Решения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238819), страница 22
Текст из файла (страница 22)
под углом л/2ы] .ф=О), чтосоответствуетспиновомусостоянию [ е] [ . Л~coscos. ~ =sш-2-sш-2191ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯСоответствующая2Pfi =COS2.В упр.состояниявероятность«спин-вниз»-2Лt4. 73мы вычислили оператор эволюции, связанный симпульсом площадью л/2. При~= О из уравнения (Р4.56) полу-лчаем этот оператор в таком виде: Ип 12 (0)=1(1 i).J21 .iЧтобынайти оператор эволюции, связанный с интервалом междуимпульсами, заметим, что при отсутствии d-поля гамильтонианвращающейся волныл Rwлпринимает вид Н(4.85)0'= -li(Л2ОО) .-ЛЭволюция под действием этого гамильтониана за время t даетсяунитарным оператором~Л/1.ezПрименив набор операторов, соответствующих последовательности Рамзея, к состоянию «спин-вверх», находим:= _!_(12 i_.!_Лt.!_Лt]=~ i(: :м ~::м) =(=Лt] ...
2[-1sш.ЛtlCOS-2Это то же самое состояние, которое мы нашли в пункте а), с точностью до общего фазового сдвига.192ГЛАВА Р5РЕШЕНИЯК УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫРешение для упражнения55.1Ь) ('l'нlH)+'l'vlV))('l'~(Hl+'l'~(VI)==1'1' н 12 Iн)(нl +"'н "'~ 1н)(vl +"'~ 'l'v 1v)(нl +l'l'v 12 Iv)(vl ==1'1' нl 2 (~ }1~( 1'1' нl 2'l'~'l'vО)+ '1' н'I'~ (~}о1)+ 'l'~'l'v (~}1 O)+l'l'vl 2 (~}о 1) ~'1' н'I'~ ]·l'l'vl 2с) ~1+45°)(+45°1+~1-45°)(-45°1==~ ~(lн)+IV)) ~((нl+(vl)+~ ~(lн)-lv)) ~((Hl-(VI)=2v2v22v2v2=~(1 н)(нl +1 н)(vl+ IV)(HI+ IV)(vl)++_!_(lн)(нl-IH)(vl-lv)(нl+lv)(vl) =4=~(lн)(нl +IV)(vl) ~~~(~ ~}193ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯ11111Гn(lн)+IV)) Гn((нl+(Vl)+-lн)(Hl+-lv)(vl=44'122 '12d) -1111=-IH)(Hl+-IH)(vl+-lv)(Hl+-lv)(vl:::2442:::(1/2 1/4)·1/4 1/2Решение для упражненияансамбля(5.1),21111111'1')равна)1vнаблюдатьтПоскольку каждое 1'1') возникает свероятностьprm ;=1(v l'l';)I =(v l'l';)('l';lvm)·1Для каждого компонента5.2.вероятностью Р;, вероятность наблюдатьlv111 )в ансамбле(5.1)равнаPfm =LP;Pfmli =LP;(vml'l';)('l';lvт)=(vml(LP;l'l';)('l',l)lvrn)=(vrnlPlvrn)111Здесь мы воспользовались уравнением (Б.б) для суммы условныхвероятностей.Решение для упражненияническомненияб5.3.
Записав матрицу плотности в кано-л (Рнн Рнv) ,PvvРvназисе как р:::находим, с использованием урав-(5.2):а) prн=(HlplH)=(l о)(Рнн Рнv)(l)=Рнн;РvнPfv =(VlplV)=(OЬ) Pf+=(+IPl+)=~(lPvvО1)(Рнн Pнv)(O)=Pvv.Рvн1)(:::Pvv1::)С)=~(Рнн+Рнv+Рvн+Рvv);pr_ =(-IPl-)=~(1 -1)(::: :: )( ~1 )=~(Рнн -Рнv -Рvн +Pvv ).с). +Pvv );Рнv )(1)-i)(Рннi =21(Рнн +.IPнv -IPvнРvн Pvv. +Pvv ) ··)(Рнн Pнv)(l). =-1( Р нн - lp.
нv +IPvнPvv -\ 2Рvн1194РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫРешение для упражненияненормированное состояние5.4.l'V)Как было определено в разд.51.8,соответствует физическому состоя-нию l<r;) =1'V; )/111'V;)11, существующему с вероятностью Р; =111'V;)11 .
Вос'2пользовавшись определением оператора плотностиРешение для упражнения(5.1),находим5.511н)(Hl+11v)(Vl=1(~ ~)+1(~ ~)=1(~ ~);_!_1+)(+1+_!_1-)(-1=_!__!___(1)_1 (1 1)+_!__!___( 1 )-1 (1 -l)=-21(01 01);22212 1 J2.2J2 -1 J2._!_IR)IRl+_!_IL)ILl=_!__l (1.)_1 (1 -i)+_!__l ( 1_)_!___(1 i)=_!_(l о)2 \ 2 \ 2 J2. 1 J2.2 J2. -1 J2.2 о 1 ;!1 e)(el +_!_1 тс/2 +е)(тс/2 +01 =22°)=_!_(C~S 0) (COS 8 sin 8) +_!_(-sin (-sin 8 COS 8) =_!_( l 0).2 sш 82 cos 82 о 1Решение для упражнения 5.6.
Предположим, что ансамбль (5.1) предl'V)l'V) ('VI). Измеl'V) в качествеодного из элементов. Тогда вероятность зарегистрировать l'V) равнаставляет некоторое чистое состояние(т. е. равняетсярим этот ансамбль в ортонормальном базисе, содержащемprЧJ =('VIPl'V)= LP;l\'Vl'V;)l 2 •iДля всех i состояние 'V;) нормированно, так что 1\ \jl 1\jl; )1 2 :.; 1 в силу1неравенства Коши-одногоi.l'V))1 2 :.; 1) по крайней мере дляБуняковского. Более того, поскольку не всеодинаковы, это неравенство строгое ( I\ \jl1\jl;ОтсюдаLP; l\'Vl'V,)12<LP;=1,iт. е.ipr < 1, чтоо/противоречит нашему предположению.195ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯ5.
7.Решение для упражненияНа основе результата упр.видим, что состояния а) и Ь) чистые, а с) иd) -Решение для упражнения5.8. Для любого базиса{lvm)} имеет место равенство prm =(vт ICi/N)lvm) =1/N.Решение для упражненияупр.1(12о5.5,измерений5.9. Как мы выяснили при выполнениичто соответствует полностью смешанному состоянию.Решение для упражненияупр.мывсе эти состояния имеют одинаковую матрицу плотностио) ,15.6нет.4.27, находим:lm, =l)(m, =iH[~}15.10.Воспользовавшись результатом[1 J22 J21] ;J2 1)=~ J21J21-~]!(1:·~:;::1:::~:.0::~~=:~1~~=~~:1)=![~о ~о ~1,331что соответствует полностью смешанному состоянию.Решение для упражнения5.11. Этот результат следует из упр. 5.2.Однако его можно доказать и математически. Используя определениематрицы плотноститов в базисе(5.1),мы находим для ее диагональных элемен{lvm)}:Pmm = (vт lrlvm)= LP; l(vm l'V;)l 2 •(Р5.1)iПосколькуVi Р; ~О , имеет место неравенствор mm ~ О.2каждое l'V) нормированно, то Il(vm l'V;)I =1.
Отсюдаi196Более того, разРЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫРешение для упражнения55.12а) Недиагональный элементможно рассматривать как скалярное произведение (ii, 6) векторов1иТогда диагональные элементыPnn =LP; l(vn 1'1';)12Pmm =LPi l(vm l'Vi)l2иiравны квадратам абсолютных величин этихiвекторов 1а1 2 и 1Ь1 2•Применяя неравенство Коши - Буняков-ского, получаем искомый результат.Ь) Для чистого состоянияl'V)недиагональные элементы равныPmn = (vт l'V)h'Vlvn), а диагональные Pmm = l(vm 1'1')1 2 иPnn =l(vn 1'1';)1 .
Подставив эти выражения в неравенство (5.3), мывидим, что его правая и левая части стали равными.Чтобы доказать обратное утверждение, предположим, что ресть смешанный ансамбль состояний, включающий в себя покрайней мере два неравных элемента, которые мы обозначим1'1'1)и1'1'2 ).Разложения этих элементов по базису {lvi)} должныбыть разными, а это означает существование пары базисных элементовlvm)иlvn), таких что(vт 1'1'1)(vn l'V1)(vт 1'1'2):;: (vп l'V2).1Конечно, эти векторы представляют собой просто наборы чисел, а не квантовые состояния.197ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯСказанное подразумевает, в свою очередь, что векторы а и Б неколлинеарны, поэтому неравенство Коши-Буняковского неможет стать равенством (упр. А.26).Решение для упражненияматрицы плотности5.15.Воспользовавшись определением(5.1), запишем для любого из ее элементовтак что оператор плотности является эрмитовым.Решение для упражнения5.16.Возможность спектрального раз(5.4) следует из того, что оператор плотности является эрмитовым [см.
упр. А.60]. Результаты L, q; = 1 и q; >О получаются потому,ложения;что диагональные элементы представляют собой вероятности резуль-татов измерений для ортогонального базиса, в котором записанаматрица плотности (упр.5.2).Решение для упражнения5.17(чистое состояние);а)IH) (HIЬ)(xlH)+ylV))(x'(Hl+y'(VI)(чистое состояние);с) ~1+45')(+45°1+~1-45')(-45' 1=~(IH)(Hl+IV)(VI) (полностьюсмешанное состояние);d)Решив характеристическое уравнение, находим собственныезначения3/4 и 1/4, а такжесоответствующие им собственныесостояния 1+)"" ~С) и 1-)"" ~( ~1 ).
Следовательно, операторплотности равен:~1+)(+1+_!_1-)(-1""(1/2 1/4).441/4 1/2Решение для упражненияянияl'V)содержитдиагональна в любом ортонормальном базисе, который1'1'> в качестве одного из своих элементов.оо1985.18. Матрица плотности чистого состоВ этом базисеРЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ5где единственный ненулевой матричный элемент соответствует элементуl'V) этого базиса.Решение для упражнения5.19.Согласно упр.5.16,все собственные значения (эрмитова) оператора плотности неотрицательны, а этоозначает, что оператор плотности также неотрицателен, как показанов упр.
А.72.Решение для упражнения5.20а) В фоковском базисе:аь·ьь·оЬ) В координатном базисе:р(Х, Х') = [a\jf 0 (Х) + b\Jf 1 (Х)][а. 'V ~ (Х') + ь· 'V; (Х')] ==1c 1l 2e-(X'+X'')l 2 [a + ьх hJ[a' + ь· Х' hJ.Этот результат мы получили, воспользовавшись волновымифункциями \jf0 (X) и \jf 1(X) первых двух фоковских состояний,которые задаются уравнениями (З.107) и (З.108) соответственно.Решение для упражнения5.21а) После приведения к диагональному виду все элементы унитарного оператора, согласно упр. А.83, имеют абсолютное значение1. Но при этом,как мы выяснили в упр.5.16, диагональные эле1.менты оператора плотности положительны и в сумме даютЭти два условия несовместимы для любого гильбертова пространства размерности больше единицы.Ь) Если р = 1'V) ('V 1- чистое состояние, то р 2= 1'V) ('V 1'V) ('V 1=1 'V) ('V 1= р.Чтобы доказать обратное утверждение, будем исходить из того, чтор= Lq;Jv;)(v;Jр2 =спектральноеL qf 1V;) (V; J.
Равенствор=разложениер.Тогдар 2 подразумевает, что q; равноiлибо нулю, либо единице для любогованного состоянияi.Поскольку для нормиро-L q; = 1, то только один из q; равен единице,iостальные же равны нулю. Это означает, что р-чистое состояние.199ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯРешение для упражнения5.22а) Разложим каждый элемент Р; ансамбля в виде, аналогичном(5.1):(Р5.2)сL pij = 1. То есть ансамбль, в котором каждыйР; существует сjвероятностью р i' эквивалентен смеси чистых состояний 1\jf и), возникающих, соответственно, с вероятностями P;Pu· Этот ансамбльописывается оператором плотностир= LP;Pul'l'u)('l'иl'ijчто совпадает с(5.6).Ь) Пусть один из компонентов л не является чистым. Тогда егоматрица плотности в любом базисе должна содержать по крайней мере два ненулевых диагональных элемента.
Поскольку вседиагональные элементы для каждого Р; неотрицательны [упр.5.ll(a)], матрица р должна в этом случае тоже содержать покрайней мере два ненулевых диагональных элемента. Но, какмы выяснили в упр.5.18, если бы р был чистым, то существовалбы базис, в котором его матрица плотности содержала бы толькоодин элемент. Пришли к противоречию.Решение для упражнения5.23а) Используя представление оператора плотности как статистического ансамбля(5.1)и применяя уравнение Шрёдингераполучаем;..dр= dtLP;l'l';)('l';I=1=LP;(l'i!;)('l';l+l'l';)('i!;I)==~P;(-*нl'l';)('l';l+l'l';)('l';l*й )=iл л1iiлл л=--(Нр-рН)=л=--[Н,р].1i200(1.31),РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫЬ) Воспользовавшись уравнениями(1.29)и5(1.30), находимp(t)= LPi l'l'Jt))('ViCOI =i= LP;UCOl'V;(O))('Vi(O)IUt(t)=ii=егдеiА--HthА-Нtp(O)eh ,лU(t) = еi.--Hth-оператор эволюции.Решение для упражнения5.24а) Так как l'VCO))=(IE1)+IE2))/.J2, а IE1) и IE2) суть собственныесостояния гамильтониана, имеемiiлil'l'Ct)) = е-1,нt 1'1'(0)) = (e-1,E1t 1Е1) +е-1,Е,11 Е2)) / .J2'поэтомуp(t) = l'VCO)('VCOI =Ь) Воспользовавшись_!fn(5.8),получаем~ Htp(t)=eh p(O)eh =1=z-Ce_J__E1thJ__E1tIE1)(E1leh+е_J__E2thJ__E2 tIE2)(E2leh )=1=-CIE1)(E11 +IE2)(E2 I) =2= р(О).Решение для упражненияла) Гамильтониан равен Н5.251= - 2nLax,где QL= уВ -частота Лар-мора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
