Решения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238819), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Приведенный выше результат можно переписать как(u)(t) = (u)(O)e-iwr.Чтобы вывести соответствующее выражение для операторарождения, вспомним, что он сопряжен с оператором уничтожения:Ь) Записав оператор координаты как Х = (а+ а t )j-J2, находим:<x>Ct) = ~[(а)со+(а t)co] == ~[(й)CO)e-i"'t +(йt)CO)ei"'r]==___!___[( х)со) + i ( f>)co) e-iwt + (х)со)- i ( f>)co) eiwt] =-J2-J2= (х) (О) cos ffit + (Р)(О) sin ffit.110-J2РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ3Аналогичным образом для импульса получаем(P)(t)==li [(й)Ct)-(йt)Ct)]=li [(й)CO)e-iw1 -(а')CO)eiw1] ==-1 [(х)со)+{?)со) e-iwl J2iJ2(x)co)-i(fi)co) eiwt]=J2= (Р) (O)cos wt -(Х) (О) sin wt.Решение для упражнениябазисе. По аналогии с упр.3.69.
Будем работать в координатном3.64 перепишем (3.116) как1 ( Х + :Х }v(X)=(Rea+i lma)'Jf(X).Подставив (3.117а) в левую часть этого уравнения, находим:-1( d)J2Х+- 'Jf (Х)=dXа1--еJ2rrl/4/аХа21J2rrl/4еi~X-"(2[Х +iP -(Х -Хаd)Х+- е;р"хеdX_(Х-Х 0 ) 2.а)]eiP"xe2_(Х-Х") 22==(Р3.76)= 1(Ха +iPa)'Va(X),а значит, (3.116) выполняется при условии, что Ха= J2Re а иРа. =J2Ima.Волновая функция (3.117Ь) в импульсном базисе получается изволновой функции в координатном базисе с помощью преобразования Фурье, как и в упр.3.25.Средние значения дисперсии координаты и импульса можно получить интегрированием волновой функции, как в упр.3.25.Однакотакже вполне применИм подход, аналогичный использованному дляфоковских состояний в упр.3.67.Взяв сопряженные к обеим частямуравнения (3.116), мы обнаружим, что (аlй' =а· (al; отсюда(alXla)= 1(а1Сй+й 1 )lа)=1[\al(йla))+((alй 1 )la)]== 1[\al(aia))+((ala*)la)]= а-:;·=Ха..(Р3.77)111ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯАналогичноДля неопределенностей имеет место равенстволлt лtл лtлt)I а ) =(а 1Хл21 а ) = -1(а IСллаа + аа +а а+ а а2а + 1)1 а ) =а+ алtлtаа + 2алtл= -1(а IСлл2(РЗ.78)=.!.(а.
2 +2а·а+(а.*) 2 +1)=2=.!.[(а+а.*) 2 +1],2так чтоЭтот же ответ верен и для дисперсии импульса.Решение для упражнения3. 70.Рассмотрим некоторое разложение когерентного состояния в числовом базисе00la)= L,an ln)(РЗ.79)n=Oи применим определение когерентного состояния (З.116) к этомуразложению. Для левой части (З.116) в соответствии с (3.104а) имеетместо равенство00йlа)= L,anuln)=n=O00n'=n-1=L,anГnln-1) =(РЗ.80)n=lМы изменили нижний индекс суммирования с п= О на п = 1 во второмиз приведенных равенств, потому что член, соответствующийп = О, идет с коэффициентом112JOи, следовательно, обнуляется.РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ3В то же время правую часть (З.116) можно записать как=aia) = L аап, ln').(РЗ.81)п'~оУравняв обе стороны, мы находим рекурсивное соотношениеаап'(РЗ.82)an'+l = .Jп' + 1 'так что(РЗ.83)...
'или в обобщенном виде(РЗ.84)Остается найти такое значение а0 , при котором состояние уравнения (РЗ.79) нормированно к единице. Находим(РЗ.85)Сумма в этом выражении есть разложение Тейлора экспоненты е 1 а 12так что имеет место равенствовыполнялось (а а) =1 , находим(ala)=la 0 ! e21a 12 •,Потребовав, чтобы1-lal22 _1а 0 1 -е(РЗ.86)или с точностью до произвольного фазового множителя:(РЗ.87)Объединив уравнения (РЗ.84) и (РЗ.87), получаем113ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯan--еа"-lrxl 2 /2(РЗ.88)г..v'П!Решение для упражнения3.
71. Для фоковского разложения когерентного состояния (З.122) мы сразу же видимВ координатном базисе для разложений (волновых функций) вакуумного и когерентного состояний [уравнения (З.107а) и (З.117а) соответственно] находим(Oia)=-f'V~(X)\jl"(X)dX =-iРаХа - х~i PUXU-~ze4e2e4==е_х~ +Р,;4=е(З.118)== e-lrxl /2.2Решение для упражнения3. 72. Длясредней энергии получаемздесь мы воспользовались определением когерентного состоянияoia)=ala) и(alot =(ala·.114эрмитовым сопряжением к этому соотношениюРЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ3Для дисперсии энергии находим(в 2 ) =(alH 2 ia)==(lioo) 2 \=(ala'aa'a+a'a+~la) (З~9 )hoo ) 2 /\а 1ал t(л лл л л 11 а ) =4а t а+ 1) а +а t а += (hoo )2 (1al 4 + 2lal 2 + ~),и следовательно,Оба эти результата согласуются сРешение для упражнения(3.124),3.
73.-(Имея в виду, что когерентноесостояние раскладывается в фоковском базисе согласнокаждое фоковское состояние1) .л = hoo пл +2потому что Н(3.122)и чтоэто собственное состояние гамильтониана с собственным значениемhw(n + 1/2), находимe-iilt/h 1 а)= e-1a1' 12L. ~-iw(n+l/2)1 1 п/ =" Гп'.Решение для упражненияа) Согласно(3.125),(Р3.89)3. 74когерентное состояние в ходе эволюции остается когерентным, т. е. собственным состоянием оператора уничтожения. Отсюда(й)Ct)=(ae-iwr lйiae-i"'r)=ae-iwr и(й')Ct)=[(й)(t)J*=aeiwr.115ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯЬ) Используя (З.118) и (З.119), находим(X)(t) = J2.Re(ae-iыr) == J2.Re[(Rea + i Ima)(cosrot- i sin rot)] == Re[(Xa + iPa)(cosrot-isinrot)] == ха cos rot + ра sin rotи(P)(t) = J2 Im(ae-iwt) == Im[(Xa + iPa)(cosrot- i sinrot)] == ра cos rot -хаsin rot.Решение для упражненияla)=e-1a1212f ~ln)n=OГп'.3. 75.Разложив согласно(3.122)и la')=e-la'l2/2L (а')" ln)'п Гп'.находимРешение для упражнения3.
76.Предположим, существует собственное состояние оператора рождения(РЗ.90)где р-собственное значение. Оно должно иметь некоторое разложение в фоковском базисе:~IP)=LPnln).n=OПодставив данное разложение в (РЗ. 90), находим116(РЗ.91)РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ З~~LРп .Jп+l ln+l) =PLPn lп).n=O(Р3.92)n=OВ левой части этого уравнения нет вакуумного состояния1 О).Этоозначает, что его не должно быть и в правой части, поэтому либоР =О, либо р 0 =О. Если Р =О, то вся правая сторона уравнения (Р3.92)обнуляется, и то же происходит с левой его стороной, отсюда все Р; =О.Однако если р 0 = О, то в левой части отсутствует также член с первымфоковским состоянием11),а это, в свою очередь, заставляет нас сделать вывод, что р 1 = О.
Продолжая цепь рассуждений, находим, что и1в таком случае все Р; должны обнулиться, а значит, Р) = О.Решение для упражнения3. 77.В представлении Шрёдингера(Р3.93)лОтсюда математическое ожидание А равноа это то же самое, что матожидание оператора(3.127), эволюционирующего в соответствии с представлением Гейзенберга.Решение для упражненияуравнения3. 78.Продифференцируем обе части(3.127) по времени::t A(t) = :t ( е*нr А(О)е -*нr) ==:t( е*нr )А(О)е-*нr +е*нrА(О) :t(е-*нt )==*( не*Нt A(O)e-*Ht -e*Ht А(О)Не-*Ht) =где последняя строка следует из коммутативностиfIи eift fh • Отсюда117ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯРешение для упражнения3. 79.Используя уравнение Гейзенберга, находим:d. 1.л_ l[Нл л]_ 1[л2 л]Х ---- рХ-Х--dttztz 2М'1л1( 2 1.tzл)Рр -tz 2ММ(З49)(А46) ··'~-·--- -иd л_i[Нл рл]_iК[лл- - - Х 2 рл]_iк(- - - 2 1.tzл)Х --КХ.dttz'tz 2'tz 2-р--Решение для упражнениядействием гамильтониана3.80.
Вывод уравнения (3.133а) под(3.55) идентичен выводу, сделанному в предыдущем упражнении. Чтобы получить уравнение (3.133Ь), разложимпотенциал в степенной ряд по отношению к х:=vcx) = L. vп.хп.(Р3.94)n=OТогдаd.dttz-p=~[V(x),p](З.49),(А.46)===tz n=On=O.~ L,пXn-1(itz)=-L,пXn-1.Последнее выражение равно -V'(x), согласно уравнению (Р3.94).Решение для упражнения3.81.
Оператор эволюции есть функциягамильтониана и, следовательно, коммутирует с ним. Поэтомуi-H(O)tАлH(t) = ehi--H(O)tЛлН(О)еhлi ;,i-H(O)t--H(O)t~= H(O)ehРешение для упражненияе3.82.hл= Н(О).Операторы координаты иимпульса эволюционируют в представлении Гейзенберга согласнолллtлx(t) =И (t )x(O)U(t);p(t) = 0' (t) p(O)U(t),гделU(t) = еi.--Нth-оператор эволюции.
Подставляя эти выражения вправую часть уравнения(3.138)(Р3.94) потенциала, находим118и используя степенное разложениеРЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫV(x(t))+ p(t)22М=3i vn [ Ut(t)x(O)U(t)J +-1-[Ut(t)p(O)u(t)J =2Мп=оf vпut Ct)[xCO)J U(t)+-1-ut(t)[p(O)J2 U(t) ==2Мп=О= cJt Ct)[i vпх(о)п Juct) + cJt Ct)r fJC0) 2 Juct) =l 2Мп=Оллл(ynp. 3.81)= Ut(t)H(O)U(t)== Н(О).Для второго равенства в приведенной выше цепочке мы воспользовались унитарностью оператора эволюции U(t)Ut(t)=l. Например,в случае импульса:[ cJt (t)p(O)U(t)J=cJt (t)p(O)U(t)Ut (t)p(O)U(t) = cJt (t)p(0) 2 U(t).Таким образом мы показали, что правые стороны уравненийи(3.138)(3.137)равны.Решение для упражнения3.83.Степенное разложение функциимногих переменных представляет собой сумму видаf (А.1 (t)". "Am(t)) =f CjA(j,l)(t)Au·2J(t) ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
