Решения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238819), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Примножителя 8(-х). Пакет распространяется в отрицательном направлении. Достигнув барьера (одновременно с А-пакетом), он становится«видимым». Этот волновой пакет связан с отражением частицы отбарьера. Связанная с ним полная вероятность pr8= ( ko - k1 )ko +kl2k; = k/; - 2МV0 / 1i 2 ,С-волна. Воспользовавшись тем, что•и сновапренебрегая членами второго порядка по отношению к к, мы можемзаменить в уравнении (Р3.50)В результате получаем для С-волны(d 2)1/4 - е .-1к(а+.['Jfc(x,t)=C8(x)e'k,x -;-. ( d2=C8(x)e'k,x-=_ _!_t)2 2d.
"''IK-X12 е k, dк=111<,, )'( ""--е'. ( 1ko + k1=zad--~-8(x)e'k,x - -' "" )')1/4 -(""k,x-a~Mtеza'7td2Этот пакет Уже, чем остальные два, вствование прие-к)1/4 .J2Л - k,x-a-2м_1_ (З.78а)7t(378а) 2i.'м"'t = t 6apнии со скоростьюk0 /k 1 раз.Он начинает свое сущеи распространяется в положительном направле-hk 1/M.Данный волновой пакет связан с частицей,прошедшей через барьер, и имеет вероятностьПрямое вычисление показывает, что pr8 + prc = 1.Решение для упражнения3.52.prc =~(_3!5о_) 2 •ko ko +kДействуя так же, как в упр.13.47,находим, что решение здесь представляет собой комбинацию шестиволновых функций, как показано на рис.3.6,и является, таким образом, функцией шести переменных.
Для каждой из двух границ существует два условия непрерывности (для волновой функции и ее производной):99ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯA+B=C+D;ikQ(A-B) = к(С-D);Сек1.+Dе-к1. =F+G;к(Сек1. - Dе-к1.) = ikQ(F -G),где kQ = .J2мЕ / li, к= ~2M(V0-Е) / n . Опять же каждое значениеэнергии является дважды вырожденным: линейно независимые решения соответствуют материальным волнам, приходящим слеваи справа (А(G =О)= О). Нам интересен первый вариант, поэтому мы решаемуравнения выше для произвольногопродвигаясь справа налево.F,Таким образом находим соотношение между падающей, пропущеннойи отраженной амплитудами:A=+hкL+H~ -~ )sьtкLJ];(Р3.56)(Р3.57)Соответствующие коэффициенты пропускания и отражения даютсяуравнениями(3.81).Решение для упражнения3.513.53.По аналогии с решением для упр.записываем энергетические собственные состояния в виде(хl'l'бар(к)) = [Aei(k;,+кJx + вe-i(k;,+кJx]0(-x)++[Cek,x + De-k,x ]0(x)0(L-x) +Fei(k;,+кJ(x-LJe(x-(Р3.58)L),где амплитудные множители связаны друг с другом соотношениями,выведенными нами в предыдущем упражнении.
Уравнения (Р3.51-Р3.54) применимы к нашему случаю без изменений, как и (Р3.55) дляА-волны. Для F-волны имеем (считая приближенно, что Fне зависитотк)L.d 2 )1/4 ('l'F(x,t)=F0(x-L)e'k(,(x-L)-;2 1/4=F0(x-L)eikQ(x-LJ( ~)100~е.е'к(х-L)еhk;, )( x-L-a-Mt2d22hk;,-iк(a+-t)2 2м е-кd/2dк=(Р3.59)РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ3Центр гауссового волнового пакета в данном уравнении находится вточке х = L +а+ nko t .
Вследствие того, что его множитель равен 8(х- L),мон выйдет из барьера тогда, когда координата его центра превысит L, т. е.в тот же моментХ= 0.-аМt6ap = - - , когда центр А-волны войдет в барьер в точкеnkoРешение для упражнения3.54.Ход решения аналогичен упр.3.52. Мы ищем комбинацию волновых функций, показанных на рис.3.6, за исключением того, что в области барьера волновые функцииявляются волнами де Бройля Ce;k,x и De -ik,x , где k1 = ~2М(Е - V0 ) / n.Условия непрерывности на двух границах принимают видA+B=C+D;i°ko(A-B)=ik1 (C-D);Ce;k,L + De-ik,L = F + G;ikl (Cek,L -De-k'L)= iko(F-G)'где ko = .J2мЕ / n, к= ~2M(V0-Е) / n.
Приравняем G к нулю и выразим амплитуды падающей и отраженной волн через амплитуду пропущенной волны:А= F[ cosk,L-H~ + ~ }in(k,L)}(Р3.60)B=F[-H~ -~ }in(k,L)](Р3.61)Тогда коэффициенты пропускания и отражения даются уравнениями(3.82).Решение для упражнения3.55.Уравнение (3.82а) можно переписать как(Р3.62)Пропускаемость равна единице, когда обнуляется второй член в квадратных скобках в этом уравнении.
Такое может произойти, либокогда k~ -~=О (т. е. k 1 = ko ), либо когда sin(k1L) =О (т. е. k1L = ттt ).101ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯРешение для упражнения3.56.Взяв производную по времени отобеих частей уравнения (3.84а) и подставивd2 xкdt 2м--=--Хdpdtиз (3.84Ь), получим:.Решением этого дифференциального уравнения являетсяx(t) = Acosrot +В sin ffit,(Р3.63)где ffi = Jк / М , а А и В - постоянные, определяемые из начальныхусловий. Подстановка t =О в (3.56) дает А= х(О). Взяв производные повремени от обеих частей этого уравнения, получаем:dx = -Affi sin ffit + Bffi cos ffit .dtВоспользовавшись тем, чтор( t)dxp(t) = М-, находим:dt= -АМ ffi sin ffit + ВМ ffi cos ffit .Подстановка=О(Р3.64)р(О).
Подставив А и В вMffiуравнения (Р3.63) и (Р3.64) и вспомнив вновь, что ffi = Jк / М , получаем уравнения (3.85).tв это уравнение дает В= - -Решение для упражнения(3.85),3.57.X(t) = Х(О) cos ffit +-1-MffiP(t) = P(O)cosffit-MffiАв= Х/А,рА Р(О) sin ffit;= Р/Вв(Р3.65а)ВВ X(O)sin ffit.(Р3.65Ь)АЧтобы эти уравнения имели вид-=Подставляя хполучаем:(3.86), должновыполнятьсяMffi.При этом коммутатор перемасштабированных наблюдаемых удовлетворяет [Х,Р]= АВ[х,р]= iMB. Поскольку нам нужно, чтобы этот коммутатор равнялся i, получаем второе уравнение:102РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ3Решив эти два уравнения для А и В, находим, чтоA=~~w; В=Так какhk·имеет ту же размерность, что и произведение координатыи импульса, т. е.
кг·м 2 /с, размерность А равна м- 1 (т. е. такая же, как ух- 1 ), а размерность В-с/(кг·м) (т. е. такая же как у р- 1 ).Решение для упражнения3.58а) Пользуясь той же логикой, которой мы следовали в разд.3.2,получаем:(XIX')=8(X-X')=8[(x-x')~~w ]=~ ~w 8(x-x')=(xlx')~ ~w,это означает,Р) = (Mnw)1;4 р).а1чтопIX) = ( Mw)1/4lx).Аналогично,IЬ) Для волны де Бройля имеет место равенство1/4(XIP)= ( _п_ ) (Mnw)1;4(xlp)=Jfi-1_eixpfh =-1-eiXP.J2;,fiiii,м О)с)tz ) 114\j/(X)=(Xi'Jf)= ( Mw\jf(P) = (Рd)1(xl'Jf)=(п )1/4Mw\jl(x);'V) =(Mnw) 114 (PI 'V) =(Mnw) 114 \jf(p) .Воспользовавшись разложением единичного оператора, а такжерезультатом пункта Ь ), находим-(Xi'Jf)= f (XIP)(Pi'Jf)dP==-1-7 \)!(P)e;pxdPJ2;, -~и103ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯ\j!(P)=-f(PIX)(Xi'l')dX ==-1-7 \jl(X)e-iPXdX.J2it ~е) Применяя соотношения из пунктавать так же, как в упр.d),мы продолжаем действо3.20:7(XIPl'I') = P(XIP)(Pl'l')dP ( 3~ 1 )1 -(3.91)= ~f PeiPx \jl(P)dP =...;27t ~1 d=-f(-i)-eiPX\jl(P)dPJ2it ~ dX(3.92)•(3.92)=d= -1-\jl(X)dXВыражение для оператора координаты в импульсном базисеполучается аналогично.f)Из(3.88)находим:(лх2)(ЛР2) =~ro м~п (Лх2)(лр2) =п12 (Лх2 )(лр2).Теперь, используя принцип неопределенности(Р3.66)(3.50) для немасштабированных координаты и импульса, мы видим, что праваясторона приведенного уравнения больше или равнаРешение для упражнениял22"'2H=L+Mro х2М21/4.3.59л22л2=Mro1i_.!.._+ п Mro х =.!.пrо(х2+.Р2).
(Р3.67)2МMro 22Решение для упражнения3.60ла) Так как операторы координаты и импульса эрмитовы, Хci.PY =-i.P. Поэтому at =(Х +i.P)' / J2 =(Х - i.P)/ J2 .Ь) Из пункта а) следует, что й ::/- йt.с) Поскольку104[X,P]=i,tл=ХиРЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ31 лл лл1( л лл лл лл л)[u,a t ]=-[Х+iP,X -iP]=- [X,X]-i[X,P]+i[P,X]+[P,P] =1.22d) Операторы координаты и импульса выражаются через с1 и с1 tпутем решения уравнений (3.97) и (3.98).е) Воспользуемся (А.44Ь):лtлtл]_лt[лtл][а,а аа а ,а-"f) Н+[лtлt]л-_лtа ,аа-а.1лл= - liro(X 2 + Р 2 ) =2= -11'.nro [с ал + алt )2 + -12 (ал - алt )2] =4i(лt)2 + ааллt +алtл)(л2 (лt)2 - ааллt -алtл)]= -11'.r1ffi [сл2а + аа - а + аа=41(З.99)=-liro[2aat +2c1tc1] =41 [2аЛfЛа+2+2алtл]=-liroа =41] .= liro аЛt аЛ + 2[Решение для упражнения3.61uln)а) Чтобы проверить, является лиЛоператора числа квантов п=ЛtЛа асобственным состоянием, подвергнем данное состояниедействию этого оператора и применим результатписанный в виде па = ап(3.101),пере-а:па1п) = [un-uJI п) = [uп-ml п) = сп-1)а1 п),что и требовалось.Ь) Аналогично из(3.101) находим, что fi(it = (itfi+ut, и, таким образом,105ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯРешение для упражненияа) Пусть3.621'1') = йln).
Из предыдущего упражнения мы знаем, что 1'1')есть собственное состояние а t а с собственным значением пт. е.1'1') = Aln - 1),где А-- 1,некоторая константа. Нам нужнонайти А. Для этого заметим, что('1'1 = (nlйt, и вычислимВто же времягде в последнем равенстве мы пользуемся тем, что собственныесостояния оператора числа квантов нормированны. Из этих двухуравнений находим, что 1А1= Jn .ь) Аналогично если1q>) =at 1п) = в 1п+1) ' то, с одной стороны,(q>lq>) =(n1aat ln) = (nlйt а+ 11n)=п+1,а с другой,Следовательно,IBI = Jп + 1 .Решение для упражнения(З.104Ь)ln) =3.63QtQt'1П'1П '1П-1cln-1)=Qt(Qл t)"с г-:;-ln-2)= ...
= г. IО).Решение для упражнения'./П!3.64. Вакуумное состояние подчиняетсяуравнению а о) = о ' или1сх +if)IO)=o.(РЗ.68)Чтобы найти волновую функцию в координатном базисе, воспользуемся записью (З.94) оператора импульса в этом базисе. (РЗ.68) тогдастановится106РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ(3Х + ~ }v(X)=O.Это обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка,имеющее одно решение:\jf(X)=Ae-x'12'где А-постоянная нормирования, вычисленная обычным путем:+=ff(\Jfl\Jf)= l\Jf(X)l 2 dX =IAl 2 е-х' dX =IAl 2 J1t.Потребовав, чтобы нормаl\Jf)равнялась единице, находим А= л- 1 1 4 •Волновая функция в импульсном базисе вычисляется аналогично.Решение для упражнения3.65а) Однофотонное состояние Фока получено из вакуумного путемприменения единичного оператора рождения.
Воспользовавшись(3.94),выразим оператор рождения в координатном базисе кака'= ~CX -iP)== ~( х - ~),(Р3.69)и, таким образом, волновая функция состояния 11) =а' 1О) есть(Х)= J2п1;41 (х -~)е-х';2 = J2 Хе-х'12.dXп1;4(Р3.70)\Jf 1Двухфотонное состояние Фока получается путем примененияоператора рождения к однофотонному состоянию:(З.104Ь)Q'12) = 1211).В координатном базисе\j/ 2 (X)=~( Х - ~ )\jl (x)=1=1J2п1/4(х -~)хе-х';2 =dX1J2п1/4(Р3.71)(2Х2 -l)e-x'12.Ь) Теперь мы покажем по индукции, что уравнениевает волновую функцию состояния Фокаln).(3.110)описыВо-первых, приме-107ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯнив уравнения(3.110) и (3.111) сп=О, получим волновую функцию вакуумного состояния (3.107а).
Во-вторых, предположим,что уравнение(3.110)выполняется при заданном п =жем, что оно должно выполняться и при п=kk,и дока1. Мы можемзаписать соотношение рекурсии lk+l)=utlk)/.Jk+l в коорди+натном базисе с использованием уравнения (Р3.69):'l'k+l(X)=~2(~+1) ( Х - ~ )'l'k(X).Применив это к(3.110),что согласуется снаходим:(3.110)при п =k + 1.Чтобы записать последнее равенство, мы обратили внимание, что изРешение для упражнения3.66.(3.111) следуетМатрицы этих двух наблюдаемых могут, в принципе, быть получены путем интегрирования волновых функций в координатном и импульсном базисах.
Однако болеекрасивый способ решения-выразить эти наблюдаемые через операторы рождения и уничтожения в соответствии с уравнениемВоспользовавшись(3.100).(3.104), находим матрицы операторов рождения иуничтожения в базисе Фока какоо1оо1J2ла=оо108оооооо1J3олаt=оооо1ооооооо1J2о1J3о(Р3.72)РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫОтсюдаХ= а+а 1 =-1-J2J2о11ола-а'1'12.i'12.iоJ2оJ21J31ооJ3о1-1оо- J2оо11ооР=--=-о1оРешение для упражнения3оо1оJ2о1J31о- J33.67.(РЗ.73)Для произвольного фоковскогосостояния 1 п) имеет место равенство(nlXln)= ~(nlCa+a')ln)== ~(nl(Гnln-l)+vfn+lln+l))=O.(РЗ.74)Аналогично(nlPln)=O.Для неопределенностей получаем:(лx 2 )=(nlX 2 ln)=ллt лtл лtлt)I)= 21( п l(ллаа + аа +а а+ а ап == ~(nl[ ~n(n-1) ln-2)+vfn +12 ln)+(РЗ.75)+Гn 2 ln)+ ~(n +l)(n +2) ln +2) J=~(2n +1).109ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯЭтот же ответ верен для неопределенности импульса:Решение для упражнения3.68а) Для эволюции суперпозиции набора фоковских состояний имеетместо равенствоl\lf(t))= L'l'ne-iwt(n+Иln)·пТогда математическое ожидание оператора уничтожения<й>(t) = (Ч'(t)lйi'l'(t)) ==( ~;.v;c'~HJ (nl}'( ~ 'l'me •+»Jlm))== r'V"n+l\lf~\l'n+le-iwt.пЗдесь мы воспользовались тем фактом, что оператор уничтожения связывает только последовательные фоковские состояния:(nlйln+l)='V"n+l.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
