Решения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238819), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Разложив (3.159) в ряд Тейлора,находим:(Р3.104)Решение для упражнения3.104а) Это следует из утверждения упр. А.85.Ь) Используя предыдущий результат и фоковское разложение когерентного состояния128(3.122), запишемРЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ3Решение для упражнениярую применяли в упр..F( <р) = е-нрп=еi'-ffih3.105. Мы следуем той же логике, кото3.100. Фиктивный гамильтониан, такой чтол,в данном случае равен Н= nrofi , где ro = <р / t.Опе-ратор уничтожения эволюционирует под действием этого гамильтониана следующим образомdidtпл(3.101)-u=-[H,uJ=iro[fi,aJ = -irou,и отсюдаu(t) = u(O)e-iwt= u(O)e-i<p.Следовательно,Теперь, воспользовавшись результатами упр.3.60, чтобы выразитьнаблюдаемые координаты и импульса через операторы рождения иуничтожения и наоборот, находимй(t)+й'(t)x(t)J2u(O)e-'"' + й' (О)е'"'J2[Х(О)+ i.P(O)Je-i"' + [X(O)-i.P(O)Jei"'=2X(O)cosq>+ P(O)sinq>и129ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯл=P(t)act)-й'Ct)h.iu(O)e-iч> -й' (О)еiч>h.i[Х(О) + LP(O)]e-iч> -[Х(О)- LP(O)]eiч>2i= P(O)cos<p- X(O)sin<p.Решение для упражнения3.107.3.100.
Запишем:решения для упр.Здесь мы вновь следуем логикегде фиктивный гамильтониан дается уравнением (З.170). Его можнопреобразовать:iлн =-liy[u 2 -са2ti) ]=-liy[(X+iP)4лл2л2л1лллл-(Х -iP) 2 ]=--liy[XP+PX].2Операторы координаты и импульса эволюционируют под действиемэтого гамильтониана следующим образом:ddtлdлiliлiл-Х =-[Н'л.1 л л ллX]=-1-vX[P X]=-vX ·2 ,.л.1л'л,. 'лл-Р=-[Н Р]=-1-уР[Х Р]=уР.dtli'2'ОтсюдаX(t) = X(O)e-yt= X(O)e-r;P(t) = Р(О)е yt = PcO)er.Для операторов уничтожения и рождения находимй(t)= X(t)+iP(t) =hX(O)e-r + LP(O)erh< 3 .~oJ [u(O) +(3.!00J-u' (O)]e-r + [u(O)- u' (O)]er =2= u(O)ch r-й' (O)sh r130РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ3иo'(t)=[Q(O)chr-o'(O)shrT == o'(O)chr-o(O)shr.Решение для упражнения3.108.
Для среднеквадратичного отклонения координаты в состоянии S(r)l'JI) можно записать:('Jlls' (r )лх 2 s(r )l 'JI) = ('JI s' (r )х 2 s(r )l 'JI)-( ('JI s' (r )xs(r )l 'JI) )211==('J1l(xe-r) 2 l'J1)-(('J1IXe-rl'J1)) 2 =l= e-2r ('Jf IX2 l'Jf )-( ('Jf IXl'Jf) )2] ==е-2·· ('JllЛX2 l'J1).Рассуждения для неопределенности импульса проводятся аналогично.3.109_а) Необходимо убедиться в том, что J l'Jlsq(X)l 2 dX=1. ЧтобыРешение для упражнениявычислить этот интеграл, заменим переменную интегрированиянаX'=Xer.Тогда+<>оf 'JI sч (Х)l=-fl 'JfdX=dX'e-rи+оо21dX =f е"l'JI 0 (Х er) 12 dX =0(X') 12 dX' ==1,где мы воспользовались известной нормировкой волновой функции вакуумного состояния.Ь) Из уравнения(3.171) находим j(X,t) = xe-r = xe-yr, так чтоf'(X,t) = e-r и f- 1 (X,t) = Xer.
Следовательно, (3.154) принимаетвидЭто согласуется с уравнением (3.175а).Решение для упражнения3.110.Гамильтониан(3.170)можнозаписать в координатном базисе:131ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯ1л[лллл][ллi](З.94)Н =-2.tzy ХР+РХ =-1iy ХР-2.=[d+2.1] .i1iy Х dX(РЗ.105)Уравнение Шрёдингерав координатном базисе принимает видd[ dXd 21]-\jl(X,t)= у Х-+- \jl(X,t).dtПодставляя в качестве\j/(X, t)(РЗ.106)правую часть уравнения (3.175а) и проводя дифференцирование, видим, что эта функция действительноявляется решением уравнения (РЗ.106). Доказательство для волновойфункции в импульсном базисе аналогично.Решение для упражненияа)3.111Оператор эволюции под действием гамильтониана (З.177) естьЗаписав операторы рождения и уничтожения через координатуи импульс, преобразуем гамильтониан следующим образом:iлл""=-1iу[-2iХлРв -2iРлХ8 ]=2=1iу[ХлРв +РлХв].Ь) Применив уравнение Гейзенберга к наблюдаемым координатыи импульса и вспомнив, что операторы, связанные с разнымиосцилляторами, коммутируют между собой, находим(РЗ.107)(РЗ.108)(РЗ.109)132РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ3(РЗ.110)из чего следует, что(РЗ.111)ЛАЛЛ~ Р = d РА ± Р8 = _ Р8 ± РА = + Рdt ± dt .J2у .J2у ±(РЗ.112)•Эти результаты приводят кчто эквивалентно уравнениям (З.178) и (З.179), посколькуr = yt.Чтобы найти эволюцию операторов уничтожения, определимследующие два оператора:Эволюцию этих операторов можно найти способом, аналогичным тому, что мы использовали для одномодового случая:x±Ct)+i.P±Ct).J2Х± (O)e±r + i.P± (Ok'r=---~~---.fi[u± (О)+ а: (O)]e±r + [u± (O)- u: (O)]e+r2=u±(O)[e±r +e':r]+u:(O)[e±r -e+r]2== u±(O)ch r ±а: (O)sh r,из чего следует, что133ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯйJt)+й_(t)J2йJO)ch r +а: (O)shr+ й_ (О)сh r-a: (O)sh r~~~~~~~~=-~~~~~~~=J2=йJО)+а_со) ьJ2сr+а:со)-а:со) ьs r=J2=йл (O)ch r + й~(O)sh r.Расчет для йв(t) производится так же.с) Как и в упр.3.108,мы воспользуемся фактом, доказанным привведении представления Гейзенберга: математическое ожидание любого наблюдаемого А= А(О) в состоянии S2 (r)!O,O) равноматожиданию «сжатого» наблюдаемого S2 (r)AS2 (r) =A(t) влtвакуумном состоянии1О,лллО).
Однако, прежде чем продолжитьдоказательство соотношений(3.183) и (3.184), удобно определить моменты «несжатых» наблюдаемых Х± (0) по отношениюк вакуумному состоянию. Находим:(лл)Х+ (О)Х (О) =(х~со))-(хлсо)хвсо))+(хвсо)хлсо))-(х~со))-12=1--О+О--22(лл2 =О·'\XJO)X_(O);=(х~со))+(хлсо)хвсо))-(хвсо)хлсо))-(х~со))2=11-+0-0-22 =0.2Для сжатых наблюдаемых Х± (t) из (3.178) и (3.179) следует, что134РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ3(x±co)=(x±co))e±yt =О;(х;со) =(х;со) )e± yt =~e±2 yt'2где усреднениепо-прежнему производитсяпоотношениюквакуумному состоянию, потому что мы работаем в представлении Гейзенберга.
Отсюда для координаты Алисы имеет месторавенствои(л2)х (t)А=(x;ct))+(k+Ct)X_(t))+(k_Ct)x+co)+(x~co)=2- (x;co)e yt) +(х+ (O)eyt X_ (O)e-yt) +(X_ (O)e-yt х+ (O)eyt) +(х~ (O)e- yt) 22--2ch2yt22Для координаты Боба и для импульса вычисления аналогичны.Решение для упражнениятониан(3.177)лH::::-iny[Х3.112.В координатном базисе гамильстановитсяd-d- ]--+ХBdXл dХВА'так что уравнение Шрёдингера(1.31)принимает вид:(Р3.113)где Ч1sч 2 (Хл,Х 8 ) задается уравнением (3.186а) приr = yt.Верностьуравнения (Р3.113) легко подтверждается непосредственными вычислениями.Доказательство для волновой функции в импульсном базисе аналогично.135ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯРешение для упражнения3.113а) Когда Алиса наблюдает у себя конкретное значение координатыХА, состояние IЧ1) схлопывается в (ХА1Ч1) в гильбертовом пространстве Боба.
Волновая функция этого состояниячто равняется волновой функции первоначального двумодовогосжатого вакуумного состояния. Эту волновую функцию следует,однако, интерпретировать иначе: теперь ХА-конкретное значение, которое уже наблюдала Алиса, тогда как Х8-это аргументеще не измеренной волновой функции Боба. Обратите внимание,что данная волновая функция является ненормированной в гильбертовом пространстве Боба, поскольку включает в себя вероятность того, что Алиса обнаружит у себя конкретное значение ХА.Чтобы найти неопределенность координаты, перепишем этуволновую функцию какгде2e 2rch2r2 'e-Zr2и=-+--=--·44v=----=-e 2re-zrsh2r442Преобразуя это выражение далее, получаем:'Jf(X 8 )=Nexp[-u=2X А2+~Х 2 -~Х 2 +2v X Хи2Аи2А2Ав-u x ]=22вNехр[-и'х; + ~: х; ]ехр[-и'( Х, - ~: Хл ПВ то время как первая из представленных выше экспонент является постоянным множителем (так как ХА постоянно), втораяэто гауссова функция от Х8 ширинойфункцией в упр.3.25,-1/u.
Сравнив ее с гауссовойнаходим:1 .(лх~) = 1 / ( 4u = 2ch2r2)Ь) Решение аналогично проведенному для пункта а) и дает тот жеответ.136РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫРешение для упражненияа) Пусть ~ =1s2(ХА-Хв)''Psq2(Xл,Xв)=Nes=3.114~ . Тогда волновая функция примет видvdDгде3_(ХА +Хв)'е44s2)% .Это эквивалентно волновой функции двумодовогосжатого сост?яни!1 (З.l~ба) приЬ) Поскольку [хл 8 ,рл,s = er., =11i, нам нужно8 ]лРл1,8л=-Рлп~,8 ,чтобы полу-чить [Х л,в, Рл,в] = i .
Обратите внимание, это преобразованиеэквивалентно уравнению (З.88) при ~ = ~ .Решение для упражненияа) Раскладывая оператор3.115(3.169) в степенной ряд допервого членаи применяя его к вакуумному состоянию, находим:(РЗ.114)Квадрат нормы данного состояния равен('1' 1'1') = 1 + r/2,аппроксимируется единицей в первом порядке почтоr.Математические ожидания координаты и импульса в этом состоянии равны=0;(Р) =((ol-__C_(21)u-u' (10)-__C_l2))=J2J2.iJ21 ((ol-__e_(21)(-rl1)-11)+__C_lз)) ==J2.iJ2J6=0.Дисперсии же этих наблюдаемых равны соответственно137ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯ(х2) =( (ol-h(21) (l2 +аа1 +;'а +Сй')2(10)-h12)) ==~((ol- h(21)(-r10)+IO)- ~12)- ~l2)+hl2)-#rl4))~~12 (1-2r);(P2)=((ol- h(21)-a2 +аа' ~а'а-са')2 (10)- hl2))==~((ol- h(21)(r10)+IO)- ~12)- ~l2)-hl2)+#rl4))~12~-(1+2r),где мы удалили все члены выше первого порядка поr.Эти результаты согласуются с теми, которые можно ожидать извычислений в представлении Гейзенберга (упр.3.108).
И в самомделе, согласно тому расчету, мы ожидаем в первом порядке поr:(х 2 )=~е- 2 '· ~~(1-2r);(Р 2 ) =~e 2 r ~ ~(1 +2r),где мы воспользовались тем фактом, что неопределенности1/2.к(3.176)Применив двухосцилляторный сжимающий операторкоординаты и импульса в вакуумном состоянии равныЬ)двойному вакуумному состоянию, находим(Р3.115)Квадрат нормы этого состояния(\j/1'1'> = 1 + r 2 ,что опять же вr аппроксимируется единицей. Математические ожидания наблюдаемого х± в этом состоянии равныпервом порядке по(x±)=((o,ol+r(l,ll)aл +а:~ав±а~ (lo,o)+rl1,1))==~((O,OI +r(l,ll)(rl0,1)+11,0) +rvf212,1) ±rl 1,0)±10,1)± rhll,2)) ==0.138РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ3Аналогичное выражение для ( х;) будет содержать 64 члена.Для его упрощения заметим сразу, что ненулевой вклад мы'можем получить только от тех членов по х; которые оставляютчисла фотонов в двух модах равными. Вот эти члены: ала:,(х;) = ((0,01 + r(l,ll) ала: +а: ал+ аВа~ +:~а В± 2аЛаВ ±2а:а~ (10,0) +rll,1)) ==_!_( (0,01+r(l,lj)CI0,0) +2rj 1,1) + rj 1,1) +10,0) +4+2rj 1,1) + rj 1,1) ±2rj 0,0) ±2j 1,1) ±4rj 2,2))""1""-(1±2r),2где мы опять удалили все члены порядка выше первого поr.Как и в пункте (а), эти результаты согласуются с теми, что ожидаются из представления Гейзенберга.
Расчет для импульса Р±проводится аналогично.Решение для упражнения3.116а) Мы вычисляем требуемое скалярное произведение с применением волновых функций (З.117а) и (З.175а), помня при этом,что а действительно:+=(ajS(r)jO)= J 'Va(X)'Vsq(X)dX == е с J ехр»/2 -['\/тt ~L1-/2 -=~ ехр[r=:г. Lexpl1·/2 _х2(1 +е21·) -2.ХХх2ах2+__а_ - _ _а_ +х21 +e2r 1 +e2rа2еfit1'/2 r-l~;2"+X~1-J2=-ехр-=ехрХаdX=22[-l+e- -" ( Х--- ) ] dX22l+e r(Б.17)=139ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯ(Б~7) er/2 ехр[- Х~ ~]~ 27tJTT2 1 + e2rXu=:-f21 + e2r2 r ]а;Х"=а-!2= ехр [ -а 2 -e --1 +e 2 rchrЬ) Используя фоковское разложение (З.122) когерентного состояния, преобразуем предыдущий результат (РЗ.116) в[2 ~2ла" = в;e r]ехр [ -а- ] L,(nlSCr)I0)-ехр -а 2 2r1Jni.2 n=OChr[илиl+e-1]~ла" = в;а er r =L,(nlSCr)I0)-ехр - - - 21n=OJni.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
