Решения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238819), страница 26
Текст из файла (страница 26)
.. -Рннvv -Рvvнн +Рнvvн +Рvннv + ...),где многоточиями обозначены те элементы матрицы плотности, которые уже известны нам из предыдущих экспериментов. Приведенныевыше четыре уравнения несложно решить, чтобы найти четыре оставшиеся неизвестными матричных элемента.Решение для упражнения5.79. Как мы выяснили в упр. 5.2З(Ь),Е(р)= UpU'. Поэтому матрица Е(р) в базисе {lv.)}- это просто произл""lведение матриц И , р и И' . Матрица И известна, потому что мы знаемсостояние Иlvj), т .е. матричный элемент (и; lйlvj), для всех i иj.Решение для упражненияяние ар 1+ рр 25.80.
Из упр. 5.22, а) мы узнали, что состоэквивалентно (по всем физическим свойствам) ансамблю,ллв котором состояние р 1 возникает с вероятностью а, а состояние р 2-свероятностью р. Так что мы можем без потери общности считать, чтоименно этот ансамбль поступает на вход «черного ящика». Пройдя черезнего, состояния Р 1 , 2 дают состояния Е(р 1 , 2 ) соответственно. Следовательно, на выходе будем иметь ансамбль, в котором состояние Е(р 1 ) возникает с вероятностью а, а состояние Е(р 2 ) - с вероятностью р.
Оператор плотности этого ансамбля равен аЕ(р 1 )Решение для упражнения+ РЕ(р 2 ) •5.81. По построению каждый элемент в Q(множестве, определенном в подсказке к этому упражнению) соответствует физическому состоянию. Число элементов вупр. А.7, для демонстрации того, чтоQ равно №. СогласноQ есть базис, требуется лишь доказать , что оно образует остов в пространстве линейных операторов.С этой целью выразим операторментыQ. Для k1vk) ( v11 для любых k и l через эле= l это выражение тривиально: lvk)(v1 = pkk" Для k * lзапишемPre,kl =~(Pkk +Ри +lvk)(v1l+lv1)(vk1);Pim.kl =~(Pkk +Ри -ilvk)(v1l+ilv1)(vk1),из чего следует, что2321РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ1vk1V1)) (лл1 + i елV11= Pre,kl + IPim,kl -2vk1= Pre,kl -(л•.лIPim,klПоскольку множествоPkk1- i ел-2Pkkл)л)+ Ри ;+ Ри .{luk) (v 11} образует базис в пространстве линейных операторов (см.
упр. А.42), образует его иРешение для упражнениямое обобщение упр.2хQ.5.82.Данное утверждение5.83.Так как линейное пространство-это пря5.80.Решение для упражненияматриц52 четырехмерно и{л (1 о) л (о о) л 1(1 1) л 1(1Q= Pr= О О ,pi= О 1 •Р+""21 1 'PR""2 iимеет четыре элемента, достаточно убедиться, что-i)}1(PS.26)Q является остовом(упр. А. 7).
Разложить произвольную матрицу р =(Рн Рн) по базисуQ означает найти коэффициенты разложенияРиРнкоторое мы можем переписать в матричном виде как( РнРиРешив это уравнение относительно Л, находимЛR=iCPri -ри);l+i1-iЛr =Рн-2Рп -три;l+i1-iЛ1 = Рн -2Рп -2Рн(PS.27)233ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯили(Р5.28),Мы видим, что разложение на элементы Q существует для всех р такчтоQ действительно являетсяРешение для упражненияостовным множеством.5.84а) Е(р 1 ) = Ол(1(Р5.29а)л(о(Р5.29Ь)E(pt):::: оe-t/T2)·1(Р5.29с)'(P5.29d)Ь) Используя разложение (Р5.28), находим1+ i1- i) ел )( л) ( Р11-2РнЕР=-2Ри Е Р1 +l+i1-i) л+ ( Pii -2Pri -2Рн E(pi)++(Рн +рн)Е(рJ+i(Рн -рн)Е(рR).Подставив уравнения из пункта (а), получим уравнениеРешение для упражнениясывается в базисе5.85.
Любой оператор плотности{ 1 и п)} какп,тПодставив234(5.47)(5.45).в это разложение, находимзапиРЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ5(PS.30)11,n1,iтак чтоп,т,iи, следовательно,n,m,i(суммирование пот и поп идет отi-от1 до№). Сравнивая1 до N, тогда как суммирование поприведенное выше уравнение с (5.46), мывидим, что выражение в квадратных скобках равно E~nРешение для упражнения(PS.28),5.86..Воспользовавшись разложениемполучаемli)(il=(~ ~)=р;;11)(11=(~ ~)=pi;li)(11=(~ ~)=p++ipR+ -12-iP;+ -12-ipi;11)\il=(~ ~)=p+-ipR+-12+iPt+ -l2+iP1·ПоэтомуАт= 1;Ат= О;А;;+= О;Ан R= О;АщА;н= О; А щ = 1; АН+ =О;-1-i-1-i=-2-; Ащ =-2-;Анt-l+i-l+i=-2-; Ащ =-2-; Ан+ =1; AitR =-iА HR =О;Ан+=1;АнR=i;(PS.31)235ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯРешение для упражненияПроцесса5.87.
Мы можем рассматривать тензор(5.48) КаК набор матриц Enm (где n, m Е {1, ... , N}), каждая ИЗкоторых задается выражениемN'вnm=L AnmiECP;).(Р5.32)i~IИспользуя (Р5.29) и (Р5.31), находимЕ;; = А;;;ЕСР;)+ Ат E(pi)+ Ан +E(pJ+ A;;RE(pR) =={ ~ ~}1( 1e-t/T,) +i1Решение для упражнениямененных в упр.5.88.2 ie-t/T,Следуя логике рассуждений, при5.80, мы предполагаем, что состояние ар 1 + ~р 2 представляет собой ансамбль, в котором состояние р 1 возникает с вероятностью а, а состояние р 2 - с вероятностью р.
Тогда, используя условныевероятности (Б.б), мы можем записать вероятность того, что детекторпокажет после измерения выходное состояниеj, следующим образом:Решение для упражнения5.89.Воспользовавшись результатомпредыдущего упражнения и исходя из того, что р =236L А;Р; , находим:РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫРешение для упражнения5.90.5Воспользовавшись разложением(Р5.30), которое применимо в данном случае, и результатом предыдущего упражнения, получаем(Р5.33)При этом(5.39)можно переписать в видеп,тСравнив эти два уравнения, мы видим, что выражение в квадратных скобках в уравнении (Р5.33) есть на самом деле матрица j-гоРОVМ-элемента, т.
е.(Р5.34)Решение для упражнения5.91а) Вычислим вероятность prj(p) выходного значенияj-го детектора для всех Р; Е Q и5.73.j Е {1, 2} с использованием результата упр.Находим:pr2CPv) =%;pr2Ci3J=i;Ь) Заметим, что наше множество пробных состояний будет такимже, как(5.44),за исключением того, что теперь мы работаем скубитом поляризации фотона, а не с кубитом спина. Значит,мы можем использовать разложение(5.47)с коэффициентами,заданными уравнением (Р5.31) (заменив состояния 1 i) и 1 J..) наIH) и 1 V) соответственно).
Итак, воспользовавшись результатомупр.5.90, получаем237ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯF1 =IН)(НIСРr1СРнР"ннн +pr1CPv)Aннv +рr1СрJЛ-нн+ +рr1СРR)ЛннR)++1 v)(Vl(prl СРн )Avvн + prl CPv )Avvv + prl (pJAvv+ + РГ1 (pR )ЛVVR) ++1н) (v 1(prl (р н )Аvнн + prl (pv )Avнv + prl (р +)Лvн ++ prl (р R)ЛVJIR) ++1 v) (н IСРГ1 СРн )Анvн + prl CPv )Лнvv + prl (рJЛнv+ + prl (pR )ЛHVR) ==IH)(нl~+lv)(vl!+lн)(vl(~x -l+i +!х -l+i +~-_!_i)+444243 -1-i 1 -1-i 3 1.)+lн)(vl ( 4х-2-+4х-2-+4+21 ==(3/4 1/4)·1/4 1/4Аналогично,ft =( 1/4 -1/ 4) .2-1/43/4242ГЛАВА РАРЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМПРИЛОЖЕНИЯ АРешение для упражнения А.1а) Да. Нет. Да.
Да. Поле над самим собой-это линейное пространство, потому что все свойства, перечисленные в определении А.1, следуют из свойств сложения и умножения элементовполя.JR.над С не является линейным пространством, посколькупри умножении «вектора» (действительного числа) на «скаляр»(комплексное число) мы можем получить число, которое небудет действительным, т. е. не окажется уже элементом линейного пространства. Наконец, С надJR. - линейное пространство,так как сложение комплексных чисел и умножение комплексного числа на действительное дает комплексное число, и этодоказывает, что данные операции определены верно. Несложноубедиться, что их свойства эквиваленты аксиомам определенияА.1.Ь) Да.
Нет. Сложение двух многочленов или их умножение начисло (как действительное, так и комплексное) дает многочленстепени не выше исходных. Множество многочленов степени>пне образует линейного пространства, в частности, потому что несодержит нулевого элемента.с) Да. Нет.
В первом случае нулевой элементj(x) =О. Множество функций, таких чтоj(l)-это функция= 1, этого элементане содержит.d)Да. Сумма двух периодических функций с периодом Т или произведение такой функции на число также является периодической функцией с периодом Т.е) Да. Из геометрии известно, что сложение векторов и умножениевектора на число дает вектор. Можно убедиться, что свойстваэтих операций удовлетворяют аксиомам линейного пространства. Обратите внимание:поскольку N-мерный вектор можетбыть определен столбцом изNдействительных чисел (коорди-239ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯнаты вектора), мы вправе сказать, что линейное пространствоN-мерных геометрических векторов изоморфно (эквивалентно)линейному пространству столбцов изNдействительных чисел.Решение для упражнения А.2а) Предположим, что существуют два нулевых элемента,1zero)иlzero').
Тогда, согласно аксиоме 3, мы видим, что, с одной стоlzero) + lzero') = lzero'), а сдругой- lzеrо) + lzero') = lzero') ++ lzero) = lzero) (по аксиоме 1). Следовательно, lzero) и lzero')роны,представляют собой один и тот же элементVи, значит, должныбыть равны между собой.Ь) Начнем с того, что запишем уравнениеla) + lx) = la)и добавим(-1 а)) к обеим его частям:(РА.1)la) + lx) + (-la)) = la)+ (-la)).Мы можем преобразовать левую часть (РА.1) следующим образом:аксиомыla)+lx)+ (-la))1,2=аксиома[la) +(-la) )]+ lx)=4lzero)+lx) = lx).1+ (-1 а)) =lx) = lzero).В то же время правая часть уравнения (РА.1) равна а)lzero).Обе стороны его равны между собой, т.
е.с) la)+Ola)следует,аксиомааксиома8=lla)+Ola)что Ola) = lzero).аксиомыd) (-l)la)+la)=6(l+O)ia)=lla)=la).Изyпp.A.2(b)упр.А2(с)6,8(-l+l)la)=Ola)=О.аксиома4е) (-lzero))+lzero)lzero). Воспользовавшись упр. А.2, Ь),видим, чтоzero) = zero) .-11f)Это потому, чтоg)Применив упр. А.2,можно записать как(-la))(-l)la), а умножениевектора на число дает единственный вектор.d),запишемаксиома-(-la))=(-1)[(-l)la)J7аксиома8[(-1)(-l)]la)=lla)la).h) Если la) = IЬ), то la) - IЬ) = la) - la) = la) + (-la)) =О. Для доказательства обратного утверждения, приняв 1а)240-1 Ь)= О, добавивРЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ПРИЛОЖЕНИЯ Аlb) к каждой части этого уравнения и воспользовавшись ассоциlb).ативностью, найдем !а)=Решение для упражнения А.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
