Решения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238819), страница 20
Текст из файла (страница 20)
При л< 8' <2л мыможем записать( cos(n-0'/2)),( cos(0'/2)). ( '/ ) = . ('/ ) , что соответствует блоховскому вектору с 8 = 2л - 8 , ф = л.sш 0 2-sш 7t-0 2В обоих случаях8Е[О, л].Этот более строгий подход дает нам то же самое геометрическое место на сфереБлоха, что и приведенный выше упрощенный.175ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯРис. Р4.1.
Решение упр.4.52.Геометрические места на сфере Блоха, соответствующие состояниям, полученным из горизонтальной поляризации припомощи полуволновой(HWP)и четвертьволновой(QWP)пластинок, ориентированных под разными угламиЬ) Согласно (1.5Ь), оператор четвертьволновой пластинки преобразует состояние Н) == ( ~) в1Н -( i cos 2 а+ sin 2 ал~WP1)-)-(1-i)sinacosa ·Применив уравнения (Р4.35) к этому результату, получаем выражения для0 и ф. Соответствующее геометрическое место на сфереБлоха показано на рис. Р4.1. Для значений а= ±л/4 оно пересекает ось у, что соответствует двум круговым поляризациям.4.53. Как мы выяснили при решенииупр.
4.28, собственные состояния проекции спина s0ф на вектор ~Решение для упражнениязадаются выражениямиcos~ji)+ sin~eiФ IJ..);(Р4.Зба)J,0ф) = sin ~1i)-cos~e;Ф1 J,).(Р4.ЗбЬ)li 0ф) =1Проецируя Али си ну часть состоянияных состояний, находим для Боба:176l'1'-) на каждое из этих собственРЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ4(i еф,миса 1Ч1-) = ~ ( cos~I J, )-sin ~е-iФ 1i));(Р4.37а)( J,еф,миса(Р4.37Ь)1Ч1-) = ~ ( sin ~1J,)+cos~e-iФ1 i)).Домножив состояния (Р4.37а,Ь) на фазовые множители -еiФ и еiФ соответственно, мы обнаруживаем, что эти состояния физически эквивалентны ~ J,0ф) и ~ i еф) соответственно.
Иными словами, проеци11рование Алисой своей части состояния Беллаl'P-) на любое состояниедаст в локации Боба состояние с противоположным блоховским вектором. Это следсfвие изотропной природыМножительстью 1/2.l'P-)(упр.2.9).Гn указывает, что оба события происходят с вероятно-"2Обратите внимание также, что некоторые частные случаи этойзадачи были проанализированы в упр.Решение для упражнения4.54.2.27 и 2.38.Пустьw-угловая частота орбитального движения частицы.
Тогда она совершает полный оборот запериод Т = 2л/ w. Проход заряда е через каждую точку данной орбитыза время Т означает, что ток, связанный с этим движением, равен1 = е/Т = еw/2л.Площадь орбиты составляет А= лr2, гдеПодставив эти величины в(4.64),r -радиус.находим для магнитного момента:eror 2µ=IA=--.2Примем также во внимание, что механический момент импульсачастицы на орбите L= Mror 2 •Магнитный момент, таким образом,можно выразить какеµ=L-·2МИ момент импульса, и магнитный момент представляют собой векторы, направленные ортогонально к плоскости орбиты. Поэтому полученное выражение верно и в векторном виде.Решение для упражненияа) Уравнениеимпульса-( 4.67)4.55верно для всех трех компонентов моментав частности, для компонентаz:177ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯµz=yLz.Состояние с определенным магнитным квантовым числомт - это собственное состояние= nm.
ТакимL2izс собственным значениемz магнитобразом, можно записать компонентного момента в этом состоянии какµz=ynm.Ь) Выберем направление оси z вдоль Ё. Тогда, согласно (4.66),имеет место равенствоЕ= -µzB = -yhmB .Решение для упражненияствует точке4.57.Состояние электрона соответ(8, ф) на сфере Блоха и раскладывается по каноническому(4.62). Поскольку эксперимент Штерна - Герлахабазису согласнопредставляет собой измерение компонента спина вдоль магнитногополя - т. е.
наблюдаемогоprt•22Sz -получаем8=1'1' t 1 = sш 2 ;(Р4.38)=cos 2 28 .(Р4.39)2pr1 =l \\f 1 1Решение для упражнения4.58.Уравнение(4.75)выводится впредположении, что магнитное поле указывает вдоль осиz.Проекция спинового вектора на эту ось (т. е. направление поля) играет рольнаблюдаемого, определяющего базис измерения. Градиент же определяет лишь направление силы, действующей на частицу.4.59. Подпространство, связанное с s =измеряемый в этом эксперименте,1, трехмерно, так что операторРешение для упражненияsy,имеет три собственных значения. Следовательно, измерение можетдать три возможных результата.
Чтобы найти долю каждого из них,мы воспользуемся постулатом об измерениях [уравнениерезультатом упр.Prmy~I4.27. Для=1/ т =1I т =0)1\ух2измерения состояния1=-2'·PГm"~o=l\mY=Olmx=O)l 2 =0;1781'1') = lmх(1.3)]и=О) имеемРЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ4=l(m =-llm =0)! =2 .Pr2хуту=-\__!_Поэтому, хотя в общем случае в эксперименте Штернацами со спином1 мы-Герлаха с частиожидаем увидеть три точки на экране-мишени, вданном случае в средней точке событий не будет; вероятности делятсяпоровну между двумя крайними точками, соответствующими т у =Решение для упражнения4.60.Измеl?ение Штернаэто измерение спинового компонента Sk приполярными углами(8 0 ,R,-±1.Герлаха-определяемомО).
Вероятности возможных результатов зада-ются постулатом об измерениях квантовой механики: pri = 1\ '1' 1vi )1 2 , где'1') -11начальное состояние, каноническое представление которого есть'1') == ( ~) ,а1собственные состояния Sk , заданные уравнениемv) -(Р4.37). Таким образом, вероятности результатов равныPf;"'=l(i i'l')l =sin2002(8 0 /2);pr, 00 = I\ -l- 00 '1' )1 2 = cos 2 ( 80 /2).1Решение для упражнения4.61.Эволюция в представлении Гейзенберга k-го компонента момента импульса под действием гамильтониана(4.76)1выглядит так:лл=-y[-LB) ) ,Lk]=1ijллy11p.4.l l(c)--yBi[L1,Lk]1i .лi= -hyB1(i1iE 1k1L1 ) ===yB1EJklL1 =л= EkuL1yB1.179ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯПоследняя строка равна k-му компоненту вектора yL х Ё , что идентично классическому результатуРешение для упражнения(4.68).4.62а) Гамильтониан, связанный с магнитным полем вдоль осиz, задается выражениемЭволюцией спина электрона управляет уравнение Шрёдингераiлl'i1Ct))=--Hl'I'),прешением которого являетсяЭта матричная экспонента была уже нами вычислена в упр.
А. 94:Применив данную эволюцию к собственному состоянию(4.62)спина SR , ориентированного вдоль вектора R , определяемогополярными углами (0 0 , ф 0 ), получаемСравнив этот результат с(4.62),мы видим, что состояние послеэволюции физически эквивалентно собственному состоянию180РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫспина(0 0 , ф 0гдеSii.,,4определяется сферическими угламиR'llLt). Иными словами, спин прецессирует с частотой QL-вокруг осиz.Траектория на сфере Блоха соответствует параллели с поляр-ным углом 100(рис. Р4.2, а).Процедура ШтернаhS,в состоянии- Герлаха представляет собой измерениеl'l'(t)). Мы находим, что вероятность обнаружитьi) есть pr; = l(i 'l'Ct) )11l2= cos 2 0; , а 1J,) - pri = 1( J, 1 'l'Ct) )! 2 = sin 2~•Эти вероятности не зависят от времени.Ь) Поскольку магнитное поле ориентировано в направлении у, мыможем записатьллН=-µпулB=--Q2 L cr у•Начальному состоянию соответствует векторРешение уравнения Шрёдингера в данном случаеi"ii'l'Ct)) = е -"ш i'1'(0)) = e 211"1L "Yi'1'(0)).Сославшись вновь на упр.
А.94:_in,.rcryez=(cos(QLt /2)sin(QLt /2))-sin(QLt /2) cos(QLt /2) 'найдем эволюцию спина:l'l'Ct))~(co.s(QLt/2)-sш(QLt /2)sin(QLt/2))(1)=( co.s(QLt/2) )·О-sш(QLt /2)cos(QLt /2)Сферические координаты на сфере Блоха таковы:(0 = D,Lt, ф = 0).Соответственно траектория на блоховской сфере - это меридиан, пересекающий ось х (рис. Р4.2, Ь). Измерение Штерна Герлаха даст вероятности pr; = cos 2 (QLt / 2) и pri = sin 2 (QLt / 2).1Это соответствует географической широте л/2-е.181ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯс) Мы действуем по той же схеме, что и в пункте (Ь), но гамильтониан здесь равен:(Р4.40)a=(crx,cry,crz) -где«Вектор», СОСТавлеННЫЙ ИЗ операторовПаули.
Эволюция под действием этого гамильтониана задаетсявыражениемгде й= (sin 80 , О, cos 80 )-вектор единичной длины в направлении магнитного поля.Теперь мы можем воспользоваться результатом упр. А. 93.Находим:i.--Htе пл-=cos(QLt/2)1+isin(QLt/2)й·&::=::=cos(QLt/2)(~ ~)+isin(QLt/2)[sin8 0 (~ ~)+cos8 0 (~ ~i)]== (cos(QLt /2)+ i sin(QLt /2)cos8 0i sin(QLt /2)sin8 0i sin(QLt /2)sin 80)·cos(QLt /2)- i sin(QLt /2)cos8 0Применив этот оператор эволюции к начальному состоянию11\j/(0)) :::=t\jf ( )(~),получаем)=e-iйtl0 )::=(cos(QLt/2)+isin(QLt/2)cos8 0 ) ·.
L\. . сп t/2) Sllloo!Slll ::.г.L\j/( )(Р4.41)Соответствующий вектор на сфере Блоха имеет сферическиеуглы182РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ 4Когда это состояние подвергается измерению Штерна-Герлаха, вероятности обнаружить состояния «спин-вверх» и «спинвниз» равны соответственноpr;=l(il'l'(0)1 2 = cos 2 (QLt/2)+sin 2 (QLt/2)cos 2 00 ;(Р4.42а)pri=l(-tj'!'CO)i 2 =sin 2 (nLt/2)sin 2 е 0 •(Р4.42Ь)Соответствующая траектория показана на рис.
Р4.2 с. Она представляет собой окружность вокруг вектора магнитного поля, которая включает в себя северный полюс (первоначальное состояние).Рис. Р4.2. Траектории на сфере Блоха, задаваемые тремя частями уравнения4.62. Траектория длячасти (с) вычислена при00 =л/З.4.63. Согласно табл.
2.3, операция,которую Бобу следует произвести - &У, &х, &, или i, - зависит отРешение для упражнениятого, что выдаст измерение Белла у Алисы: jФ+), IФ-), jЧJ+) или 1ч~-) .Чтобы реализовать эти операции, используя прецессию спина в магнитном поле, мы можем применить результат упр. А. 94, который при. n,8 = л/2 принимает вид е' 2" 1 = i& j, где j может быть равно х, у или z ..n ,Оператор е' 2" 1 соответствует эволюции под действием гамильтонианалН1tл= - 2't ficrjв течение времени т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
