Решения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238819), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Это дает нам искомое рекурсивное соотношение (4.49).дойРешение для упражнения4.38.При п=1иl=О имеет месторавенство к=Ме 2 /4тtЕ/1 2 =1/а, в соответствии с (4.51). Посколькуиндекс j коэффициентов А. должен принимать значения между.1l + 1ип, остается только один ненулевой коэффициент А 1 • Соответственно,воспользовавшисьR io ( r ) --Аie-•"!аи вспомнив, что Rn 1 (r)=Иn 1 (r)/r, получаем(4.51).Чтобы нормировать эту радиальную функцию, запишем интеграл(4.15а):=f1R10(r) 12 r 2 dr=1.оОн вычисляется при помощиf=IR10(4.52):(r) 12 r 2 dr = A 12 J= r 2 e- 2 '. 1"dr = 2!(-°-)2о3А 2 = а43 А 211'отак чтоА 1Если п= 2а- 3 1 2 •= 2,то к=1/2а.
Начнем сl=О. Не обнуляются у нас коэффициенты А 1 и А 2 , причем они связаны соотношением(4.49),котороев данном случае принимает видтак что А 2R2o(r) == -AJ2a иА1 ( 1- ;а )е-г/2п.Нормирование этой радиальной функции даетf1R20(r) 12 r 2 dr =0л: J(r _С+r )e-'" "dr =а4а24210= л:а 3 (2!-3!+ 4!/ 4) ==2А12 а 3 =1 '167ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯНаконец, при п =2 и l = 1 у нас есть только А 2 ,и радиальная волновая функция становитсяТогда нормирующее уравнение имеет следующий вид:~~J~ 1 (r)l 2 r 2 dr=AiJ r 4 e-r/adr=4!.4ia 5 =1,оотак что А 2 = (24а 5 )- 1 ! 2 •Решение для упражнения4.39.Если п задано, тонимать любое целое значение от О доп- 1.lможет приКаждое из значенийl,всвою очередь, является вырожденным по отношению к магнитномуm; степень вырожденности при этом равна, как мы21+1.
Дополнительная вырожденность проистекает из спиноквантовому числузнаем,вой степени свободы электрона: спиновое квантовое число для негоможет принимать два значения, ± 1/2. Таким образом, полная вырожденность, связанная с конкретным значениемn, равнап-12.L,c21+1) = 2n 2 •(Р4.32)1=0Решение для упражнения4.40.Из уравнения(4.59)находим дляэнергии фотона:/i(J) =1Еп - Епl21= 1 + ме1 / мр Ry 1-;_-_;_1.nl n2Воспользовавшись тем, что оптическая частота и длина волны свя27tсзаны уравнениемСогласно( 1-ro = Т, получаем (4.61).(4.59), серия Лаймана соответствует энергиям фотонов от~) Ry до (~у ,~е)рия Б~ьмера - от ( ~ -i) Ry до ~ Ry , серияПашена- Ry. Учитывая, что энергия фотона свя9зана с его длиной волны через уравнение /iro = 27tlic / Л. , находим, чтодлины волн попадают в интервал 91-122 нм для серии Лаймана, 365656 нм для серии Бальмера и 820-1875 нм для серии Пашена (прини168-от- - - Ry9 16доРЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ4мая во внимание поправку по приведенной массе).
Только серия Бальмера располагается в пределах видимой части спектра.Решение для упражнениящийся по круговой4.41. Классический электрон, движуорбите радиуса r со скоростью v, испытывает центростремительное ускорениеv2 /r,вызванное, как известно, электростатическим притяжением ядра, сила которого составляет:е2F=--4тте0r2Записав второй закон Ньютона Ф =Mv 2 /r,находимezv2r = - - 4тте0МПри этом мы можем переписать(4.58)какMvr= nli.Решив последние два уравнения дляr и v,получаеме2 1V=---47tE0 nliи47tE n 2/i 2r=--o _ _е2При п(Р4.33)М= 1 результат для r согласуетсяс определением(4.50)боров-ского радиуса.Кинетическая и потенциальная энергии электрона на орбите равнысоответственноMv 2 ( ez )м-2-= 4ттЕ 0 2n 21i 22и1 е2- 47tE 0-;:= -(е24ттЕ 02)Мn 21i 2(первая равна половине последней с противоположным знаком, каки ожидалось по теореме вириала). Следовательно, полная энергиясогласуется с(4.56).169РЕШЕНИЯОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА2rtfiБора= - - , так что условиеЛdвДлина волны де Бройля (З.26)4.42.Решение для упражнения(4.58) pr = nhэквивалентно2rrr = nЛdв,рт.
е. орбита содержит целое число волн де Бройля. Остальное решениеидентично решению предыдущего упражнения.Решение для упражнения4.43а) Если исходить из той же логики, что и в упр.U,Jr)4.38,то к= 1/па иимеет только один ненулевой коэффициент Ап. Радиальнаяволновая функция равнаRп,п-1(r) =Апrп-~е-г/па·Уравнение нормирования==ооfIRп,n-1(r)12 r2dr =А~ fr2ne-2r/nadr = 2-2п a2n+ln2n+2 (2n -1) !~ = 1 'так чтоЬ) Для среднего радиуса имеет место равенство:1),=)!A~ =an ( п+2 .rзdr=2-2п-2a2n+2n2n+2(2n+l(r)= [1Rп,n-1(r)l2с) (Р4.ЗЗ) для радиуса боровской орбиты может быть записано [припомощи(4.50)]какr = an 2.
Длябольших значений п это близкок указанному выше результату для среднего( r),полученномуквантовыми методами.Решение для упражнения4.44.Состояние1100)имеет волновуюфункцию\jf1 00 (r,8,ф) = R10 (r)Y0°(8,ф) = ~ е-т'fа.'-J 1tQ3Для математического ожиданияпоскольку \jf 100 (r)отr.170z = r cos 8 имеет место равенство- это изотропная функция, а z - нечетная функцияРЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫСредний квадрат\z )= Jz l'1'221~1tйо1004z задается формулой(r)l 2 dxdydz=.л( 4.52)•42 12=-3 27tJ r e- ' adrf cos 8sш8d8 =о(4~2) 3_[4 '(,0_)5 ]~ =а3•23=а2,так что среднеквадратичное отклонение равно боровскому радиусу а.Исходя из того, что функция состоянияl 100) изотропна, мы можеможидать тех же результатов для наблюдаемых х и у.Решение для упражнения4.45.Учитывая(4.57),запишем интересующие нас матричные элементы следующим образом:(nlmlr;ln'/'m')=D0=1t 2лJJJRn 1 (r)[Y';m(8,ф)]' rj(8,ф)Rn'l'(r)y;~' (8,ф)r 2 sin8drd8dф,о огде(Р4.34)о= r sin 8 cos ф, r sin 8 sin ф, r cos 8 для х, у, z соответственно.4.32 и 4.33, что все сферические гармоникиУ1 m(8,ф) представляют собой нечетные функции, т.
е. в точках (8, ф)и (л - 8, л + ф) они принимают противоположные значения. Это жеверно для всех r/8, ф). Сферическая гармоника У0°(8,ф) - константа,r/8,ф)Мы узнали из упражненийт. е. четная функция. Это говорит о том, что подынтегральное выражение в уравнении (Р4.34)-грал, соответствующийнечетная функция при(1,0,0lf; 12,0,0),1=!',а значит,интеобнуляется, когда производится интегрирование по всему пространству.Для элементов матрицыгармоникиситхот1"~± 1(1,0,0lr; 12,1,m)отметим, что сферические(8,ф) содержат множитель еiФ, тогда как У~0 (8,ф) не завиф.Крометого,= r sin8cosф = r sin 8(е;Ф + е-iФ) / 2имеютместои у= r sin8sinф = rsin 8(е;ФЭто означает, что подынтегральные выражения для(1,0,0l!/12,1,0)и(1,0,0lzl2,1,±1)равенства-е-iФ) /2i.(1,0,0lxl2,1,0),содержат только члены, пропорциональные либо еiФ, либо е-iФ, поэтому они обнуляются, когда проводитсяинтегрирование по всем значениям ф.171ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯТаким образом, единственными элементами матрицы, которые,возможно, не обнулятся, являются (1,0,0lxl2,l,±1), (1,0,0l!Jl2,1,±1) и(1,o,01.z12,1,o).Решение для упражнения4.46.
Матричные элементы операторовкоординат для атома водорода таковы:r sin8cosфJ=s: r /(,1Cr)R,,'l'(r)dr s: sin8 d8 s:n dфY;m(8,ф)·r;~' (8,ф) [ rsin8sinф2=rcos8= Ir (n,l,n',l') Ia (l,m,l',m'),гдеI r (п, l,п',l')иI (l,ат,l',т') обозначают, соответственно, радиаль-ную и угловую части интеграла:Ir(n,l,n',l')= Г r 3 /(, 1 (r)R,,т(r)dr;J sin8 d8 J dфУ;m(8,ф) У;~ (8,ф) [sin8cosфJsin8sinф .0Ia(l,m,l',m')=п0*2n,0cos8В применении к конкретным интересующим нас состояниям имеем-J~ r 3 R • (r)~ (r)dr-_Jr(l,0,2,1)1000для радиальной части и1722-JМ24а 4J~ r 4 е -Зr/а dr_028 й-5 _1 -а2564174"6а 3"6 811/7-РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫJ: sin0d0 J:n dфУ0°(0,ф)*У;1 (0,ф) [ sin0sinф4sin0cosфJ10 (0,0,1,1)==coseдля угловой части.
Соответственнол27(1,0,0lxl2,1,±1)=+зsa;173ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯРешение для упражнения4.47.Основное состояние атома водорода имеет главное квантовое число п =1и энергию, примерно равную постоянной Ридберга со знаком минус, согласнодважды вырожденное, как в упр.яния этого атома п =гия-около-Ry/4.2,-Ry-Ry/4= е __k_т_"'Оновозбужденного состотак что оно вырожденно восемь раз; его энерОтношение вероятностей для атома находиться водном из состояний с п =Р24.39.
У первого( 4.59).2ив одном из состояний с п =1 равно7 х 10 -1so.Р1С таким крохотным отношением справедливо аппроксимировать р 1 ""1.С учетом того, что вырожденность первого возбужденного уровня вчетыре раза выше вырожденности основного уровня,нахождения атома в состоянии сп=Решение для упражненияа) Решив уравнения(4.62)2 равна 4р 2 /р 1 ""3хвероятность10- 179 •4.48относительно8и ф, находим:8 = 2 arccos 1'1' t 1;(Р4.35а)ф = arg( '1' t /(Р4.35Ь)'1' t) .Это решение существует для любой пары (\j/;,что'1'.i),при условии1'1';1 + 1'1'il = 1 и 'l't Е IR:. Оно единственно в пределах интервалов228Е [О, :л], ф Е [О, 2:л) 1 •Ь) См. решение для упр. 4.28(а).с) В упр.4.28,Ь) мы выяснили, что. Приlsx ,y,z )=!!_(~Ф)хуz2"\этомоператоры Паули и компоненты спина для частиц со спином12связаны соотношением Sx,y,z = !!_&2 x,y,z (упр.
4.26). Сведя оба этирезультата, находим, что (Rеф) x,y,zРешение для упражнения= \ (J x,y,z)•4.49. Точка на поверхности блоховскойсферы определяется двумя действительными числами. Однако подпространства сl~1имеют размерности21 + 1~3.Это означает, чтодля задания каждого элемента такого подпространства необходимо покрайней мере три комплексных числа.1Строго говоря, решение для ф не определено, если либо о/;. либоo/iобнуляется.
Темне менее эти случаи соответствуют уникальным блоховским векторам, указывающимна северный и южный полюса блоховской сферы соответственно.174РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫРешение для упражненияполярные координатыпозиции (л- 8,л+(8,4.51.4Если точка А на сфере имеетф), то противоположная точка находится вф). Им, согласно(4.62),соответствуют квантовыесостоянияОтсюда ('l'л1\jf8) =О.Решение для упражненияа) Согласно(1.Sa),4.52полуволновая пластинка с оптической осью,ориентированной под углом а, переводит горизонтально поля-ризованное состояние IH):::=( О1 ) в состояние -12a):::=(-c~s 2 a).-sш2аУбирая общий знак минус и согласуя данный результат с уравнениями(4.62),находим сферические углы соответствующегоблоховского вектора:8= 4а, ф = О.
Так что геометрическимместом получившихся поляризационных состояний на блоховской сфере является меридиан, пересекающийся с осью х(рис. Р4.1) 11В этих рассуждениях мы пренебрегаем соглашением о том, что полярный угол8должен находиться в интервале от О до л. Если мы хотим учитывать это соглашение,нам следует переопределить полярные углы следующим образом. Обозначимmodл. Тогдаj2a) "'(c~s 2 a) = ±(c~s((e:12 ))).sш2аsш 0 21блоховскому вектору с8 = 8',ф=8'= 4аПри О :5 8' :5 л это состояние соответствуетО.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
