Решения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238819), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Предположим, что один из век\v 1)) может бытьlv 1) = \lv) + ... +комбинация -\v 1) + \lv 2 ) +торов (без потери общности будем считать, что этовыражен как линейная комбинация других векторов:+ ЛNlvN). Тогда нетривиальная линейная+ ... + ЛNlvN) равна нулю, т. е. множество не является линейнонезависимым.Обратное утверждение: предположим, что существует нетривиальная линейная комбинация Л1 lv 1 )+ ...
+ ЛNlvN), равная нулю. Один изкоэффициентов Л(допустим, \)не равен нулю. Тогда мы можем выразитьlvl)= -(\/Л1)lv)-... - (ЛN/\)lvN).Решение для упражнения А.4а) Параллельность двух векторов й 1 и й2 означает, что существуетнекоторое число Л, для которого выполняется й 1 = Л.й 2 • Но онаозначает также, что один из этих векторов можно выразитьчерез второй, т. е. что они не являются линейно независимыми.Для ответа на вторую часть вопроса рассмотрим три векторас координатами й1 =(х1 ,у1 ), й2 =(х2 ,у2 ), й3 =(х3 ,у3 ). Покажем,что если й2 и й 3 линейно независимы, то й 1 линейно зависит отних, то есть существуют\ и\ такие, что й1Х1= А2Х2 + А3Х3 ;У1= А2У2 + АзУз ·= Л. 2 й2 + Л. 3 й3 , или(РА.2)Решение этой системы уравнений имеет видА2л_ 3= Х1Уз -У1Хз.Х2Уз -ХзУ2'= Х2У1 -У2Х1 .(РА.З)Х2Уз -ХзУ2Приведенное выше решение не существует только в том случае,когда х2 у 3 - х3у 2 =О, т.
е. х2 /у 2 = х3 /у 3 . Последнее означает, что й2и й3 параллельны друг другу, т. е. не являются линейно независимыми.Ь) Поскольку векторы не компланарны, ни один из них не равеннулю (так как нулевой вектор может быть приписан к какой241ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯугодно плоскости). Теперь рассмотрим любые два из этих трехвекторов, например й 1 и й2•Эти два вектора образуют плоскость, и каждая их линейная комбинация будет лежать в пределах этой плоскости.
Но третий вектор й 3,как известно из условия, лежит вне этой плоскости и потому не может быть линейной комбинацией первых двух.Решение для упражнения А.5. Допустим, существует вектор, который нельзя выразить в виде линейной комбинации векторов множества, описанного в условии. Но это значит, что на плоскости есть трилинейно независимых вектора. Как показано в упр. А.4, а), это невозможно.Решение для упражнения А.6. Предположим, существует базисV= {lv)}вV,содержащийNэлементов, и базисэлементов. Векторlw 1)W = {lw)} в V сМ > Nlv):можно выразить через векторы(РА.4)Один из коэффициентов в этой комбинации (без потери общностискажем, что Л.
1 ) должен быть ненулевым. Тогда мы можем выразитьlv 1)через(РА.5)и, таким образом, это множество является остовомДалее1w 2)V.можно выразить через элементы данного остова:(РА.б)По крайней мере один из коэффициентов передравен нулю, поскольку иначе множествоWlv) долженбыть нестанет линейно зависимым. Пусть это будет коэффициент\. Тогда мы можем выразить1v2 )через(РА.7)и, следовательно, данное множество также является остовом242V.РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ПРИЛОЖЕНИЯ АПодобную процедуру заменыlv) на lw) можно повторить ещеN - 2раз и показать, что множество(РА.8)также является остовом.
Но тогда все1w),гдеN <iвыражены в виде линейной комбинации lш),означает, что множествоW~ М, могут бытьlw), ". ,lшN), а этоне является линейно независимым, т. е.это не базис, что противоречит нашему первоначальному предположению.Решение для упражнения А. 7а) Пусть А= {1 V;) }: 1-некоторый базис в V. Нам необходимо доказать, что любое линейно независимое множество изN= dim Vэлементов есть остов.
Предположим, что это неверно, т. е. существуетлинейномножествонезависимоеизNвекторовВ= {lwj)}~= 1 , не являющееся остовом V.Рассмотрим всевозможные множества, содержащие всенекоторые из1u).1w)иСреди таких множеств выберем одно, в котором наибольшее число элементов, но которое все еще являетсялинейно независимым; обозначим его С. Тогда все1u),не входящие в С, можно выразить в виде линейной комбинации элементов С. Действительно, если бы существовалоlvm), линейно независимое от 1 С), тогда 1С)u1 u111 ) тоже было бы линейно независимым, а это противоречит нашему предположению о С.Поскольку все элементы А можно выразить через элементы С,то через них должно быть возможным и выражение всех элементовV,так как А- это базис.
Следовательно, С - тоже базис. Ночисло элементов в С больше, чемN,что противоречит результату упр. А.б.Ь) Предположим, что существует множество В= {1 Ш;) }: 1 из N векторов, которое является остовомV,но при этом линейно не независимо: некоторые элементы этого множества могут быть представлены в виде линейной комбинации остальных. Рассмотрим всевозможные подмножества В и выберем среди них то, котороеимеет наименьшее число элементов, но по-прежнему являетсяостовом В; обозначим его С.
Тогда С должно быть также линейнонезависимым, поскольку если бы в С бьm элемент, который выражался бы через остальные, то его можно бьmо бы удалить из С, а С243ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯпо-прежнему оставалось бы остовом, что противоречит принципувыбора С. Следовательно, С также является базисом. Но число элементов в С меньшеN, что противоречит результаrу упр. А.6.Решение для упражнения А.8. Пустьрому мы пытаемся разложить наш вектор1{lwi)}: 1v).-базис, по котоПредположим, что существует более одного такого разложения, скажем,(РА.9)где лl* µ1 по крайней мере для ОДНОГО l. Из этого следует, что(РА.10)где не все коэффициенты справа равны нулю. Но это значит, что { 1ш)}не является линейно независимым или, иными словами, не являетсябазисом.Решение для упражнения А.
9о1vk) =1 ~ k-e место(РА.11)оРешение для упражнения А.10. Упорядоченная пара (х, у) может бьпъзаписана также как двумерный вектор (:) , поэтому верно следующее:(х,у)=(:)=х(~)+у(~}(РА.12)Это говорит нам, что пара чисел (х, у) действительно представляет разложение по базису, состоящему из единичных векторов вдоль осей х иy,-{i=(~).J=(~)}·Решение для упражнения А.11а) Согласно упр. А.4, а), любые два непараллельных вектора образуют линейно независимое множество. Поскольку пространство244РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ПРИЛОЖЕНИЯ Адвумерно, любое линейно независимое множество из двух векторов должно образовывать базис в соответствии с упр. А. 7.Ь) Согласно упр. А.4, Ь), любые три некомпланарных вектора образуют линейно независимое множество.
Поскольку пространствотрехмерно, любое линейно независимое множество из трех векторов должно образовывать базис.РешениедляупражненияА.12. Векторы ii ии потому линейно зависимы. Пары {ii,ё} иd антипараллельны{6,J}непараллельны ипотому, согласно У1!Р;. А.11, являются базисами. Матрицы заданныхвекторов в базисе{i ,j}Соответственно, векторвыглядят так:6 раскладывается как b=ii/C2J2)+ё/CЗJ2) по6 по базису {b,d}.базису {ii,ё} и просто какРешение для упражнения А.13. Пусть подпространствонуто на первые М элементов базисаV'натягде М< dim V.
Нам нужноV' между собой илиумножаем элемент V' на число, результат тоже будет принадлежать V'.{lv)},доказать, что, когда мы складываем два элементаИ в самом деле, для любыхммia)= ~:Uilvi)EV', IЬ)= IAlvi)EV',мы получим, с учетом коммутативности сложения и дистрибутивности скалярных сумм,мia)+IЬ)= ICai +ЬJlvi)i=Iи, воспользовавшись ассоциативностью скалярного умножения,мЛiа)= ICЛaJlvi).i=lМы видим, что иМ элементовla) + lb), и Лlа) суть линейные комбинации первых{lv)}, следовательно, они тоже являются элементами V'.Решение для упражнения А.14.
Нужно применить определениегеометрического скалярного произведения, Q· Ь = ХаХь + УаУь, чтобы245ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯпроверить каждое из свойств скалярного произведения в линейнойалгебре.1) й·(Ь+с)=ха(Хь +хс)+уа(Уь +ус)=ХаХь +хахс +УаУь +УаУс == (хахь + УаУь)+(хахс + YaYJ =а. Б +а.
с;2) Сi·(Л.Ь)= (х)1хь +УаАУь) = Л.(хахь + УаУь) = Л.Сi·Ь;3) а. Б = (хахь + УаУь) = Б. а (поскольку это линейное пространствонад полем действительных чисел, сопряжение можно опустить);4) а. а= х~ +у~ - это действительное число, большее или равноенулю. Единственный случай, при котором оно равно нулю, - этокогда ха= Уа= О, т. е. а= О.Решение для упражненияА.15.
Дляlx)= L,Л.; ia;)находим, поль-;зуясь свойствами1 и 2 скалярного произведения(Ъlх)= L,(Ъl(Л.;ia;))= L,Л.;\Ъiа;).Согласно(определение А.9),свойству3,(xlb)= (hlx)' = L,л.; \Ъi;а;)' = L,л.; \а, IЪ).Решение для упражнения А.16. Запишем для произвольногоlb), что 10) = lb) - lb). Таким образом, согласно свойству 1, (а lzero) == (а 1Ь) - (а 1Ь) = О. Тогда скалярное произведение ( zero 1а) тоже равнонулю, согласно свойству3.Решение для упражнения А.17. Пусть {1 V;)} : 1-множество ортогональных векторов.
Предположим, что эти векторы линейно зависимы, т. е. один из них (скажем,lv 1))может быть записан как линейная комбинация остальных:N1u1) = L А; V;) ·(РА.13)1;~2Возьмем скалярное произведение обеих частей уравнения (РА.13) с 1и 1 ).Воспользовавшись свойством3 скалярногопроизведения, найдемN( u1 u1 ) = L, А; (u111V;) .(РА.14)i~2В данном уравнении левая часть не может быть равна нулю из-за свойства4скалярного произведения; правая же часть равна нулю из-заортогональности множества246{lv)}. Получено противоречие.РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ПРИЛОЖЕНИЯ АРешение для упражнения А.18. Пусть1'1'') = ei<p '1'). Воспользовав1шись результатом упр.
А.15, запишем(РА.15)Решение для упражнения А.19. Это прямо следует из упр. А. 7 и А.17.Решение для упражнения А.20. Пусть {1 vi) }: 1 - ортонормальныйбазис в V. Тогдаи IЬ)= 'L,Ьilvi). Воспользовавшисьla)= L,ailvi)iрезультатом упр. А.15, запишем1,)i,jРешение для упражнения А.21. Начнем с разложения1а) =L aj1(РА.16)vi) ,где мы предположили, что {lvi)}~ 1-наш базис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
