Решения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238819), страница 25
Текст из файла (страница 25)
В этом случае ненормированноесостояние фотона Боба есть (Н l 'f' 1 ) = (1Н)+1 V)) / .J6 . ВероятНачальное состояние естьизмерение Алисы даетность того, что скремблер Алисы отобразит ее результат навыходное состояние•V,равнаНачальное состояние естьизмерение Алисы дает11/4./'f' 1 ), а квантовое поляризационноеV).В этом случае ненормированноесостояние фотона Боба есть(v l 'f'1 ) = 21 V) / .J6.Вероятностьтого, что скремблер Алисы отобразит ее результат на выходное состояние•V,равна2/3.Начальное состояние есть/'f' 2 ), а квантовое поляризационноеизмерение Алисы дает /Н). В этом случае ненормированноесостояние фотона Боба есть (Н l 'f' 2 )= 1V) .
Вероятность того,что скремблер Алисы отобразит ее результат на выходноесостояние•V,равна1/4.Начальное состояние есть/'f' 2 ), а квантовое поляризационноеизмерение Алисы дает / V). В этом случае ненормированноесостояние фотона Боба есть (V l'f' 2 ) =О .Таким образом, общая ненормированная матрица плотностиБоба равнаРв,vс) Состояние/'f' 1 ), которое возникает с вероятностью 3/5, можетбыть записано какl'f' ) =1н) ® 1н)+1 v) +1v) ® 21 v) .1F6F6Если результат измерения Алисы неизвестен, это эквивалентноситуации, когда ее фотон потерян, так что фотон Боба представ-ляет собой смесь ненормированных состояний Н~ V) и 2~) .1При этом, если фотон Алисы потерян, тогда как ансамбль находится в состоянии/'f' 2 )(вероятность которого равна2/5),фотон223ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯБоба находится в состоянии 1V).
Этот ансамбль соответствует оператору плотностиРв,v=~[lн)+jv) (нj+(vj + 2jv) 2(vl]+~jv)(vj =5'16'16'16'16 51119=-IH)(нj+-jн)(vj+-jv)(нj+-jv)(vj.10101010Метод II: использование матрицы плотности и аппарата обобщеннъtх измеренийа) Оператор плотности начального состояния равенлРлв_ з jнн)+jнv)+2jw) (ннj+(нvj+2(wl2 )( I ()-+- 1HV HV . Р5.2417/75"6'165РОVМ-элемент детектора Алисы, соответствующий выходномусостояниюН,равен,какбыловыясненовупр.5.67,31Fн =4jH)AA (Hj+зlV)AA (Vj.
Отсюда следует, что3л31з 4IHH)+4IНV)+3x2jw) (ннj+(нvj+2(wj 2 зFнРлв =J6J6+--jНV)(HVj=566543333=-1нн)(ннj+-1нн)(нvj+-jнн)(wj+-lнv)(ннj+404020403311+-jнv)(нvj+-jнv)(wj+-lw)(ннj+-lw)(нvj+40201515231510+-jw)(wj+-lнv)(нvj.Теперь, взяв след по фотону Алисы, найдем матрицу плотностифотона Боба.Ь) РОVМ-элемент детектора Алисы в данном случае равенFv2241423=-jH)AA (Hl+-jV)AA (Vj.
А значит,РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ51123 4IHH)+ 4 jнv)+3x 2 lw) (ннj+(нvj+2(WIл21+--IHV)(HVI=55411111=-1нн)(ннj+-1нн)(нv1+-1нн)(wl+-jнv)(ннj+-1нv)(нv1+4040204040FvРлв =-J66J6612241+-1нv)(wj+-lw)(нн1+-lw)(нv1+-lw)(wj+-lнv)(нv1.2015151510Выбрасывая фотон Алисы, находимс) Взяв частичный след двусоставной матрицы плотности (Р5.24)по фотону Алисы, находим:Рв = Тrлр лв =__!_IH)(HI+__!_IH)(VI +__!_IV)(HI +(__!_+_±_+~)lv)(VI =10101010 10 51101101109=-IH)(нj+-jн)(vj+-lv)(нj+-jv)(vj.10Мы видим, что результаты, полученные обоими методами,согласуются друг с другом и что матрица плотности из пункта с)представляет собой сумму матриц из пунктов а) и Ь), как и ожидалось.
Кроме того, след матрицы плотности из пункта с), задающей состояние фотона Боба независимо от результата измерения Алисы, равен единице, что тоже ожидалось.Решение для упражнения5. 71а) В случае, если измерение дает результатlv.),ненормированный1ллоператор плотности системы становится равным П;рП; (упр.5.33).Случай, в котором измерение дает результатэтом скремблер указывает на выходное состояниествует ненормированному оператору плотностисуммировав по всем1j,v)и присоответµ!iI\pI\. Проi, получаем матрицу плотности, соответствующую событию наблюдения выходного состояния}:pj = LYjil\pI\.i225ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАРЕШЕНИЯЬ) Используя данное уравнение при р = ~(~ ~), находим дляненормированных результатов измерения:Следы этих матриц плотности дают вероятности реализациикаждого из выходных состояний детектора.
Их сумма равна единице, и это согласуется с тем, что одно из выходных состоянийвсегда реализуется.Чтобы выполнить последнюю часть задания, используяРОVМ, найденную в упр.5.67,мы получим выражения:Fл л Fл - (9/32 1/8 ) ·нР н - 1/8 1/18 'л л л (1/32 1/12)FvPFv ::::: 1/12 2/9 .Решение для упражнения5.71, Ь),5. 72.Нормируя первый результат упр.получаем:о )24 (3/8 о ) = (9/13л =N лО 4/13 .[рн] 13 О 1/6Рн:::::Повторное измерение дает следующие ненормированные матрицы:Рн__.н226РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫВероятности каждого результата равны следам Тг Рн_,н5=97 /156,Тг Рн_,v =59/156.Решение для упражнения5.
73а) Фотон, попадающий в первый светоделитель, с равной вероятностью проходит его или отражается: рг,.эти случаи по отдельности.•12= рг1 = - . РассмотримЕсли фотон проходит, он измеряется в каноническомбазисе. Тогда вероятность получить результаты1 и 2 равнасоответственноРГ111 =(НlрlН)=Рнн;РГ211 = (VlplV) = Pw ·•Если фотон отражается, он измеряется в диагональномбазисе. Тогда вероятность получения результатов1и2равна соответственноРГ111· =(+IРl+)=~(Рнн +Рнv +Рvн +pw);РГ21r =(-IРl-)=~(Рнн -Рнv -Рvн +pw) ·Теперь, воспользовавшись теоремой полной вероятности (Б.6),находим:РГ2Ь)1= РГ1РГ211+РГ,.РГ211·=4Рн111Пусть РОVМ-элемент длял "" (FjНllFjFvн)1-4Рнv -4Рvн3+4Pw ·выхода j-го детектора равенJFjHV·.
Тогда имеет место равенствоFw.1(5.39)prj = FiНнРнн + FщvPvн + FjvнPнv + FjwPw ·Сравнивая его с результатом пункта а), находим:л (3/4 1/4)F1 "" 1/4 1/4 ;fr. : : ( 1/4 - 1/4) .Как и ожидалось,-1/42лл3/4лF; + F2 = 1 .227ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯРешение для упражнения5. 74а) Мы полагаемся на тот факт, что вероятность(5.39) -это дей.ствительное число для любого физического состояния р Дляначала установим р = 1vk) ( vk 1, где { 1vk)} - произвольный ортонормальный базис гильбертова пространства.
Тогда имеет месторавенствооно показывает, что все диагональные элементы(F)kk матрицыдействительны. Затем докажем, что недиагональные элементы влюбой паре(F)klи(F) 1k являютсякомплексно сопряженнымимежду собой. Рассмотрим состояния Pre,im = 1\jl re,im) (\jl re,im 1, где'l're =(lvk)+lv1))/.J2 и 'l';m =(lvk)+ 1ilv1))/.J2. Дл~ этих состоян~;~йll(Pre,im )kk = (Pre,im )ll = (p,Jkl = (p,.)lk = 2' (pim )kl = -2 И (pim )lk = 2 •Отсюда вытекает, что:тr[ ftj 1'l're )('l're 1] = ~[ (F)kk + (F)u + (F)kl + (F)1k] Е JR;тr[ ftj l'l';m)('l',e 1] =~[(F)kk +(F)п]+~[(Fj)kl -(F)tk] Е JR.Поскольку, как мы выяснили, и(F)kk'и (F)п действительны, изприведенных выше выкладок следует, чтоJ= О;Im[(F; )kt +(F; )1Re [ ( F; )kt - ( F; )tk ] = О .Азначит,Im(F)k 1=-lm(F)1kиRe(F;)kl=Re(F) 1k,т.
е.(F; )kt =(F; );k ·Ь) Предположим, элемент РОVМ fti не является неотрицательным,т. е. существует состояние 1'1'), такое что ('1'1fti1 '1') <О. Но этавеличина, согласно (5.39), равна вероятности pr; = тr(ft; 1'1')('1'1)наблюденияj-го выходного состояния детектора при измерениисостояния1'1'>·Поскольку отрицательные вероятности невозможны, мы получили противоречие.с) Допустим, мы производим измерение физического состоянияс матрицей плотности р. Суммируя по всем возможным состоя-228РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ5ниям детектора после измерения, мы можем записать, пользуясь(5.39):L prj =L Tr(Fj р) =Tr(X р) =1,(Р5.25)jгде мы обозначилиL ftj = Х .лПоскольку всеFj -лэрмитовы операторы, Х-тоже эрмитовоператор. Следовательно, существует ортонормальный базис{lvk)}, в котором Х принимает диагональный вид (см.
упр.А.60). Приняв p=lvk)(vkl и подставив это состояние в (Р5.25),мы получаем для любогоTr(X р) =(vkk:lilvk)= 1.Поскольку матрица Х в базисе { 1vk)} диагональна, из приведенного соотношения следует, что она соответствует единичномуоператору.Решение для упражнения 5.75. Для любого РОVМ-элемента ftjсуществует ортонормальный базис { 1v;)}, в котором ftj принимает диагональный вид. Подставляя элементы этого базиса в (5.39), находимдля вероятностиj-го результата измеренияДетектор не в состоянии дать информацию об исходном состоянииквантовой системы, и это означает, что р. одинаково для всех исходл)ных состояний. Поэтому и ( V; 1 Fj 1 V;) одинаково для всех значенийi.Иными словами, матрица ftj в базисе { 1v;)} диагональна и все ее диагональные элементы равны рrгРешение для упражнения5.
76а) Матрица плотности содержит № элементов, из чего следует, что№ комплексных параметров достаточно, чтобы полностью описать ее. Однако поскольку оператор плотности эрмитов, т. е.pij= Р~;, то одна пара действительных чисел содержит информацию об обоих этих элементах матрицы (и только одно действительное число требуется для описания каждого ее диагонального229ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯэлемента). Поэтому на самом деле достаточно № действительных параметров. Более того, физические матрицы плотностиимеют единичный след, а значит, если нам известны любыеN - 1 диагональных элементов,мы можем вычислить и N-й элемент. Это дополнительно снижает число необходимых действительных параметров до №- 1.Обратите внимание, что физические матрицы плотноститакже ограничены условием(5.3).Но это условие-неравенство и потому уже не уменьшает числа необходимых параметров.Ь) Проективные измерения в заданном базисествительных вероятностейprj = ( v.i 1р1 иJ) ,{lv>} дают N дейсвяза~ных с N базисными элементами.
Однако, поскольку сумма этих вероятностейравна единице, информация о них может содержаться вN - 1действительных чисел.Решение для упражненияупр.5.3,5.77.Воспользовавшись результатаминаходим:Рнн=Рrн;Pvv = РГv;Рнv + Рvн = 2pr+ - РГн -prv = 2pr. -1;Рнv - Рvн = -i (2prR - РГн - РГv) = -i (2prR -1),где мы исходили из того, что рrндают+ pr 1, = 1.Последние два уравнения-l+iРнv= pr+ -i prR +-2-;Рvн= pr. + i prR +-2-.-1-iРешение для упражнения5. 78.Мы ищем матрицу плотности длядвух фотонов в каноническом базисер-1::::: ::::: :::: :::1РvнннРvннvРvнvнPvнvvРvvннPvvн~·PvvvнPvvvv'где, к примеру, Рнннv =(HHlfJIHV).•Измерения в канонических базисах Алисы и Боба дают диагональные элементыРГнн =(ННlfJIНН)=Рнннн;230РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ5РГнv =(HVlplHV)=Pнvнv;РГvн =(VHlplVH) =Рvнvн;prvv•=(VVlplVV)=Pvvvv.Измерения, в которых базис Алисы канонический, а базисБоба-диагональный и круговой, даютРГн+ =~[ (HI @((HI +(Vl)]P[I Н) ®(1 H)+IV))] =1=2(Рнннн +Рнннv +Рнvнн +Рнvнv );prнR =~[ (нl 0((нl- i (vl)]i3[1 н) ®(1 н) +ilV) )] =.
HHHV - !р. HVHH + р HVHV )'= 21 с р НННН + !роткуда, воспользовавшись уже существующим знанием Рнннн иРнvнV' находим Рнннv ± Рнvнн и затем сами Рнннv и Рнvнн· Аналогичprv+ и pr VR мы находим Pvvvн и Pvнwным образом, из•Измерения, в которых базис Боба канонический, а базисАлисы•-диагональный и круговой, дают, по тому же принципу,РннvН' РvннН' Pvvнv И PнvwЭлементы матрицы, которые еще остается найти,-это РннwРvvнн' Рнvvн и Рvннv Их можно вычислить из измерений, в которых Алиса и Боб используют диагональные и круговые базисы.В частности:pr++=~[ ((HI +(vl)® ((нl +(vl)]P[ (1н)+1 v) )0 (1 н)+IV) )] =1=4(. .. +Рннvv +Рvvнн +Рнvvн +Рvннv + ...);pr+R=~[ ((HI +(vl)® ((Hl-i (Vl)]P[ (1Н)+1 V) )®(IH)+ ilV) )] =...)=41 с ···+1.Р ннvv - IPvvнн- lp нvvн +IPvннv +··· ;prR+=~[((HI- i (vl)® ((нl +(vl)]i3[(1 н)+ il v) )0 (1 н)+ IV) )] ==41 с ···+.1 Р ннvv - .1 Рvvнн +.1 Р нvvн - .IPvннv +···);231ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯprRR=~[((нj-i (Vi)®((нj-i(Vi)]r[(IH)+ il v) )®(IH)+ ijV) )] =1=4(.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
