Решения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238819), страница 33
Текст из файла (страница 33)
В пределе прир ~О, п ~со, Л= рп = const уравнение(k) = пр = Л.;=(Б.8) принимает вид( лk2) = пр - пр 2 ~ Л. .Решение для упражнения Б.16а) Для заданного дискретизированного распределения вероятностьтого, чтоQ попадает в диапазон между Q' и Q", -это сумма вероятностей для всех интервалов, расположенных между этими значениями:i{Q")pr[Q'.Q"J ""L prQ, .i{Q')В пределе при бQ ~ О эта аппроксимация становится равенством, потому что Qi!Q'J ~ Q' и Qi(Q"J ~ Q" .
Отсюда, согласноопределению (Б.10) непрерывной плотности вероятности, атакже определению интеграла, имеет место равенство288РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ПРИЛОЖЕНИЯ Бi(Q")Q"бQ-.О i(Q')Q'i(Q")limL pr0 = lim L pr(Q)8Q= Jpr(Q)dQ,бQ-.О i(Q')•гдеэто номер интервала, к которому относится значениеi( Q) -Q.Ь) Согласно пункту а), интеграл (Б.12) соответствует вероятностиобнаружить любое значениеQмежду -оо и +оо и, значит, равенединице.с) В дискретном случае(Q)= IQ;Pro,,iгде суммирование проводится по всем интервалам.
Переход отсуммирования к интегрированию в пределе приSQ~ О производится аналогично тому, как это сделано в пункте а).Решение для упражнения Б.1 7. Вероятность того, что ядро не распадется через время t от начала эксперимента, равна2- 111 • Тогда вероятность того, что событие распада происходит между моментами tиt+бt, должна быть пропорциональна производной этой функции,т. е. тоже 2- 1!1 с некоторым коэффициентом. Соответственно,х 2- 1/т, где Сpr(t) =С х- постоянная нормирования, которую можно найти припомощи (Б.12):ln21 = f~ pr(t)dt = cf~ е- 1 < dt = С-1ln2'°0ln2так что С= - - .'tДля матожидания имеет место равенство(Б.IЗ)J~(t) =оln2 J~tpr(t)dt='tа для среднего квадрата(t 2 )=о-tln2-J~ t pr(t)dt=-ln2-J ~ t e021'tte 'dt=-=1,44мc,ln 202-tln2('t )2'dt=2 ln 2=4,16 мс2 •И это означает, что неопределенность равна289ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯРешение для упражнения Б.18а) Это следует непосредственно из уравнений (Б.15) и (Б.17).Ь) (х)=-1-7 xe-(x-aJ'!Ь'dx=ьJЛ _==-1_7 (х-а)е-<х-а1'1ь' dx+-1_7 ае-<х-аJ'1ь' dx=ьJЛ _=ьJЛ ~1 - +=f te-t 'JЬ' dt+a-1 +=f е- ( х-а J'JЬ' dx,=-ьJЛ _=ьJЛ ~где мы заменили переменную интегрирования в соответствиис t = х-а.
Первый член в этом выражении обнуляется, потомучто представляет собой интеграл нечетной функции. Второйчлен равен а, согласно пункту а).1+<ю(Б 18) ьз Сь2с) (лх2)=ьJЛL(х-а)2е-<х-а1'1ь'dх ~ 2ь~=2·ГЛАВА РВРЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМПРИЛОЖЕНИЯ ВРешение для упражнения В.2. См. рис. РВ.1.- 1Рис. РВ.1. Решение для упр. В.2Решение для упражненияz + Лzв момент времениt- (k/w)Лzt8.3.Схема поляризации (В.2) в точкетакая же, как в точкеzв момент времени=t- Лz/с.
Поскольку вектор поля есть периодическая функция от времени, сдвиг во времени не изменит форму его траектории.Решение для упражнения В.4а) Согласно (В.1),(РВ.1)Ev (z, t) = Av cos (kz - юt + <f>v) .Поляризация линейна тогда и только тогда, когда Е н ( z, t) = О ,или Ev (z,t)=O, или Ен (z,t)= ЛЕv (z,t) с некоторым коэффици-291ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯентом Л. Первые два условия выполняются в том и только томслучае, если Ан= О или Av = О соответственно. Третье условиеподразумевает, что два косинуса пропорциональны друг другу,а это может произойти тогда и только тогда, когда сдвиг по фаземежду ними составляет mл.Ь) Для начала обратим внимание: в круговой картине максимальноеабсолютное значение для горизонтального и вертикального компонентов должно быть одинаковым, поэтому Ан = ±Av Далее, круговая картина означает, что Е~+ Е~ = const , а это подразумевает, чтоcos 2 ( kz - rot + <р н) + cos 2 ( kz - rot + <rv) = const.Поскольку cos 2 <р = (1 + cos2<p )/2 для любого <р, это условие эквивалентноcos[ 2(kz-rot + <rн )] + cos[ 2{kz-rot + <rv)] = const.Воспользовавшись еще одним тригонометрическим тождеством:cos <р+ cos е = 2cos[( <р + е)/2 Jcos[( <р-е)/2]' получимcos[ 2(kz-rot )+ <rн + <rv Jcos( <rн -<pv) = const.Поскольку первый множитель в левой части приведенного вышеусловия не может бьrrь константой, это условие выполняется тогдаи только тогда, когдаcos (<rн - <rv) = О, т.е.
<р н=<rv + -7t + mтт .2Решение для упражнения В.5. Мы попробуем доказать, что существует множество чисел {А, В, С,D}, не зависящих от z и t,таких, что(РВ.2)где ЕнСz, t) иEv(z, t) -соответственно горизонтальная и вертикальнаякомпоненты волны, задаваемой уравнением (В.1). Из аналитическойгеометрии известно, что (РВ.2) представляет собой одно из конических сечений: гиперболу, параболу или эллипс.
Поскольку и Ен, иEv -ограниченные функции, (РВ.2) может описывать только эллипс, крайними случаями которого являются круговая и линейная траектории.При помощи тригонометрических тождеств запишем (В.1) следующим образом:292РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ПРИЛОЖЕНИЯ В(РВ.З),где мы определили си sн.vАЕ~ +ВЕ~ +DEнEv=АА= cos(kz -wt), s= sin(kz -wt),сн,v= cos <t>v,н= sin <t>v,н- Теперь преобразуем левую часть уравнения (РВ.2):=[с 2 с 2 +s2 s2 - 2с scs] ++ВАv2 [с v2 с 2 +svs -2с vs v cs]+2ннн2нн(РВ.4)2+DAнAv [ СнСvС 2 +SнSvS 2 - ( CнSv +SнCv )cs] ==АА~ [~(с~ +s~ )(с 2 +s 2 )+~(c~ -s~ )(с 2 -s 2 )-2cнsнcs ]++ВА~ [~(с~ +s~ )(с 2 +s 2 )+~(c~ -s~ )(с 2 -s2)-2cvsvcs ]++DAнAv [~( СнСv +sнsv )(с 2 +s )+~(снСv -SнSv )( С 2 -s )-(cнsv +SнCv )cs] =22 -s )(с 2 -s )-2c=АА 2 [_!+_!(с22нн22н+ВА~ [~+~(с~ -s~ )(с 2 -s22sннcs]+)-2cvsvcs ]++DAнAv [~+~(снсv -SнSv )(с 2 -s 2 )-(cнsv +sнcv )csгде мы использовали с~ +s~ =с~ +s~J=с 2 +s 2 =1.Приведенныйрезультат упрощается до вида(РВ.5)если А, В ииDтаковы, что коэффициенты перед переменными с 2 -cs, зависящимиот(z, t),s2в уравнении (РВ.4) превращаются в нуль:JАА~ (с~ -s~ )+ВА~ (с~ -s~ )+DAнAv (снсv -sнsv )=Оl2АА~СнSн +2BA~CvSv + DAнAv (cнsv +SнCv) =О .293ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯЭто система двух уравнений с тремя неизвестными, поэтому она всегдаимеет нетривиальное решение.
Для данного решения выполняетсяуравнение(РВ.5),котороеидентично уравнению(РВ.2)при1 ( ААн2 +BAv2 +DAнAv ) .F=2Решение для упражнения В.6. Показатели преломления пе и п 0изменяют длину обыкновенной волны согласно Л0веннойсогласно Ле-= Л/п,е= 2лпJЛ и k= Л/п 0 , а необыкночто соответствует волновым числамk =е0 = 2лп 0 /Л. Проходя сквозь кристалл, эти волны приобретают фазы q>e = keL и q>0 = k 0 L, так что Лq> = 2л(пе - п)ЦЛ.Решение для упражнения В. 7.
Полуволновые и четвертьволновыепластинки с вертикальными оптическими осями сдвинут фазу вертикального компонента поля на л и л/2 соответственно. См. рис. РВ.2.Е,а)-4-22424Е,Е,Е,-2-4Ь)-4-2-2-4Рис. РВ.2. Решение для упр. В . 7Решение для упражнения В.9. Картины линейной поляризациис углами±45°соответствуют Ан =±Av ич>н = ч>v+mл, где т- целоечисло. Сравнивая это условие с условием из упр. В.4(Ь), находим, чтоволны с поляризацией±45°и круговой поляризацией получаютсядруг из друга путем добавления ±л/2 к ч>v-а это в точности то, чтоделает четвертьволновая пластинка.Решение для упражнения В.10. Линейная поляризация под углом 0подразумевает, что Анположительно, а ч>нчто ч>н = ч>v294-= А cos 0, A v = А sin 0,ч>vгде А действительно и= О.
Без потери общности мы можем считать,= О. Перед волновой пластинкой у нас такая картина:РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ПРИЛОЖЕНИЯ ВЕн(z,t) = Acosecos(kz- wt) ;(РВ.б)Ev (z,t) = Asin8cos(kz- wt),а после нее-Ен(z,t) =А cosecos(kz- wt);(РВ.7)Ev (z,t) = Asin 8cos(kz- wt + п/2) = -Asin esin(kz- wt).Из последнего результата следует, чтоE~(z,t) + E~(z,t)cos 2 еsin 2 е=А2'а это уравнение эллипса, оси которого ориентированы вертикально игоризонтально, причем отношение длин осей равноcos 8/sin 8(рис.РВ.З).Четвертьволновая пластинка,------------- -----------'''под: Ен90°------.-------------1Рис. РВ.3.
Четвертьволновая пластинка с оптической осью, ориентированной вертикально, преобразует линейно поляризованный свет в эллиптическиполяризованный, сохраняя при этом как вертикальную, так и горизонтальнуюамплитуды (упр. В.10).Решение для упражнения В.11. Как мы знаем из упр. В.5, в общемслучае картина поляризации является эллиптической. Предположим,что амплитуды желаемой поляризационной картины вдоль большойи малой полуосей равны А 1 и А 2 , а большая ось ориенти ована подуглом р к горизонтали.
Обозначим 8 = tg- 1 (А/А 1 ) и А=л;+ Ai . Дляначала возьмем горизонтально поляризованный свет амплитуды А иприменим к нему четвертьволновую пластинку под углом8 к горизонтали. В системе отсчета волновой пластинки это действие эквивалентно применению четвертьволновой пластинки с вертикальнойоптической осью к линейной поляризации с углом-8. Следуя логикепредыдущего упражнения, мы получаем эллиптическую картину с295ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯосями, расположенными вдоль и поперек оптической оси пластинкии с соотношением длин осейcos0/sin0=A1 /~.Ав лабораторнойсистеме отсчета этот эллипс расположен под углом е к горизонту.Остается повернуть данный эллипс, это достигается при помощи полуволновой пластинки под углом (р+ 8)/2 (рис.РВ.4).Е~/Рис.
РВ.4. Получение произвольной поляризационной схемы из горизонтальной при помощи двух волновых пластинок (упр. В.11).HWP/QWP:полуи четвертьволновые пластинкиРешение для упражнения В.12. В системе отсчета, ориентированной под углом45° по отношению к лабораторной системе отсчета,оптическая ось четвертьволновой пластинки вертикальна. Линейнополяризованный свет, проходящий через эту волновую пластинку,порождает картину, описываемую уравнениемЁ( z,t) =А Re[{cos8 i + i sin0 J)eikz-iшr}где8 -А=гол между поляризацией и осью волновой пластинки, аА~+ А~ (см. упр.
В.10). Чтобы перейти к лабораторной системеотсчета, мы поворачиваем вектор поля в плоскости х-у на45°припомощи матрицы, найденной в упр. А.41,лR4s· =1 (1J2.1-11)и находимЁ'(z,t) = ~ Re[( cos0-i sin0) i + (cos0 + i sin0)J]eikz-iш1.Это соответствует одинаковой интенсивности А 2 ( cos 2 е + sin2 е) /2 =А 2 /2для горизонтальной и вертикальной поляризации.296РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ПРИЛОЖЕНИЯ ВТакой результат несложно представить себе зрительно, заметив,что преобразование линейной схемы в системе отсчета четвертьволновой пластинки (рис. РВ.З) дает эллиптическую картину, симметричную относительно осей±45° (они соответствуют горизонтальнойи вертикальной осям в лабораторной системе отсчета) и, следовательно, содержащую равное количество энергии в проекциях на этиоси.ГЛАВА РГРЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМПРИЛОЖЕНИЯ ГРешение для упражнения Г.1. Воспользовавшись методом интегрирования по частям, находимIGь(x)j(x)= Гь(х)f(х)[ -I Гь(х)f'(х)dх,(РГ.1)гдехГь(х)=JGь(x')dx'.хРис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
