которые инфицированы в действительности. Положительный результат для случайного человека, скорее всего, ошибочен, несмотря на низкий процент ложных положительныхрезультатов, указанный в спецификации теста.Решение для упражнения Б.8а) Каждый из п бросков представляет собой независимое случайное событие. Поэтому существуетдлиныn,и вероятность любой2" возможных цепочек исходовконкретной цепочки равна 1/2".Среди этих цепочек есть ( ~) таких, в которых в k подбрасываниях монета выпадает орлом, а в пprk- k-решкой.
Отсюда ответ:=(~)/2".Ь) В данном случае вероятность любой конкретной последовательности, содержащейкой, равнатаким:prkkвыпадений монеты орлом и пpk (1 - p)"-k.- k-решПоэтому ответ из пункта а) становится=(~)pk(l-p)"-k.Решение для упражнения Б.1 О. Для среднего значения имеетместо равенство:286РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ПРИЛОЖЕНИЯ Б'k(k)= Iпп.k=ok!(п-k)!п=pkc1- py-k=~ (k-1)~(~ -k)!pk(1- p)n-k'(обратите внимание, мы заменили нижний предел суммирования,потому что слагаемое, соответствующее=О, равно нулю).
Теперь,kзаменив переменную суммирования на т= k - 1, находимВ данном уравнении выражение под знаком суммы-это биномиальнаявероятность, соответствующая т успешным исходам из пСумма этих вероятностей по всем значениям т равна- 1 событий.1. Поэтому (k) =пр.Для среднего квадрата, действуя аналогичным образом, находимп(k2)=I•k2п.k=O k!(п-k)!= t[п!k(k-1) +k=o k!(п-k)!п=пpk(1-pY-k=п!k1,k(l-p)n-kk!(п-k)!f1t; (k-2)!(.п-k)!pk(l- py-k +(k)т~-2Iр2п(п-1)m=O(п-2)!=m:=k-2=pm(l-py-2-m+(k)=m!(п-2-m)!=р2п(п-1)I(п-2)рт(1- р)п-2-т +(k)=m=Om= п(п-1)р 2 +пр.Отсюда следует, что(лk2) = (k2)-(k) 2 = пр-пр 2 .Решение для упражнения Б.11а) Вероятность рождения ребенка на единицу населения в день (р)равнание10/100 ООО= 10-4 • Используясп= 100 ООО, находим:биномиальное распределе287ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯr п!12(1- )п-12 Р 12 -12!п-12!рр= п(п -1) ..
.(п -11) e12lnp+{n-12)1n(l-p) =12!= 0,0947841.Ь)Аналогичным образом находимpr 12 = 0,0947807.Решение для упражнения Б.12а) lim_!_(п)=limп(п-1) ... (п+l)п--.~ пkп--.~kпk1 =_.!_.k! k!Ь) Из дифференциального исчисления мы знаем, чтоlim ( 1-!:.)п = е-•.п--.~прВоспользовавшись этим, находимlim(l- y-k = lim(1-!:.)n-k = lim(1-!:.)n lim(1-!:.)-k =n-700nn--t=n n--toonП-700е-л.с) С учетом приведенных выше результатов получаемlimprk = limn-->~n-->~k(Л.)k(Л.)п-k1-( kп) pk(1- py-k = lim~k!п--.~ппРешение для упражнения Б.13е- 12 1012 =О 0947803.12!'Решение для упражнения Б.15.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
