Главная » Просмотр файлов » Решения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А.

Решения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238819), страница 13

Файл №1238819 Решения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А. (Решения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А.) 13 страницаРешения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238819) страница 132020-10-28СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Приведенный выше результат можно пере­писать как(u)(t) = (u)(O)e-iwr.Чтобы вывести соответствующее выражение для операторарождения, вспомним, что он сопряжен с оператором уничто­жения:Ь) Записав оператор координаты как Х = (а+ а t )j-J2, находим:<x>Ct) = ~[(а)со+(а t)co] == ~[(й)CO)e-i"'t +(йt)CO)ei"'r]==___!___[( х)со) + i ( f>)co) e-iwt + (х)со)- i ( f>)co) eiwt] =-J2-J2= (х) (О) cos ffit + (Р)(О) sin ffit.110-J2РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ3Аналогичным образом для импульса получаем(P)(t)==li [(й)Ct)-(йt)Ct)]=li [(й)CO)e-iw1 -(а')CO)eiw1] ==-1 [(х)со)+{?)со) e-iwl J2iJ2(x)co)-i(fi)co) eiwt]=J2= (Р) (O)cos wt -(Х) (О) sin wt.Решение для упражнениябазисе. По аналогии с упр.3.69.

Будем работать в координатном3.64 перепишем (3.116) как1 ( Х + :Х }v(X)=(Rea+i lma)'Jf(X).Подставив (3.117а) в левую часть этого уравнения, находим:-1( d)J2Х+- 'Jf (Х)=dXа1--еJ2rrl/4/аХа21J2rrl/4еi~X-"(2[Х +iP -(Х -Хаd)Х+- е;р"хеdX_(Х-Х 0 ) 2.а)]eiP"xe2_(Х-Х") 22==(Р3.76)= 1(Ха +iPa)'Va(X),а значит, (3.116) выполняется при условии, что Ха= J2Re а иРа. =J2Ima.Волновая функция (3.117Ь) в импульсном базисе получается изволновой функции в координатном базисе с помощью преобразова­ния Фурье, как и в упр.3.25.Средние значения дисперсии координаты и импульса можно полу­чить интегрированием волновой функции, как в упр.3.25.Однакотакже вполне применИм подход, аналогичный использованному дляфоковских состояний в упр.3.67.Взяв сопряженные к обеим частямуравнения (3.116), мы обнаружим, что (аlй' =а· (al; отсюда(alXla)= 1(а1Сй+й 1 )lа)=1[\al(йla))+((alй 1 )la)]== 1[\al(aia))+((ala*)la)]= а-:;·=Ха..(Р3.77)111ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯАналогичноДля неопределенностей имеет место равенстволлt лtл лtлt)I а ) =(а 1Хл21 а ) = -1(а IСллаа + аа +а а+ а а2а + 1)1 а ) =а+ алtлtаа + 2алtл= -1(а IСлл2(РЗ.78)=.!.(а.

2 +2а·а+(а.*) 2 +1)=2=.!.[(а+а.*) 2 +1],2так чтоЭтот же ответ верен и для дисперсии импульса.Решение для упражнения3. 70.Рассмотрим некоторое разложе­ние когерентного состояния в числовом базисе00la)= L,an ln)(РЗ.79)n=Oи применим определение когерентного состояния (З.116) к этомуразложению. Для левой части (З.116) в соответствии с (3.104а) имеетместо равенство00йlа)= L,anuln)=n=O00n'=n-1=L,anГnln-1) =(РЗ.80)n=lМы изменили нижний индекс суммирования с п= О на п = 1 во второмиз приведенных равенств, потому что член, соответствующийп = О, идет с коэффициентом112JOи, следовательно, обнуляется.РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ3В то же время правую часть (З.116) можно записать как=aia) = L аап, ln').(РЗ.81)п'~оУравняв обе стороны, мы находим рекурсивное соотношениеаап'(РЗ.82)an'+l = .Jп' + 1 'так что(РЗ.83)...

'или в обобщенном виде(РЗ.84)Остается найти такое значение а0 , при котором состояние уравне­ния (РЗ.79) нормированно к единице. Находим(РЗ.85)Сумма в этом выражении есть разложение Тейлора экспоненты е 1 а 12так что имеет место равенствовыполнялось (а а) =1 , находим(ala)=la 0 ! e21a 12 •,Потребовав, чтобы1-lal22 _1а 0 1 -е(РЗ.86)или с точностью до произвольного фазового множителя:(РЗ.87)Объединив уравнения (РЗ.84) и (РЗ.87), получаем113ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯan--еа"-lrxl 2 /2(РЗ.88)г..v'П!Решение для упражнения3.

71. Для фоковского разложения коге­рентного состояния (З.122) мы сразу же видимВ координатном базисе для разложений (волновых функций) вакуум­ного и когерентного состояний [уравнения (З.107а) и (З.117а) соответ­ственно] находим(Oia)=-f'V~(X)\jl"(X)dX =-iРаХа - х~i PUXU-~ze4e2e4==е_х~ +Р,;4=е(З.118)== e-lrxl /2.2Решение для упражнения3. 72. Длясредней энергии получаемздесь мы воспользовались определением когерентного состоянияoia)=ala) и(alot =(ala·.114эрмитовым сопряжением к этому соотношениюРЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ3Для дисперсии энергии находим(в 2 ) =(alH 2 ia)==(lioo) 2 \=(ala'aa'a+a'a+~la) (З~9 )hoo ) 2 /\а 1ал t(л лл л л 11 а ) =4а t а+ 1) а +а t а += (hoo )2 (1al 4 + 2lal 2 + ~),и следовательно,Оба эти результата согласуются сРешение для упражнения(3.124),3.

73.-(Имея в виду, что когерентноесостояние раскладывается в фоковском базисе согласнокаждое фоковское состояние1) .л = hoo пл +2потому что Н(3.122)и чтоэто собственное состояние гамильто­ниана с собственным значениемhw(n + 1/2), находимe-iilt/h 1 а)= e-1a1' 12L. ~-iw(n+l/2)1 1 п/ =" Гп'.Решение для упражненияа) Согласно(3.125),(Р3.89)3. 74когерентное состояние в ходе эволюции оста­ется когерентным, т. е. собственным состоянием оператора унич­тожения. Отсюда(й)Ct)=(ae-iwr lйiae-i"'r)=ae-iwr и(й')Ct)=[(й)(t)J*=aeiwr.115ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯЬ) Используя (З.118) и (З.119), находим(X)(t) = J2.Re(ae-iыr) == J2.Re[(Rea + i Ima)(cosrot- i sin rot)] == Re[(Xa + iPa)(cosrot-isinrot)] == ха cos rot + ра sin rotи(P)(t) = J2 Im(ae-iwt) == Im[(Xa + iPa)(cosrot- i sinrot)] == ра cos rot -хаsin rot.Решение для упражненияla)=e-1a1212f ~ln)n=OГп'.3. 75.Разложив согласно(3.122)и la')=e-la'l2/2L (а')" ln)'п Гп'.находимРешение для упражнения3.

76.Предположим, существует соб­ственное состояние оператора рождения(РЗ.90)где р-собственное значение. Оно должно иметь некоторое разложе­ние в фоковском базисе:~IP)=LPnln).n=OПодставив данное разложение в (РЗ. 90), находим116(РЗ.91)РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ З~~LРп .Jп+l ln+l) =PLPn lп).n=O(Р3.92)n=OВ левой части этого уравнения нет вакуумного состояния1 О).Этоозначает, что его не должно быть и в правой части, поэтому либоР =О, либо р 0 =О. Если Р =О, то вся правая сторона уравнения (Р3.92)обнуляется, и то же происходит с левой его стороной, отсюда все Р; =О.Однако если р 0 = О, то в левой части отсутствует также член с первымфоковским состоянием11),а это, в свою очередь, заставляет нас сде­лать вывод, что р 1 = О.

Продолжая цепь рассуждений, находим, что и1в таком случае все Р; должны обнулиться, а значит, Р) = О.Решение для упражнения3. 77.В представлении Шрёдингера(Р3.93)лОтсюда математическое ожидание А равноа это то же самое, что матожидание оператора(3.127), эволюциониру­ющего в соответствии с представлением Гейзенберга.Решение для упражненияуравнения3. 78.Продифференцируем обе части(3.127) по времени::t A(t) = :t ( е*нr А(О)е -*нr) ==:t( е*нr )А(О)е-*нr +е*нrА(О) :t(е-*нt )==*( не*Нt A(O)e-*Ht -e*Ht А(О)Не-*Ht) =где последняя строка следует из коммутативностиfIи eift fh • Отсюда117ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯРешение для упражнения3. 79.Используя уравнение Гейзен­берга, находим:d. 1.л_ l[Нл л]_ 1[л2 л]Х ---- рХ-Х--dttztz 2М'1л1( 2 1.tzл)Рр -tz 2ММ(З49)(А46) ··'~-·--- -иd л_i[Нл рл]_iК[лл- - - Х 2 рл]_iк(- - - 2 1.tzл)Х --КХ.dttz'tz 2'tz 2-р--Решение для упражнениядействием гамильтониана3.80.

Вывод уравнения (3.133а) под(3.55) идентичен выводу, сделанному в пре­дыдущем упражнении. Чтобы получить уравнение (3.133Ь), разложимпотенциал в степенной ряд по отношению к х:=vcx) = L. vп.хп.(Р3.94)n=OТогдаd.dttz-p=~[V(x),p](З.49),(А.46)===tz n=On=O.~ L,пXn-1(itz)=-L,пXn-1.Последнее выражение равно -V'(x), согласно уравнению (Р3.94).Решение для упражнения3.81.

Оператор эволюции есть функциягамильтониана и, следовательно, коммутирует с ним. Поэтомуi-H(O)tАлH(t) = ehi--H(O)tЛлН(О)еhлi ;,i-H(O)t--H(O)t~= H(O)ehРешение для упражненияе3.82.hл= Н(О).Операторы координаты иимпульса эволюционируют в представлении Гейзенберга согласнолллtлx(t) =И (t )x(O)U(t);p(t) = 0' (t) p(O)U(t),гделU(t) = еi.--Нth-оператор эволюции.

Подставляя эти выражения вправую часть уравнения(3.138)(Р3.94) потенциала, находим118и используя степенное разложениеРЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫV(x(t))+ p(t)22М=3i vn [ Ut(t)x(O)U(t)J +-1-[Ut(t)p(O)u(t)J =2Мп=оf vпut Ct)[xCO)J U(t)+-1-ut(t)[p(O)J2 U(t) ==2Мп=О= cJt Ct)[i vпх(о)п Juct) + cJt Ct)r fJC0) 2 Juct) =l 2Мп=Оллл(ynp. 3.81)= Ut(t)H(O)U(t)== Н(О).Для второго равенства в приведенной выше цепочке мы воспользова­лись унитарностью оператора эволюции U(t)Ut(t)=l. Например,в случае импульса:[ cJt (t)p(O)U(t)J=cJt (t)p(O)U(t)Ut (t)p(O)U(t) = cJt (t)p(0) 2 U(t).Таким образом мы показали, что правые стороны уравненийи(3.138)(3.137)равны.Решение для упражнения3.83.Степенное разложение функциимногих переменных представляет собой сумму видаf (А.1 (t)". "Am(t)) =f CjA(j,l)(t)Au·2J(t) ...

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
13,44 Mb
Тип материала
Предмет
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6367
Авторов
на СтудИзбе
310
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее