Решения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238819), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Возьмем скалярноепроизведение обеих частей уравнения (РА.16) с произвольным базисным элементомlv.))и найдем, пользуясь ортонормальностью базиса,Решение для упражнения А.22а) В множестве{lw 1), lw)}имеется два вектора. Поэтому достаточно показать, что оно ортонормально (тогда из упр. А.19 идвумерности нашего гильбертова пространства будет следовать,что это множество является базисом). Используя правила скалярного произведения (не забывайте применять комплексноесопряжение, где это необходимо!), находим(w1 lw1) = ~ ((v1 lw1)-i(v2 lw1 ))=v_ ( V1 1 1)-i ( v2 I v1 ) + i ( v1 1 V 2 ) - ii ( v2 I V 2 )_21+0+0+121.247ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯАналогичным образом( w1 I w2 )= (v1 1v1 ) - i (v2 I v1 ) - i (v1 1v2 ) - i( -i)( v2 I v2 ) = 0 '2а отсюда ( w2 I w1 ) = (w1 1w2 ) • =О .
Остается проверить ( w2 I w2 )(щ щ) = (v1I1v1 ) + i ( v 2 v1 ) - i ( v1 v2 ) + i ( -i) ( v 2 v2 )2I1I•=1 .Ь) Воспользовавшись определением А.7 матричного вида вектора,находимl'V) и-:ис( :} l<p) v-б;ис( ;~).Чтобы разложить векторыl'V) и l<p) по базису {lw), lw)}, находим их скалярные произведения с элементами базиса, пользуясьправилом А.5 перемножения матриц:поэтомуl'V) ш-:зис ~ ( ::~:} l<p) ш-:зис ~ ( ~5).с) Для скалярного произведения имеет место равенство(-2)и-базис('Vi<p) = (4 5) Зi =-8+15i;ш-базис 1('Vi<p) = -(4+5i 4-5i)2( 1)=-8+15i.-5Решение для упражнения А.23. С одной стороны, заметим, чтоla)- нормированный вектор, а значит, (а 1а)=1. С другой стороны,из чего следует, чтоI,laJ =1.i248РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ПРИЛОЖЕНИЯ АРешение для упражнения А.24. Во-первых, заметим, что ни одиниз векторовlv), определенных уравнением (А.9), не может быть равеннулю, потому что каждый из них представляет собой нетривиальнуюлинейную комбинацию линейно независимых векторов1w1), ••• , 1w).Во-вторых, нам необходимо убедиться, что векторы 1и) ортогональныдруг другу.
Для этого достаточно показать, что каждый векторгонален всем1vk+i> ортоlv) приj :s; k. Мы сделаем это следующим образом:)(vj 1vk+1) =(vj 1( N[I wk+i)=N[ (vj lwk+1 )-t(и;t(и; wkн)lv;)])1=lwk+1)(vj lv;)] ==N[(vjlwkн)-t(v;lщ+ 1 )8ji]==N[ (vj lwkн)-( vj шkн) J=о,1отсюда вытекает, что множествонормированно и содержит{lv)} ортогонально. Кроме того, оноN = dim V элементов.V.Согласно упр. А.19,такое множество образует базис вРешение для упражнения А.25. Для начала выберем произвольный ортонормальный базис {lw;)}~ 1 , такой чтоlwN) = 1'1'>· Затем определим следующие векторы:Несложно убедиться, что эти векторы нормированы и ортогональныlw), ... , lwN_ 1 ), поэтому множество {lv1), lw 2), ••• ,lwN_ 1 ), l'l'OJ)} образует ортонормальный базис.
Кроме того, имеютместо равенства (vJ'V) =1/ Гт и ( 'l'oJ 1'1') =~ т -1 / т .друг другу, а такжеПовторяем эту процедуру т-1щ ) .-./m-i+l'~1'"'(i)) = "т- l "')(i-l)- 1 раз. Для каждого i мы определяемlv )= ~lw;)+l'l')(i-1J ''-./m-i+l249ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯтак что (U; 1'1')=1 / Гт и ( 'l'CiJ '1') = ~т - i / т . После завершающегошага мы получаем ортонормальный базис {lv), ... , lv,), lwm+i), ... ,lшн_), lvmJ)}, где (u,i'Jf)=l/Гm для всех 1 :5 i :5 т, но (w;l'V)=O длявсех т + 1 :5 i :5 N-1, а также (\jlmJl'I') =О.
Согласно упр. А.21, это озна1тчает, что 1'1')=1/ГmL,iu;).i=lРешение для упражнения А.26. Чтобы доказать неравенствоКошиlb)Буняковского, сначала заметим, что для любых векторов-la),и комплексного скаляра Л выполняется соотношениеО ~ 111 а)- А 1Ь )11 2 •(РА.17)Раскрывая скобки, мы видим, чтоО ~ (а 1а) - А (а 1Ь) - А· (Ь 1а) + 1 А 12 ( Ь 1Ь) .Еслиlb)=О, неравенство Коши-Буняковского становится тривиальным. Если же нет, установим А= (Ьlа)/(ЬIЬ)= (аlЬ)' /(ЬIЬ), и тогда приведенное выше неравенство приобретает следующий вид:(Ьlа)' (Ьlа) 1(Ьlа)1 2 IЬIЬ)=<I I )- (аlЬ). (аlЬ)_I-,а а/=/I,а а)1_2) _(ЬIЬ)(ЬIЬ)о_ ,а а1(а Ь) 1211(а Ь) 121+(ЬIЬ)'_(ЬIЬ) + (ЬIЬ) -(а Ь)121(ЬIЬ) ,откуда находимl\alЬ)l 2 ~ (аlа)(ЬIЬ).(РА.18)Взятие квадратного корня из обеих частей неравенства дает требуемый результатl(a 1Ь)I~11la)llх111 Ь)ll ·(РА.19)Единственный случай, при котором неравенство Кошиского может стать равенством,250--Буняковэто когда неравенство (РА.1 7) такжеРЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ПРИЛОЖЕНИЯ Астановится равенством, что происходит только в случае, когда 1а)= ЛI Ь).И наоборот, если la) = ЛIЬ) при любом Л, то l\alЬ)l 2 = l"-l 2 l(ala)l 2 и(аlа)(ЬIЬ) = IЛl 2 l(ala)l 2, так что две части неравенства (РА.18) равнымежду собой.Решение для упражнения А.27.
Неравенство треугольника- этопрямое следствие неравенства Коши-Буняковского. Чтобы в этомубедиться, начнем с вычисления нормы вектораla) + lb):111а)+1Ь)ll2= (al а)+ (al Ь) + (ЬI а)+ (ЬIЬ) ==llla)ll 2 +lllЬ)ll 2 +(аlЬ)' +(аlЬ)==llla)ll 2 +lllЬ)ll 2 +2Re{(alb)}~~111a)ll 2 +111Ь)ll 2 +2l(a 1Ь)I ~(поскольку Re{z} ~ lzl)~ 111 а )11 2 + 111 Ь )11 2 + 2111а)11х111 Ь )11 = (согласно неравенству Коши - Буняковского)= (111а)11+111Ь)11) 2 •Взятие квадратного корня из обеих частей даст нам требуемыйрезультат.111а)+1 Ь)ll~lll a)ll + 111 Ь)ll.(РА.20)РешениедляупражненияА.28. Чтобы показать, чтоV' естьлинейное пространство, мы должны проверить весь набор аксиом линейногопространства из определенияА.1. Пустьторы вla), lb), lc)- произвольные векV' , а Л, µ - произвольные скаляры в JF.
Мы находим:1.Коммутативность2Ассоциативность(al + (bl = сопр Cla) + lb)) = сопр Clb) + la)) = (bl + (al.((al + (bl) + (cl = сопр ((la) + lb)) + lc)) = сопр Cla) + Clb) + lc))) ==(al + ((bl + (cl).3.Нулевой элемент. Поскольку(al + (zerol = сопр Cla) + lzero)) = сопр Cla)) = (al( zero 1 есть нулевой элемент в vt .4. Противоположный элемент. Определим -(alи убедимся, что этот элемент противоположен (а=сопр (-la))1:(al + (-(al) = сопр Cla) + C-la))) = сопр Clzero)) = (zerol.5.Векторная дистрибутивностьсJл((аl+(ЬI) = сопр (л· (la)+IЬ) ))= сопр (Л' lа)+ Л* IЬ)) ~ 2 Л(аl+ Л(ЬI251ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯ6.Скалярная дистрибутивность(Л+µ)(аl=сопр (СЛ+µ)*lа))=сопр (ел· +µ*)la))==сапр (Л* la)+µ" la)) = Л(al+µ(al7.Скалярная ассоциативностьЛ(µ(аl) =сапр (л· (µ" Iа)))= сапр (( л· µ· )1 а))= сапр ((лµ ).1 а))= (Лµ )(al8.
Скалярная единицаl·(al=coпp (1* ·lа))=сопр (l·la))=coпp (la))=(alРешение для упражнения А.29. Пусть {iv;)}доказать, что-это базис вV. Чтобы{(v;i} есть базис в Vt, нам нужно показать, что данноемножество является остовом этого пространства и линейно независимо.Остов. Пусть (xlEVt. Тогда, соответственно, lx)EV, и, поскольку{lv;)} lx)=базис,LA; lv;)iдля некоторого множества коэффициентов А; ЕJF .Взяв сопряжениедля обеих сторон уравнения, получаеми здесь мы видим, что(xlможно выразить через множествоИными словами, это множество является остовом{(v;i}.Vt .Линейная независимость. Предположим, что нулевой элемент( zero 1(zero 1 =можетLА; (V;быть1 .представленкаклинейнаякомбинацияЭто означает, чтосо пр (1 zero)) = со пр ( ~ л; 1v;)) ,а это, в свою очередь, подразумевает, что1zero) =L л; v;)1iи, соответственно, базис{iv;)} не является линейноПолучено противоречие.Решение для упражнения А.30сапр (lv1 )+ilv2 ))=(l -i).252независимым вV.РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ПРИЛОЖЕНИЯ АРешение для упражнения А.31а) А линеен, посколькуА (1 а)+ 1ь)) = о = о+ о = А 1а)+ А 1ь)илЬ) А линеен, посколькуA.(ia)+IЬ)) = la)+IЬ) = Ala)+ АIЬ)ис) А линеен, посколькуилd) А не линеен.
С одной стороны, мы знаем, чтол((х) (х')) л(х+х') (х+х'+у+у') ( х+х'+у+у' )А у + у' = А у+ у' = (х +х')(у +у') = ху +х'у +ху' +х'у' 'но, с другой стороны,л.(х)+ л.(х') = (х+ у)+(х' +у')= (х+ у+х' +у').уу'хух'у'ху + х'у'253ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯМы видим, что оператор А не подходит под определениеА.15 и,следовательно, не является линейным.е) А не линеен.
С одной стороны,с другой,л[ (~)+(~)] =л(~)+ л(~) =С)+С) =(~).А поскольку ( ~) + ( ~) = ( ~) , оператор А не подходит под определение А.15.f)Это линейный оператор. Проще всего показать линейность геометрически: найти сумму векторов ii и Б , каждый из которыхповернут на угол <р-это то же самое, что сначала сложить векторы, а затем повернуть их сумму. Аналогичным образом повернуть и отмасштабировать вектор-то же самое, что сначалаотмасштабировать, а затем повернуть его.Решение для упражнения А.32а) Считая, что А и В линейны, и вспомнив определение сложенияоператоров, проверим сразу оба условия линейности:лл{А.14)лл= Аµаlа)+АµьlЬ)+Вµаlа)+ВµьlЬ)== µaAla)+ µaBla)+ µьАIЬ) +µьВI Ь) ==µа (А.+ Б)iа)+ µь (Л+ в)lь)Отсюда сумма А+ В линейна.Аналогичным образом, полагая, что А линеен, и проверяя одновременно оба условия линейности л.А , получаем:л.А (µа а)+ µь Ь)) =л(µаАlа) +µьАI Ь)) =11=ЛµаАlа)+ ЛµьАIЬ) ==µа (М а))+ µь (М Ь)) ·11Отсюда следует, что М линеен.254РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ПРИЛОЖЕНИЯ АЬ) Мы определим нулевой оператор как оператор, от~бражающийкаждый вектор на lzero).
Для любого оператора А мы можемопределить противоположный ему оператор, -А , согласно(-A)ja) =-(Aja)).(РА.21)лРешение для упражнения А.33. Считая А и В линейными ивспомнив определение А.18 умножения операторов, а также проверяяоба условия линейности одновременно, мы видим, что(А.14)=лллА(µ 0 Вlа)+µьВIЬ))(А.14)ллл(А14)=л= µ ACBia))+ µьАСВIЬ)) == µa(AE)ja)+ µh(AB)jb)).0Следовательно, произведение АВ линейно.Решение для упражнения А.34.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
