Решения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238819), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Рассмотрим векторповернуть его на л/2, получится (О,(1,О). Если1), а последующий переворот отно-1). Если произвести эти операсительно горизонтальной оси даст (О,ции в обратном порядке, переворот не произведет никакого действия,так что в результате получится вектор (О,1).Решение для упражнения А.35. Подействуем оператором А( ВС)на некоторый векторii.Согласно определению А.18, находимА.( вс)lа) =А.[( вс)iа) J=А.[ в( дiа)) J.(РА.22)Иными словами, чтобы подействовать оператором А (ВС), мы должнысначала применить оператор С кл вектору la), затем В к тому, чтополучилось, и в итоге применить А к результату.Посмотрим теперь на оператор ( АЕ) С .
Имеет место равенство(А.в)сlа) =(АВ)( cja)) =А.[ в( cja) )] .(РА.23)Мы видим, что операторы А (ВС) и (АВ) С отображают любой вектородинаково, т. е. равны друг другу.255ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯРешение для упражнения А.36. В любом базисесоотношение{lv.)} действуетilvj) =lvj). Согласовав его с уравнением (A.l9), находим,что матрица единичного оператора равна просто единичной матрице:РешениедляупражненияА.37. Соотношение (А.19) в матричномвиде выглядит так:Решение для упражнения А.38.
Объединив уравнения (А.18) и(А.19), находима это означает, что 1-и элемент разложения векторарабочем базисе равенL.Au-aj.Ala)в нашемЭто согласуется с (А.20).jРешение для упражнения А.39а) Пусть Cij - матрица оператора С= А+ В . Тогда, согласно определению А.19 матрицы оператора, должно выполняться(РА.24)При этомА..+ В." аСравнив полученные результаты, мы видим, что С..=уиl)ллзначит, матрица А+ В равна сумме матриц операторов-компонентов.256РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ПРИЛОЖЕНИЯ АЬ) Аналогично находим, чтоМы видим, что (i,Л-й элемент матрицы, связанной с операторомМ , равен Mij.лллс) Пусть С= АВ.
Согласно упр. (А.19), имеет место равенство.Вlvj) = L,B19 lvk). ПоэтомуkСравнивая это с уравнением (РА.24), выясняем, чтоа это соответствует стандартному правилу «строка-на-столбец»для перемножения матриц.Решение для упражнения А.40. Взяв скалярное произведениеобеих частей (А.19) с(vkl' получаем(vk IAlvj) = L-\ (vk lv;) = L,Ayo;k = А19 .iiРешение для упражнения А.41.
Сначала найдем матричное представление ~. Для вычислений используем стандартный базис IR. 2 , аименно {i,J} , состоящий из единичных векторов вдоль осей х и у,которые ортонормальны в см~1сле стандартного скалярного произведения. Результатом поворота0 станет новый единичный вектор, образующий с осью х угол 0: ~i =cosei +sineJ. Аналогично~] = - sin вi + cos вiна уголJ.257ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯR 0 • Сделаем это с помощью (А.21).+sin8f·]=cos8;+sine])=cosef.fRe хх =f·(~f)=f·(coseiллл ллллл ллRexy = iл·(~~) = iл·(-sin~ i + cos~j) = -si~8 j ·i + со~8 j = -sin8;Л= cos8 j ·i +sin8 j · j = sin8;j А ·(cos8 i +sin8Re УХ = jЛ ·(Rei)=ЛЛЛ ЛЛЛЛлReyy = j ·С RеЛ = j ·С - sin е i + cos е Л = - sin е j. i + cos е j. j = cos е ,Остается найти элементы матрицы!·а отсюда следует, что~ = [Rexx Rexy] = (c~s8-sin8).cos8Slll 8Reyx Reyy(РА.25)Аналогичным образомR =(с~sф -sinф)·sшфф(РА.26)соsфИспользуя правила перемножения матриц, находимR ~ = (соsф -sinф)(cos8соsфsinфФ-sin8) =cos8sin8= (cosфcos8-sinфsin8 -cosфsin8-sinфcos8) =sinфcos8+ cosфsin8-sinфsin8+ cosфcos8=(соs(ф+8) -sin(ф+8))·соs(ф+8)соs(ф+8)ллКак и ожидалось, матрица RФRe идентична матрице поворота на угол8+ф.Решение для упражнения А.42.
Базис в пространстве линейных операторов образуют № операторов с матрицами, все элементыкоторых, кроме одного,п:s: N) --нули, а элемент в позиции(m,n)(где1 :s: m,единица.Решение для упражнения А.43. Проверяем сразу оба свойствалинейности. Пустьlx), iy) Е V,а Л,µ Е IF. Тогда1а)(ЬI (Л.lх) +µly)) = (ЬI (Л.lх) +µly) )1 а)== (А(Ьlх) +µ(Ьlу) )1 а)== л.( (Ьlx)la)) +µ( (ЬIY)la)) == Л.(la)(Ьl)lx)+ µ(la)(Ьl)ly),отсюда следует, что la)(ЬI линеен.258РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ПРИЛОЖЕНИЯ АРешение для упражнения А.44.
Это следует из определения А.20оператора внешнего произведения:(al(IЪ)(cl)ld) = (al((cld)IЪ))= ((alb) )((cld)).Решение для упражнения А.45. Пустьортонормаль{lv)} -ный базис, в котором мы хотим найти матрицу. Тогда (i,j)-й элементматрицы равен, согласно (А.21),Решение для упражнения А.46. Матрица оператора в правойчасти (А.24),(vk 1(t~1V; )(v; l)lv1) =t~ (vk lv; )( vi lv1) =t Au<>ki<>;1 =Akl,равна матрице оператора А.Решение для упражнения А.4 7.
Определим fзжем, что fз = А . Заметим, что для любого тпоэтому fз 1vm)=А1 v111 ) для всех элементов базиса=L ш,) (V;1v11и пока-;111 ).Данные два оператора отображают все элементы базиса одинаково, и это означает,что на самом деле они отображают все векторы одинаково, т. е. и самиони идентичны.Решение для упражнения А.48.
Сославшись на упр. А.46, запишем:1( Зi-Зi) = IIH)(Hl+(-Зi)IH)(vl+ ЗilV)(Hl+4IV)(VI.4Решение для упражнения А.49. Воспользовавшись (А.25), получим:А = Ш1) (u1 + Щ) (u2 =111I= h 1V1) ( v1 ~ v2 I +h (1 V1) +Зi 1v2 )) ( v1 ~ v2 I _(А24)=21 v1 ) ( v1 1+Зi1 vJ (v1 1- Зi 1v2 ) ( v2 I=(:i=-~J259ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯРешение для упражнения А.501= cл24JL,(v;lilvj)lv;)(vjl=i,j=L,(v;lvj)lv;)(vjl=i,j=L,oiilv;)(vjl=i,j=L,lv;)(vJiРешение для упражнения А.51а)Из уравнений (А.28) следует, чтолПодставим эти выражения в разложение оператора А, найден-ное нами в упр.
А.48:А= 11 v1)(v1l-3ilv1)(v2I+3ilv2)(v1l+4lv2)(v2I== 1 (lш1)Лш2) )( (ш1 ~ш21)~ 3 {lш1)Лш2) )( (ш~i~2 I)++3{lw1~iw2) )( (ш1 ~w2 l)+ 4(lw1~iw2) )( (w~i~2I)=1=2(lш1)(ш1 l+lw1)(w2 l+I ш2)(ш11 +lw2)(w2 I)+3+2(lш1)(ш1 l-lw1)(w2l+lw2)(w11-1 ш2)(ш2 I)+3+2(lш1)(ш1 l+lw1)(w2 l-lw2)(w1 l-lw2)(w2 I)+4+2(lш1)(ш1 l-lw1)(w2l-lw2)(w11 +lw2)(w2 I) =11331=2lш1)(ш1 l-2lw1)(w2 l-2lw2)(w1 l-2lw2)(w2 I•и отсюда следует, чтол ш-базисА2601( -3) .= -112 -3 -1РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ПРИЛОЖЕНИЯ АЬ) Для использования второго метода мы должны сначала найтискалярные произведения элементов базиса.( V11Ш1) =(1(v1 lw2 )=(l0) ~с)= ~О) ~(~i)= ~Теперь можно применить (А.27) и записать(ш 1 1 AI ш1 ) =(ш 1 1v1 )(v 1 1 AI v1 )(v1 1w1 ) +(w 1 lv1 )(v11AI v2)(v2Iш1)++(w1 1v2)(v2IAI v1)(v1 1ш 1 ) +(w1 1v2)(v2IAI v2)(v2Iw1) =-i . 1 -i i 11= 41 141 + 41 (-31).
4i + 4 (31) 4 + 4 44 =2 ;(w11AI w2) =(w1 1v1)(v1 1Alv1)(v11ш2 ) +(ш 1 lv1 )(v11AI v2)(v2 Iw2) ++(w11 v2)(v2 IAI v1)(v11 ш2) +(w11 v2)(v2 IAI v2)(v2 Iш2) =1 -i -i -3-i-i1 1 1= 41 4 + 4(-3i) 4 + 4(3i) 4+ 44 4 =2;(щ 1AI Ш1) =(щ 1V1 )(v1 1AI V1)(v11 Ш1 )+ (ш2 IV1)(v11 AI v2)(v2 IШ1) ++(w2lv2)(v2IAlv1)(v11ш 1 ) +(w2Iv2)(v2IAI v2)(v2Iw1) =i i -3. 1i= 41 141 + 41 (-31).
4i + 4 (31) 4 + 4 4 4 =2 ;(w2IAlw2) =(w2lv1)(v1 IAlv1 )(v1lw2)+(w2lv1)(v1 IAlv2)(v2 lw2)++(w2 Iv2)(v2 IAI v1)(v11 ш2) +(w2 Iv2)(v2 IAI v2)(v2 Iw2) =1 1 1 . -i i . 1 i -i -1= 414+ 4(-31) 4+ 4(31) 4+ 44 4=2·Этот расчет можно сократить, если переписать последнююстрочку уравнения (А.27) как произведение матриц:261ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯи следовательно,1(11л.А.v-бюис= J2= _!_(1-i)( 42 1i7iРешение для упражнения А.52а)Используя (А.29), запишем(A(Ъl+µ(ci)A = L,(ЛЬ; +µс;)' Aij (vj =1ij='AL,Ъ;'Aij (vj + µ I,c; Aii (vJ1ij1=ij= 'А(ЪIА+ µ(clA,что означает линейность отображения согласно определению А.15.Ь) Из упр.
А.45 мы знаем, что матрицу оператора внешнего произведенияlb)(clможно выразить как(u,lb)(clu)= Ъs·· Теперь, воспользовавшись (А.29), находим(al (1 b)(cl) = L а;Ъ;с; (uj1·ijЭто то же самое, чтос) Проведем доказательство в матричном виде. Для левой частиуравнения (А.30) находим: •((alA)lc)=( ~а;А;1~aiAiN)[ ~1:j=~A,kaick,CNа для правой-(al(Alc))=(a; ··· а~)т. е. то же самое выражение.262=.L,A;ka; ck'ikРЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ПРИЛОЖЕНИЯ Аd) Согласно результату пункта с), скалярное произведение(aiAи любого произвольного вектора 1с) равно (а 1~А1 с)), т.
е. не зависит от того, какой базис{ju.)}использовался в (А.29). Это означает, что сам (а А тоже не ~ависит от базиса.1лРешение для упражнения А.53. Матрица оператора А даетсяуравнением (А.21) в виде Aij = (V; 1А1 и j) . Обозначим 1Ь) = А 1и j) . То ~:_даиз определения сопряженного оператора следует, что (ЪI = (vjIA'.ПоэтомуAij = (V; 1А 1ui) = (и; 1Ь) = (Ь 1u;) · = (u.i 1А' 1и, )• = (А')~; ,где (А');; есть элемент матрицы оператора А', стоящий вj-й строке,i-м столбце.
Мы видим, что матрица А' получается из матрицы Апутем транспонирования и комплексного сопряжения.Решение для упражнения А.54. Двойная перестановка элементовматрицы в сочетании с двойным комплексным сопряжением каждогоиз ее элементов дает в результате ту же исходную матрицу.Решение для упражнения А.55. Транспонирование и сопряжениекаждой из матриц(1.7) даст ту же матрицу. Согласно упр. А.53, это свидетельствует о том, что соответствующие операторы Паули эрмитовы.Решение для упражнения А.56.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
