Решения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238819), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Оператор эволюции для этого гамильтониана был найденв упр. 4.62(с). Приравнявe-iiir=( c~s(QLt /2)isш(QLt /2)80 к л/2,получаемisin(QLt /2)).cos(QLt /2)201ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯОтсюдаСоответственно,3 --Ht--Нt1 --Нt--Нti.(i.)i.(i.)p(t)= 4 e п li)coпp е п li) + 4 е 1' 11/сопр е ' 11)==-;-cos(QLt / 2)sin(QLt / 2)]·l-~cos 2 (Q t / 2)4 2LЬ) Начальная матрица плотности равна:Применив оператор эволюции непосредственно к матрице плотности согласноp(t) = еi л--Htпi(5.8),мы получим тот же результат:~-Нtp(O)eh==isin(QLt /2))(3/4 О )( cos(QJ /2) -isin(QLt /2))isin(QLt /2) cos(Qit /2)О1/4 -isin(QLt /2) cos(Qit /2) -==( cos(Qit /2)(cos(QLt /2)- isin(Qit/2)isin(QLt /2))[ %cos(Qit /2)cos(Qit/2)1 ..
(n--!SШ4.J..!:Lt/ 2)-1%isin(Qit /2)]=(-COS Q 1 t4-~cos(Qit /2)sin(Qit /2)]·3 12---cos (Q t/2)42022L./)2РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ5с) Запишем уравнение (5.7) для матрицы плотности р =(Рн Рн)n 1)л =- -1- (ои гамильтониана Нd л_1оРнi[Нл ,рл)_.ПL(Рн-РнРн -Рн).-1--р---ndt2Рн:2Рн -РнРн -РнЭто уравнение эквивалентно системе дифференциальных уравнений:(Р5.З)Ее можно упростить, приняв х= Рн -р н и у=Pt t- р 1t. Вычитаячетвертое уравнение из первого, а третье из второго, находим:{ x=-in1Y.у= -Ю 1_хРешение этой системы в общем виде выглядит следующим образом:{ х= AcosQ/+BsinПJy=-iAsinПJ+iBcosQ 1_t·Из начальной матрицы плотности находим, чтоPt 1 (О)=рi 1 (О)= О,1а отсюда В= О.
Далее, воспользовавшись тем, что Рн (0)-р н (О)= мы получаемвило РнРн11А= - , отсюда+ р 11 = 12[из упр.х= Рн -рн1,2= -cos Q L t. Учитывая пра-25.11, Ь)], выводим1=-+-cosQLt;2 41 1р н = 2 - 4 cos Q /, t .203ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯТеперь найдем недиагональные элементы p(t). ПосколькуРн = i QL (Рц -Р;;) [из уравнения (PS.3)], находим2Рн =isinQLt+C,4причем С= О из начальной матрицы плотности. Наконец,.i .P;i = Рн =-4sшQLt.В итоге получаем, что матрица плотности равна1 1-+-cosQ tp(t) =:: [ 2 . 4L1.Г\-s1n~,Lt4Г\ t 1--sш~,4i .L(PS.4)1 1.---cosQ t2 4LВоспользовавшисьтригонометрическимиcos(QLt /2)sin(QLt /2)=_.!_sinQLt2итождествамиcos 2 (QLt /2)=_.!_+_!_cosQLt,22обнаруживаем, что наш результат идентичен таковому, получен-ному методами а) и Ь).Решение для упражненияных базиса вV. Тогда следTr(A)=5.26.Пусть{lv)} и {lw)}-дваразлич{ 1v)} равенматрицы в базисеL,A;; =L,(v; IAlv;).iiВставляя единичные операторы, имеемTr(A)=L,(v;liAilv;)=i=L (v; lwj )(wj IЛlwk)(wk lv;) =i,j,k=L, (wk lv;)(v; lwj )(wj IЛlwk)=i,j,k=~(wk 1( ~lv;)(v; l)lwj )(wj IЛlwk)==L,(wk Щшj )(wj IЛlwk) =j,k=L,ьjk\wj IЛlwk)=j,k=L,(wJ41wj),}откуда вытекает, что след не зависит от базиса.204(PS.5)РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫРешение для упражненияутверждению упр.5.27.5Это утверждение эквивалентно5.11, Ь).Решение для упражнения5.295.28.Ь) Это следует из пункта а), если обозначить А.
1 •. • Ak-i =А иа) Это следует из упр.Решение для упражнения5.30.Ak =В.Для матриц Паули имеют месторавенстваиВ первом случае след равен2i,во втором он принимает значение-2i.Решение для упражнения5.31. Используя упр. 5.28 и разложениеединичного оператора, получаемтп=L('Vlvп)(vп IAlvm)(vm l<p) =тп=('VI( ~lvn)(vn 1).л( ~lvn)(vn i)i<p) ==('VIA.l<p).Решение для упражнения 5.32. Еслисостояние, то р 2чистым,тоp=l'V)('VI - это чистое=р , так что Tr(p 2 ) =1 . Если состояние не являетсяегоматрицаплотностивдиагональномвидер == diag(p 11'. ",pNN) содержит по крайней мере два ненулевых элемента. Посколькур =1, имеет место неравенство pii < 1 для любого iTrи, следовательно, р~ < pii . ПоэтомуTr(p2 )= LP~; < LP;; =Tr р= 1.i205ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯДля доказательства неравенства Tr р 2 ~ 1/ N рассмотрим скалярноепроизведение следующих векторов в ~N: а= (pli '' . .
,pNN) и Б = (1, ... ,1).Согласно неравенству Коши - Буняковского,са-6) 2 s:: Cii·ii) х сБ·Б)илиЛевая часть данного неравенстваTr(p 2 )= L, р~ ~ 1/N, причем неравенство превращается в равенствоi -при- это (Tr р) 2 =1 . Следовательно,ii ос Ь, т. е.р =diag(l/ N , . .. ,1/ N).дляполностьюРешение для упражнениясмешанного5.33а) Вспомним еще раз, что матрица плотностиансамбль чистых состояний1. 9 .1,состояния(5.1).-это статистическийКак мы выяснили в подразд.когда измерение выдает базисный элементкомпонент ансамбля преобразуется как1v ) , каждыйлтl'V;) ~ Пm l'V;) .Весьансамбль, соответственно, преобразуется следующим образом:Р=LP; l'V;)('V;1~ L,p/Im l'V; )('V; fJm = fJmpfJm •1(PS.6)iЗдесь мы воспользовались эрмитовой природой оператора проекции.l'V·> этого ансамбля вероятность'2наблюдения v т) равна prmli =1( vm l'V i )1 ' поэтому вероятностьЬ) Для каждого компонента1наблюдения 1v т) для полной матрицы плотности равна, согласнотеореме полной вероятности (см.
упр. Б.6),=LP; l(vm l'V;)j = LP; (vт l'V;)('V; lvm) =2iiл= Tr[pПm]206упр.5.29(а)=лTr[Пmp].РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫРешение для упражнения5.34. Проектор на 1+45°) -5это оператор1(1 1) ·л =1+)(+1=п+2 1 1Соответственно, используя матрицы плотности из упр.л л1 (1а) Tr[П+p]=-Tr215.1, мы находим1о) =-,о2что согласуется с 1\+ H)l 2 = ~ ;1что согласуется сРешение для упражнения5.35.Из упр.если при измерении получен результат5.33нам известно, чтоlvm), то результирующеененормированное состояние задается выражением207ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯЕсли результат измерения неизвестен, состояния {Рт} образуютстатистический ансамбль.
Чтобы найти соответствующую матрицуплотности, мы должны просуммировать по всемm:(Р5.7)ттОбратите внимание, что мы не включаем явно вероятностилв сумму, поскольку состоянияPmненормированны, так что вероят-ности их существования уже включены в их матрицы плотности (см.упр.5.4).{lvm) }.Выражениеэто матрица оператора (Р5.7) в базисе(5.15) -Решение для упражненияНачальное состояние5.36.1+) имеетоператор плотности(!;) ~)1, что соответствует матрице ~ ( ~ ~) в каноническом базисе и0 0в диагональном. После измерения в кано-ническом базисе это состояние становится полностью смешанным,т. е. _!:_(l2 ов обоих базисах. Мы видим, что действие измерения на0)1.матрицу плотности, записанную в каноническом базисе, соответствуетустранению недиагональных элементов.
Однако если матрица плотности записана в диагональном базисе (т. е. не в базисе измерения), тодиагональные элементы при измерении изменяются.Решение для упражнения5.37. Записав определение наблюдаемого оператора (1.12) в виде V = ~:Vm lvm)(um 1 = I,v)lm, получаемтлTr(V р) =лL vm Tr(Пmp)т(5.13)=L vmprmт(Б.1)=(v)'тгде prm = Tr(nmp) - это вероятность проецирования р на собственноесостояние lvm) оператора V.Решение для упражненияуравнение(5.7)5.38.Используя дифференциальноедля эволюции матрицы плотности в представленииIllрёдингера,получаем:d(dpVл ) =--Tri( [H,p]V.л л л)-(V)=Trdtdt;,208(Р5.8)РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ5Теперь воспользуемся цепным правилом для следа [упр.
5.29(Ь)],чтобы вывести-* тr([J/,pJv) =-* тr(нpv-pmr)==-* тr(iJvн-pнv)=j=hTrp[H,V] =(ллл )(5.16)=*([н,vJ).Решение для упражненияа) Записываем р лв5.39=L Р; 1'11;)в соответствии с определением опе-;ратора плотности(5.1);здесь IЧ1)-двусоставные состояния(чистые, но необязательно разделимые)~ Как мы выяснили вглаве2 [см. (2.22)], измерение Алисой состояниярующее элементIЧ1), регистриlv ) ее измерительного базиса, преобразует IЧ1.)тл1в ненормированное состояние П л,т 1'11;) . Соответственно, полнаяматрица плотности становитсяРлв,т ~ L,p/Iл,m 1'11;)('11; lflл,m= fIA,m ( ~Р; 1'11;)(Ч1; 1)ттл,m == fiл,тРлвfiл,т =(Р5.9)=lvm)(vm l®(vm IРлв lvm)·Часть этого двусоставного состояния, относящаяся к Бобу, естьРв,т =(vmlPлвlvm)·Ь) Если результат измерения Алисы неизвестен, то Боб получаетвероятностный ансамбль, состоящий из ненормированныхсостояний Рв,m с различнымиm,так что соответствующийоператор плотности представляет собой их сумму (см.
упр.5.4):тт209ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯРешение для упражненияДля состояния из упр.2.45,5.40а)а) Ансамблевое описание фотона Боба, которое было найдено в2.45 для измерений Алисы в каноническом базисе, - это«либо IH> с вероятностью 1/5, либо 1V)свероятностью4/5». Этоупр.соответствует матрице плотности р в =( 1~5 4~5) .Если Алиса измеряет в диагональном базисе, ансамбль Боба при-обретает вид: «либо vfl7SIH)+fЧSIV), либо vfl751H)-fЧSIV)с вероятностями 1/2». Соответствующая матрица плотности_!_(1/5 2/5)+!( 1/5 -2/5)=(1/5 о )4/5о2 2/5 4/5 2 -2/5 4/5та же.Ь) Используя частичный след, найдем, чтоРв=TrAl'P)('PI=(нl(IHH)+2lw))((нн1+2(wl)lн)л +=_!_А5+_± л (vl(1нн)+2lw))((нн1+2(wl)lv)л =5= !1н)(Hl+i1v)(VI =55=(1/5оо )·4/5Это согласуется с пунктом а).Для состояния из упр.2.45, Ь)а) Словесные описания фотона Боба, найденные при выполнении2.45, звучат так: «либо 1+ > с вероятностью 2/3, либо 1V) свероятностью 1/3» и «либо vfl7SIH)+fЧSIV) с вероятностью5/6, либо IH> с вероятностью 1/6».
Эти ансамбли соответствуютупр.одним и тем же матрицам плотности1/2) +!(о о)= (1/3 1/3)1/3 2/33 1/2 1/2 3 о 1~(1/2210РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ5и~(1/5 2/5)+_!_(1 0)=(1/3 1/3)·6Ь) Рв2/5 4/51/3 2/56 о о=ТrАIЧ1)(Ч11==_!_(HIA (lнн) +1нv) +IVV) )((нн1 +(нv1 +(vvl)I н) А+3+~(VIA (IHH)+IHV)+IVV))((HHl+(HVl+(vvl)IV)A ==_!_(1н)+1 v) )( (нl +(vl) +_!_1 v)(vl =33( 1/3 1/3)- 1/3 2/3 'что также совпадает с результатом пункта а).Решение для упражнения5.41.
Длясостояния Белла IФ+)Рв =TrAIФ+)(Ф+I==~(HIA (IHH)+IVV))((HHl+(VVl)lн)A +(Р5.10)+_!_(VIA (IHH)+IVV))((HHl+(VVl)IV)A =2= _!_1 н)(нl +_!_1v)(v1,22что эквивалентно полностью смешанному состоянию. Для трех другихсостояний Белла вычисления аналогичны и результат тот же.Решение для упражнениязательству в упр.5.42. Доказательство аналогично дока5.26.Решение для упражнениябазисе{1vm)®1 шп)}, где {1 vm)}5.43. Вычислим след оператора р АВ ви {1 шп)} - ортонормальные базисы впространствах Алисы и Боба соответственно. Находим211ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯTr Р лв = L( (vт ®(wп l)(p лв )(lvm)®lwп)) =1тп=~(wп 1( ~(vm IРлв lvm) )lшп) ==Tr(Trлp лв ).Если левая сторона этого уравнения равна единице, то ей же должнабыть равна и правая.Решение для упражненияа) Если р лв5.44= 1<р) ( <р 1® 1'1') ('Jf 1(где состояния 1<р) и 1'1') живуг, соответственно, в гильбертовых пространствах Алисы и Боба), тогда для) базиса Алисы2Ч>)l ~)('1'1 и отсюдалюбого элемента 1v(vт Р лв lvт) =l(vm11имеет место равенствоТrлСРлв)=( ~l(vm IЧ>)l 2 )i'V)('Jfl,что является чистым состоянием.
Рассуждения по пространствуБоба аналогичны.Ь) Предположим для начала, что запуганное двусоставное состоя-ние является чистым: р лв= Ч') (Ч'11 ·Можно разложить это состо-яние, как мы делали в подразд. 2.2.2: IЧ')=L N11v i)} -{ 1lvi)®lbi),где1ортонормальный базис в пространстве Алисы, а { 1Ь i)} -набор нормированных векторов в пространстве Боба. Взявчастичный след этого состояния над гильбертовым пространством Алисы, получаемЕсли IЧ') запугано, то по крайней мере два из IЪ) различны, таклчто Рв смешано.Для не-чистого Рлв=LPi IЧ'i)(Ч'i1имеет место равенствоiТrлСРлв)= LPiTrл IЧ'i)(Ч'i 1 ·Это статистический ансамбль смеiшанных состояний, который, как мы показали в упр.может быть чистым.2125.22,неРЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫРешение для упражненияв начальном состоянии55.45.
Предположим, система находитсяLP!i lv;)(vj1·а начальная матрица плотностиij1. Измерение фон Неймана преобразует системуV;)® ш1 )~ v,.)® ш,.), поэтому вприбора равна 1ш 1 ) ( ш 1и прибор по схеме1система11прибор1системаприборрезультате мы получим состояниеРсисrема-прибор = LP!i(lv;)(vj 1)ijсистема®(lщ)(wj 1)при6 ор •Находим частичный след по гильбертову пространству прибора вбазисе {lwk) }:что соответствует диагональной матрице плотности в базисеРешение для упражнения 5.46. Для р =LР; '1';) ('1';11{lvk)}.математиче-;ское ожидание наблюдаемого Паули&хравноРассуждения для у- и z-компонентов вектора Блоха аналогичны.Решение для упражненияа) Среднее по ансамблю5.48Rf> =LP;R; неравных геометрических век;торов длины1 имеет длину менее 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
