Решения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238819), страница 30
Текст из файла (страница 30)
В качестве простого контрпримера мы используем эрмитовы операторы&аzу=(1оо )(оi-1cr,иcrY:-i)=(o -i)·о-iоРезультирующая матрица не является эрмитовой:Решение для упражнения А.57. Согласно упр. А.45, матрицы операторов внешнего произведенияlb)(clиlc)(blравны, соответственно,(и; IЪ)(cl vj) = Ъ;с; и (u; ic)(ьl vj) = ь;с;. Эти матрицы являются транспонированными и сопряженными по отношению друг к другу.263ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯРешение для упражнения А.58ллла) Пусть С= А+ В. Тогда длялматрицы Сtимеет место равенствогде (А t \ и (Bt )ii - матрицы операторов А t исоответственно.f:JtЬ) Подобным образом для матрицы с'= (М)'с) С одной стороны, матрица оператора АВ представляет собойпроизведение матриц [см.
упр. А.39, с)]:(AВ)ij=L A;kBkj .kДля сопряженной матрицы получаем[(АВУ1 =(АВ):;=L_A~kв;;.(РА.27)kлС другой стороны, произведение матриц А(В t А t )iitли Вtравно••= ""'L.(B ' ) ik ( А ' ) kj = ""'L.BkiAjk,kkа это совпадает с уравнением (РА.27).РешениедляупражненияА.59. Пусть Ai'V)=lx).
Тогда ('l'IAt =(xlи, таким образом,Этот результат можно получить также путем рассуждения, основанного на том, что объекты ('l'IA' l<p) и (<plAl'I') являются сопряженными друг с другом, потому что связаны сменой порядка на противоположный и заменой оператора на сопряженный с ним оператор.Поскольку эти два объекта сопряжены и при этом являются числами,они должны быть комплексно-сопряженными по отношению друг кдругу.264РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ПРИЛОЖЕНИЯ АРешение для упражнения А.60.
Найдем собственные значения исобственные векторы оператораV , такие что V и)= и11и) , или(v-vi)lv)=O.Данное уравнение при ненулевом(РА.28)1 и)может удовлетворяться тольков том случае, если детерминант матрицы в левой части обращаетсяв нуль:lv-vil=o.(РА.29)(РА.29) называется характеристическим уравнением матрицыV.Согласно основной теореме алгебры, это уравнение имеет по крайней мере один корень, поэтому и V имеет по крайней мере одно собственное значение v 1 и соответствующий ему собственный вектор 1v1 ):Для начала заметим, что посколькуVэрмитов, тосогласно (А.37), так что величинадействительна.Далее выберем векторыlv), ...
, lvN) такие, что вместе с ранее найденным собственным вектором lv 1) они образуют ортонормальныйбазис в нашем гильбертовом пространстве V. Так как этот ба~ис ортонормальный, мы находим для первого столбца матрицыVв этомбазисе(РА.ЗОа)лПервая строка этой матрицы имеет то же свойство, поскольку Аэрмитов:(РА.ЗОЬ)ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАРЕШЕНИЯлДелаем вывод, что матрица оператораV1Vв базисе{ 1v)}имеет видоооV:::лv1оYi -гдеэто матрица(N - 1)х(N - 1).Благодаря соотношениям(Р А.30) оператор, связанный с этой матрицей, отображает подпроV 1 с V, остовом которого является множество {lv 2 ), ••• , lvN)},на себя.
Рассуждения можно повторить для оператора ~ в V1 , чтобыстранствополучить базис{lv), ... , lv'N)}, в котором lv'2 ) представляет собой собственный вектор{lv 1),lv'2 ),V:::••• ,vl и, следовательно, собственный вектор v.в базисеlv'N)} этот оператор принимает видv1ооооv'2оооолv2ооПовторив данную процедуру ещенализируемVN - 2 раза,мы полностью диагои находим множество собственных векторов {lv)},которые образуют ортонормальный базис.Решение для упражнения А.61. Сравнивая (А.38) и (А.24), находимолV:::оV2оо["'(РА.31)Решение для упражнения А.62.
Используя определение, данное в(А.38), выпишем выражение для оператораиз элементов его собственного базиса266V , действующего на одинРЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ПРИЛОЖЕНИЯ АVlvj) =(Iv; 1v,)(v,1)1 vj)(лmL vi lvJ(v, 1и;)= L vi lvJou = vj lvj). (РА.32)111Решение для упражнения А.64. Оператор поворота вIR 2 представлен матрицей (упр.
А.41)R = (с~sф -sinф)фsшф(РА.33)соsфТранспонировав эту матрицу, мы обнаруживаем, что она не эрмитова.Чтобы найти ее собственные значения, запишем характеристическоеуравнение этой матрицы:IR.Ф-vil=lcosф-vsinф-sinфcosф-v1== cos 2 ф-2vсоsф+ v 2 + sin 2 ф ==v2(РА.34)-2vcosф+1 =О.Таким образом, наши собственные значения равны(РА.35)Собственные значения представляют собой комплекс!fые числа;поэтому, если не выполняется <р=О или <р=л, матрица RФ не имеетсобственных векторов в двумерном геометрическом пространствеIR 2 •Это неудивительно: при повороте вектора на угол, отличный от О илил, невозможно получить коллинеарный вектор. Однако, если мы рассмотрим эту матрицу в линейном пространстве С 2 над полем комплексных чисел, выяснится, что она имеет два собственных значенияv 1 2 и два соответствующих им собственных вектора.Найдем их.
Начнем с собственного значения v 1 = еiч> = cos <р + i sin <р.В этом случае уравнение (RФ -vi)I и)= О обретает видилиia sin <р +рsin <р = О.Решив это уравнение с учетом условия нормирования а2+р2= 1, определим собственный вектор267ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯ(РА.36)Подобным образом, для собственного значенияv2 =е-iч> получаем(РА.37)Этот результат можно проиллюстрировать в контексте вектораполяризации (Приложение В): состояние с круговой поляризацией(т.
е. такое, где траектория кончика вектора электрического поля представляет собой окружность) сохраняет круговую поляризацию приповороте системы отсчета.Решение для упражнения А.66. Пустьлтральное разложение оператораному базисуV:1'1') = L, 'I';1V.V= L,v;lv;)(v;I -спек-iРазложим векторi'I') по собствен-V;).
ТогдаiПоскольку 1'1') - собственный векторV , также имеет место равенствоНо вектор можно разложить по одному конкретному базису толькоi. Отсюда v; = v для всех i,1'1') ненулевыми являютсяодним способом, поэтому V'I'; = V;'I'; для всехпри которых'1';* О, так что в разложениитолько коэффициенты при тех элементах базиса, для которыхVlv;)=vlv;).Решение для упражнения А.67а) Предположим, существует два собственных базиса,{lv)} и {iw)}.Согласно упр. А.66, каждый из 1ш) должен быть пропорционален одному изlv).А поскольку оба базиса представляют собойнормированные ортогональные множества, они должны бытьидентичны друг другу с точностью до фазовых множителей.Ь) Точно так же каждый из элементов нашего множества долженбыть пропорционален одному из элементов собственного базиса.Поскольку это множество нормированно и линейно независимо,оно должно быть идентично собственному базису.268РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ПРИЛОЖЕНИЯ АРешение для упражнения А.68.
По определению любой векторявляется собственным вектором единичного оператора с собственнымзначением1. Это означает также,что любой базис является собственным базисом этого оператора: в качестве примера можно привестиканонический и диагональный базисы.u) и w) суть собV с собственными значениями и и ~Решение для упражнения А.69. Пусть векторыственные векторы оператора11соответственно.
Предположим, что спектральное разложениесодержит базисные элементыVlv), lv), ... ,связанные с собственнымзначением и, и базисные элементыlw 1), lwz>, ... ,связанныес собственным значением ш. Тогда, согласно упр. А.66, мы можем разложитьlv)= L,v;lv;);lw)= L,wjlwj).jПоскольку спектральное разложение дает ортонормальный базис, всеlv) и lw) взаимно ортогональны.
Поэтому1,JРешение для упражнения А. 70. Необходимо показать, что любаялинейная комбинация собственных векторов V с заданным собственным значением и также является собственным вектором V с тем жесобственным значением. Это следует из определения А.15 линейногооператора. Действительно, для любых двух собственных векторов 1 и)иlvz> оператора V с собственным значением и имеет место равенствоV(а 1 1u1)+ a2 Iu2 )) = а 1 V1 u1 ) + а 2 V1 u2 ) ==а 1 vl u1 ) + a 2 vl u2 ) == и (а1u1 ) + a2 I u2 )).1Решение для упражнения А.
71а) Пусть С=А-В. Условие ('lflAl'lf)=('lflBl'lf) эквивалентно(РА.38)269ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАРЕШЕНИЯдля всех l'lf). Предположим, что С :t- О - т. е. существует вектор!а) такой, что Сlа):t-0.Пусть IЪ)=Cla) и lс)=СIЪ).Изуравнения (РА.38) следует, что (аlлЬ) =О и (blc) =О.Из линейности оператора С следует, чтоС (1 а) + 1Ь)) = 1Ь) + 1с) .Взяв скалярное произведение обеих частей данного уравнения с1а)+ 1Ь) и воспользовавшись уравнением (РА.38), а также равен(alb) = (blc) =О, получим (alc) + (blb) =О.ствомПомимо этого имеет место равенствоС (1 а)+ i 1Ь)) = 1Ь) + i 1с) .+ ilb), находим(blb) равно (cla) и -(cla) одновременно.Это возможно, только если 1Ь) = О, что противоречит сделанномуДомножив обе части этого уравнения на !а)(alc)- (blb)=О, так чтонами предположению.Ь) Воспользовавшись (А.37), получим ('lf 1А1 'V) = ('lf 1А' 1'V) · для всехl'lf).
Поскольку известно, что ('lf IAl'lf) действительно, это означает, что ('VIAl'lf) = ('VIA' l'V), а следовательно, А= А', в соответствии с пунктом а).Решение для упражнения А. 72•Предположим, все собственные значения в спектральном разложении А= L,vilvi)(vil положительны (неотрицательны). Мыiможем разложить любой ненулевой векторбазису А: l'V) = L 'Vi lvJ Тогдаl'V) по собственномуi('lflAl'JI)=(~'V; (vil)[ ~V1'lf1lv1))= ~l\j/Jvi ·l'JI) ненулевой, ненулевым является также по крайнеймере один из \JI·· Значит, если все v положительны (неотрицалтельны), то положительно (неотрицательно) и ('lflAl'lf), поэтомуА - положительный (неотрицательный) оператор.• Предположим, А - положительный (неотрицательный) оператор.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
