Решения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238819), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Для любого ненулевого собственного вектора lv) оператораА с собственным значением v имеет место равенствоПоскольку'2701РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ПРИЛОЖЕНИЯ А(vl AI v) = v(vJ v) = v. Если (vl A.Jv) положительно (неотрицательно), то таким же является иv.Решение для упражнения А. 73. Для любого произвольного вектора1'1'),согласно определениям линейного оператора и скалярногопроизведения,Если оба слагаемых в правой части положительны (неотрицательны),то положительна (неотрицательна) и левая часть.Решение для упражнения А.74а) ~([А.,вJ+{А.,в})=~(А.в-вА.+А.в+вА.)= А.В.Ь)[A,BJ= А.в-вА. = -свА.-А.в)=-[В,А.J.с) [А.,вГ = сАВ- вА.)t (~))в' A.t -А.' в'= [в' ,А.' J.d) [А.,в+сJ= А.св+с)-(В+с)А. = АВ+А.с-вА.-сА.
=[A,BJ+[A.,cJ;[А+ в,сJ = сА. + в)с-ссА. +в)= А.с+ вс-сА.-св = [A,CJ+[B,cJ.е) [А,вJс + в[А.,сJ = АВс-вА.с+ вА.с-всА. = А.вс-всА. = [А.,всJ;[А,С]В+ А[В,С] = АСВ-САВ +А.Ее-А.св= А.Вс-сАВ = [АЕ,С].л лл л(А.44а) лл лл л(А.44Ь) лллл ллл (А.44Ь)= С[АВ,D]+[АВ,С]D == сА.[в, ЬJ + с[А., ЬJв + А.[в, сJЬ +[А, сJвЬf) [АВ,СD]илил л[АВ,СD] =л ллл лл (А.44а)=A[B,CD]+[A,CD]B= А.с[в,ЬJ+ А.[в,сJЬ+ с[А.,ЬJв +[А.,сJЬВ.Решение для упражнения А.
75л л лла) [АВС,D](А44.Ь) л=л ллл лллA[BC,D]+[AВ,D]C==АЕ[с,ЬJ+2А.[в,ЬJс+[А.,ЬJвс.271ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯлллллллллллл(А.43)= [A ,A]+[B ,A]+i[A ,B]+i[B ,B]==О+ В[В,А]+ [В,А]В +iA[A,B]+ i[A,B]A +о==с-в+ iА)[А,в]+[А,вJс-в +iA).Ь) [А 2 +В 2 ,А+iВ]2222ллллРешение для упражнения А.
76. Поскольку АВ = ВА +с,имеетместо равенствоАЕ"ллллл=АВВВ ... В='-.r---'п разлллл1ллллллл=(ВА+с)ВВ".В=ВАВВ".В+св"- =n-1п-1 раэлллл(РА.39)'-.,..------''-.,..------'раз"1ллллл"1=ВВАВ".В+2св"- =".=ВВВ".ВА+псв"- ='-.r---''-.,.----'n-2 разп раз=в" Л + псв"- 1 •Поэтому[А,в"] = АЕ" -в" Л = псв"- 1 •(РА.40)Решение для упражнения А. 77а) Воспользовавшись (А.42), находим(i[A,B])t =-i[вt,Лt]=-i[B,A]= [поскольку А и В эрмитовы]=i[А,в],из чего следует, чтолл(i[A,B])tэрмитов.Ь) Аналогично{А,в}t =САЕУ +(BA)t =вt,4t +Лtвt =ВА+АЕ={А,в}.Решение для упражнения А. 78. Выведем коммутационные отношения, используя(1.7).(1 -1о )(о1 1) - (о1 1)(1 -1о) =(о-1 1) - (о1 -1) ==ооО о1 ) =2icrу= 2( -1272оооо(РА.41)РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ПРИЛОЖЕНИЯ АСледовательно, [ &х, &, ] = -2icr У-i)(1 0)-(1= ( о i)=(~12оiоо-1= 2icrо•о)(~1 -i)=(~о1-1i)-(o.
-i)=о-1о(РА.42)хНаконец,(РА.43)Кроме того, [&x,&J=[&Y,&YJ=[&,,&,]=0, потому что любой оператор коммутирует сам с собой.Решение для упражнения А. 79. Для любого ненулевого вектораla) существует вeктopJa 1 )=la)/llla)jj длины 1. Операто~: U отображаетэтот вектор на \а;)= И 1 а 1 ) той же длины, поскольку И унитарный. Атак как la') = йj la) ll la 1 ) = 11la)11 la;), имеем11la')11 2 =(a'la') =11la)11 2 (a;la;)=ll la) 11 2 •Решение для упражнения А.80. Если оператор сохраняет скалярное произведение, он сохраняет также и норму вектора, потому чтонорма есть корень квадратный из скалярного произведения векторас самим собой.Чтобы доказать обратное утверждение, рассмотрим два произвольных вектораla) и lb).
Тогда для lc) = la) + lb) получаем(cl с)= (ala) + (ЬI Ь) + (al Ь) + (аlЬ) ..(РА.44)Втожевремядля la')=Ula), IЬ')=UIЬ) и lc')=Ulc) имеем273ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯ(c'I с')= (a'I а')+ (Ъ'I Ь') + (a'I Ъ') + (a'I Ъ') ..(РА.45)Поскольку (a'la') = (aia), (Ь'IЬ') = (ЬIЬ), (c'lc') = (clc), мы видим изуравнений (РА.44) и (РА.45), что (а'IЪ')+(а'IЪ'). =(аlЪ)+(аlЪ)', т. е.Re(a'IЪ')= Re(alb).Проведя аналогичные рассуждения для !с) = !а) +ilb), получимIm(a'IЪ')= Im(alЪ).Решение для упражнения А.81а) Поскольку унитарный оператор сохраняет скалярные произведения, он отображает ортонормальный базис на ортонормальное множество. Согласно упр.
А.19, такое множество образуетбазис.Ь) Для любого кет-вектора la) = L,a; lщ) имеем la') =Ula) = L,a; lv;).Соответственно,(a'la') = L,laJ = (aia).Видим, что операторU сохраняет норму 1а) и, следовательно,унитарен.лРешение для упражнения А.82. Если оператор И унитарен, тонекоторый ортонормальный базисон отображает на другой{lw;)}ортонормальный базис {lv.)} (упр. А.81). Отсюда следует, что он можетллlбыть записан в виде И= L,lv;)(щl (упр. А.25). Тогда Ut = L,lщ)(v;Ii(упр. А.35). Соответственно,uut = Ilv;)(шi lwj )(vj = Ilv;)<\; (vj = Ilv;)(vj (~б) i.1ij1iijТо, что тJtтJ = i, доказывается аналогично.ллtлТеперь докажем, что любой оператор И, удовлетворяющий И И=сохраняет скалярное произведение двух произвольных векторовla) ил1,lb).Определив la')=Ula) и IЪ')=UIЬ),получаемРешение для упражнения А.83а) Так как каждый унитарный оператор U удовлетворяетИ И= ИИ = 1 , утверждение из упр.
А.63 выполняется, поэтомулtл274ллtлРЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ПРИЛОЖЕНИЯ АU можно привести к диагональному виду. Для любого собствен1u)имеет место равенство lu') = Oiu) = ulu), а отсюда вытекает, чтоного значения и и соответствующего ему собственного вектора(u'lu')=u'u(ulu).Поскольку унитарный оператор сохраняет норму, должновыполняться и· и = 1и1 2 =8 Е IR.Ь) Если оператор1 .
Этому удовлетворяет любое и = eie приU диагонализируем, его матрица в его собствен-ном базисе имеет видИ::::гдеи1ооu2оолt(РА.46)UNсобственные значения с абсолютным значениемu; -u; И; = 1 ). Тогда сопряженная матрица такова:такие, чтои:;;:~JИ1ооu2ооп1 (т.е.(РА.47)UNа произведение этих матриц равноu 1 u1лtлллtИ И=ИИ::::[ооОол01; ::::1.... 1оЭто показывает, что оператор(РА.48)U унитарен.Решение для упражнения А.84а) Для операторов Паули:ахах:;;:t1 '1 о1)(01 о1)=(1о o):;;:i.(о275ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯtCJCJ=zz(1 -1о )(1 -1о) =(1 1о) л .ооо=1Так что все три оператора Паули унитарны.Ь) Для оператора поворота:RRt =(соsф -sinф)(cosф -sinф)tФ Фsinфсоsфsinф=(соsф -sinф)( со.sфsinфсоsф-sшфсоsфsinф) =соsфcos 2 ф+sin 2 фcosфsinф-sinфcosф) =- sinфcosф-cosфsinф sin 2 ф+cos 2 ф(=(~ ~)==1,так что этот оператор тоже унитарен.
Это можно понять интуитивно: при повороте векторов их длина (норма) не меняется.Решение для упражнения А.85. Операторвекторf (А) ,действующий наla), даетл(А.49)f(A)la) = I,JCa)iai)(ai la).iПоскольку А эрмитов, его собственные векторы ортонормальны.Отсюда все (ai la) =О, за исключением ситуации, когда la) = la); в этомслучае скалярное произведение равно единице. Следовательно,f(A)la) =f(a)ia)(aia) =f(a)ia).Решение для упражнения А.86. Матрица операторной функции(А.49) в его собственном базисе диагональна с действительными значениями, т. е. является самосопряженной.Решение для упражнения А.87. Для неотрицательной функцииj{x)все собственные значенияf{а) функции оператора (А.49) неотрицательны; это означает, что оператор также неотрицателен, согласноупр.А.72.276РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ПРИЛОЖЕНИЯ АРешение для упражнения А.88.
Начнем с приведения А к диагональному виду. Характеристическое уравнение для этой матрицы:л лIA-vll=11-v 31 =0,31-vоткуда находим собственные значенияv 1,2={4, -2}.Нормированныйсобственный вектор, связанный с первым собственным значением,таков:а со вторым-Это означает, что наш оператор можно записать какА= 41 V 1 ) ( V 1 1-21 V2 ) ( v2 I.Теперь применим (А.49) и выразимJA как-1)=где все матрицы построены в том же базисе, что и матрица А .Чтобы определить lnA, нам нужно найти логарифм его собствен- v2 - отрицательно. Логарифм отриных значений, одно из которыхцательных чисел не определен в пространстве действительных.
В пространстве же комплексных чисел мы можем воспользоваться тем, чтоe(Zm+lJiл =-1 (где т-произвольное целое число) и, таким образом,277ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯe( 2 m+l)iл+ln 2=(-l)x2 =-2. Отсюда следует, что ln(-2) = (2m + l)iл + ln 2 1 •В итоге:lnA = ln 41 v1 )(v1 1+ ln(-2)1 v2 )(v2 I==_!_(ln 4 + ln2 + (2m + l)i1t ln 4- ln 2-(2m + l)iJt) =2 ln4-ln2-(2m+l)i7t ln4+ln2+(2m+l)in= _!_(ln 8 + (2m + l)in ln 2 -(2m + l)in).2 ln2-(2m+l)i7t ln8+(2m+l)i7tРешение для упражнения А.89.
Собственные значения А - этоа 1 = О и а 2 = 1 с соответствующими собственными векторамиla1)= ~( ~1 )и ia )= ~(~).Поэтому2Решение д.?Я упражнения А.90. Матрицы А иJ{A.) в собственном базисе А таковы:л r~l:А::::..о(где а;-собственные значения), и поэтомуОтсюда [A,j(A)] = Aj(A)- j(A)A =О.1Логарифм и квадратный корень-примеры многозначных функций, весьма распространенных в комплексном анализе.278РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ПРИЛОЖЕНИЯ АРешение для упражнения А.
91j(A) = I,JCa;)la")\a" 1== L,(!0 +J;a" +f 2 a,.2 +···)la" )\а" 1=j=J0 L,la")\a" 1+ J;L,a" la")\a" 1+ f 2 I,a"2 la")\a"1+·· ·=Решение для упражнения А.92. Любой эрмитов оператор можетбыть приведен к диагональному виду с действительными собственными значениями а" (см. упр. А.60):Экспонента этого оператораимеет те же собственные векторы, но ее собственные значениявсеПоскольку все а.1 действительны,,равные единице, поэтомуВ то же времяeia,-ею' .имеют абсолютные значения,eiA унитарен, согласно упр. А.83.e-iA = I,e-ia, la")\a" 1, так чтоР~шение для упражнения А. 93.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
