Решения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238819), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Поскольку норма каждого из слагаемых равна1/2, вероятность каждого результата равна (1/2) 2 = 1/4.е)•Если Алиса получает при измерениицируется на -(аlН)+ PI V)),1\f/-),фотон Боба проечто, с точностью до общего фазового множителя, идентично исходному состояниюlx).В этомслучае Бобу не нужно ничего делать.•Если Алиса получает при измерениицируется на -(аlН)- PI V)).1\f/+),фотон Боба проеЧтобы получитьlx),Бобу надобудет произвести операцию, которая не меняет горизонтально поляризованный фотон, но применяет фазовый множитель(-1)к вертикально поляризованному. Эта операцияреализуется оператором Паули&z = IH)(Hl-IV)(VIи физически осуществляется при помощи полуволновой пластинкис оптической осью, ориентированной горизонтально или вертикально (упр.•1.26).Если Алиса получает при измерении 1 Ф-), фотон Боба проецируется на (РIН)+ alV)).В этом случае Бобу потребуетсяпоменять горизонтальную поляризацию на вертикальную, инаоборот,чтореализуетсяоператоромПаули&х = 1Н) (V 1+1 V) (Н 1· Физически это соответствует применению полуволновой пластинки под углом•45°.Если Алиса получает при измерении IФ+), фотон Боба проецируется на ( -Р 1Н)+ а 1 V) ).В этом случае Бобу нужно и обменять поляризации, и сдвинуть фазу одной из них, т.
е. применить&z&x =IH)(Vl-IV)(HIпосредством двух полуволновыхпластинок, одна из которых ориентирована подпод0°.ратор как6645°,а другаяОбратите внимание, что мы можем записать этот опе&z&x = i&Y.РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ2Решение для упражнения2.68.сигнал находится в состоянияхl'11+) или l'11-), то два входных фотона поляСначала отметим, что если входнойризованы ортогонально. Если один из них пройдет через первый поляризующий светоделитель, то второй отразится, так что оба они выйдут из PBSс одной и той же стороны.
Это означает, что события обнаружения фотонов не моrуг произойти в обоих серых прямоугольниках одновременно.Однако, если входной сигнал находится в состояниях IФ-) или IФ+),образующие эти состояния идентичные фотоны либо оба пройдут черезPBS,либо оба отразятся, так что они покинугдва состояния поляризации после первогоPBS с разных сторон. ЭтиPBS останугся неизменными 1 •Далее, состояния IФ-) или IФ+) можно переписать в диагональномбазисе. В соответствии с упр.2.8IФ+) состоит из одинаково поляризованных диагональных фотонов, а 1Ф-)- из ортогональных диагональных фотонов. Следовательно, измерение данных фотонов в диагональном базисе позволит различить эти состояния.Решение для упражнения2.69.Действуя таким же образом, каки в случае квантовой телепортации, находим1'11_'11_)1234 =~ (1 нvнv)-1 нwн)-1vннv)+1 vнvн; )1234 ==21 [lн/1 (IЧ1+)-IЧ1-) )23 lv)4 -lн/1 (IФ+)-IФ-) )23 lн)4 -lv/1 (IФ+)+IФ-))23 lv)4 +lv\ (IЧ1+)+IЧ1-)) 2 3 lн)4 ]==2 1[1Ч1-)23 (-IHV)+lvн)\4 +1'11+)23 (IHV)+lvн))14 ++JФ-)2з (IHH)-IW) )14 +IФ+ )23 (-IHH)-lw))1J ==![-1'11-)223 1'11-)14 +1'11+) 23 1'11+)14 +1Ф-) 23 1Ф-) 14 -IФ+) 23 IФ+)]14 .Обнаружение фотонов2и3в конкретном состоянии Белла запутает оставшиеся два фотона, спроецировав их на одно и то же состояние Белла.
Как и в случае квантовой телепортации, вероятность каждого результата измерения равна11/4.Здесь мы пренебрегаем относительным сдвигом фазы, которыйPBSналагает напары вертикальных и горизонтальных фотонов.67ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯРешение для упражненияупр.2.69,2. 70.Воспользовавшись результатомнаходим, что когда начальные состоянияl'P-'11-) 1234 проецируются на обнаруженные состояния !Ф•) 23 и IФ-) 23 в первом и второмзвеньях, состояния сохраненных фотонов становятся !Ф•) 14 и IФ-\ 4соответственно. Переобозначив эти фотоны буквами от А доD,находим, что их общее состояние равноПроецируя это состояние на IЧ1•) 8 с, получаемl'P-)AD.Решение для упражненияа) Согласно закону2. 71Бугера - Ламберта -Бера (подразд.1.6.2)вероятность для каждого фотона добраться до анализаторабазиса Белла равна e-PL/Zk.
Тогда вероятность того, что до негодоберутся оба фотона, равнаpr1 = (e-PLf 2 k) 2 = e-PL/k = 0,082.Чтобы найти вероятность успеха после п попыток, заметим, чтовероятность неудачи после одной попытки равна1 - pr 1 и, следова(1 - pr 1)".тельно, вероятность неудачи всех п попыток равнаОrсюда вероятность того, что хотя бы одна из п попыток не обернется неудачей, равнаprn=1- (1- pr1 )" =1- (1- e-PL!k )" .Ь) Здесь событие, вероятность которого равнаизойти одновременно вkpr п'должно прозвеньях. Вероятность этого такова:pr; =[1-(1-e-PL/k)"]k.с) Решив уравнение pr; = 1/2, мы находим для требуемого числапопыток:п= 1ogl-pr, [l-(!)i]2= log(l - 2-i)PL-log(l-e k )31,6.Следовательно, необходимое время равноd)n/f = 31,6 мкс.Вероятность того, что единичный фотон, посланный непосредственно от Алисы, достигнет Боба, равнаТогда вероятность успеха для п'Установив Р<n'=lo=1/2 , получаем_!_= -log2 ~log2=50xl010gl-e_,L 2 log(l-e-PL) e-PL'так что ожидаемое время68pr; = e-PL = 1,39х10- 11 •попыток - pr: = 1-(1-e-PL)n.t' = п' / f= 50 ОООс.ГЛАВА РЗРЕШЕНИЯК УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ ЗРешение для упражнения3.1.а) Вычисляем правую сторону уравненияние+<о(З.!а) +оо(xl'I')= J\jl(x')(xlx')dx' =Ь) Подействуем операторомние(3.4), используя разложе(3.2):1'1'>·(Г.5)J\jl(x')o(x-x')dx' = \jl(x).-i = Jlx)(xldx(Р3.1)на произвольное состоя-В соответствии со свойствами внешнего произведенияполучимВидим, что операторже, следовательно, ii , действуя на любое состояние, дает его- единичный оператор.с) Вставляем единичный оператор(3.5)в('1' 1 1'1'2 ):-J= J ('1' 1 lx)(xl'l'z)dx==\jl;(x)\jl 2 (x)dx.Решение для упражнениядим, что3.2.Применив уравнение(3.6),нахо-f('!' 1'1') = l'l'Cx)l 2 dx.Левая сторона этого уравнения равна единице, посколькуческое состояние.1'1') -физиОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯРешение для упражнения3.3а) Интегрируя квадрат абсолютной величины волновой функциинад осью действительных чисел, получаем-f l'VCx)lьfdx = А 2 dx = А 2 (Ь-а)2аи, таким образом,А=-1,,}Ь-а.Используя (Б.1 7) и считая А действительным, находимЬ)+<><>f l'VCx)l-+<><>2dx=A2х2f e-d2dx=A ,rnd,2так чтоА=11tl/4Jd .Решение для упражнениясостоянияlx0 )3.4.Согласно(3.4),волновая функцияравнаРешение для упражнения3.5.В соответствии с определением(З.11) непрерывного наблюдаемогоxlx) =(I x'lx')(x'1dx)x; =Ix'lx')(x'lx)dx' =Ix'lx')8(x' -x)dx' =xjx)Решение для упражнения3.6а) Вставим единичный оператор (З.5) по обе стороны А :А=1А1=--л(3.13)= JJlx)(xlAlx')(x'ldxdx' =--= J J A(x,x')jx)(x'jdxdx'.70РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ3Ь) Используя определение функции оператора с непрерывнымбазисом (З.12), находим+оо('l'IJCx)l\\f) = J f(x)('l'lx)(xl'Jf)dx=+оо=J \jf*(x)j(X)\jf(X)dx=+оо= J l'VCx)l 2 j(x)dx.с) Воспользовавшись (З.14), получаем+оо +оо(<i>IAl'Jf) = J J (<i>lx)A(x,x')(x'l'Jf)dxdx' =+оо +оо= J J <p'(x)A(x,x')\jf(x')dxdx'.+оо= J (xlAlx')(x'l'Jf)dx' =+оо= J A(x,x')\jf(x')dx'.е) Подобным же образом+оо= J ('l'lx')(x'IAlx)dx' =+~= J \\f*(x')A(x',x)dx'.f)В соответствии со свойствами сопряженных операторов (см.
упр.А.59)(А 1 )(х,х 1 )= (xlA 1 lx')= (x'IAlx)· = А*(х',х).g) Вставив единичный оператор между А и В, находим71ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯ-f= (xlAlx")(x"IBlx')dx"=-J= А(х,х")В(х",х')dх".Решение для упражнения3. 7.Воспользовавшись(3.15) дляj{х) ==х, находим+oof('l'lxl'I') = xl'l'Cx)I-J(З.22)2dx== х pr(x)dx,гдеpr(x) -плотность вероятности. Последнее выражение, согласно(Б.13), дает среднее значение непрерывного наблюдаемого.Решение для упражнения3.8.
Необходимо показать, что функция(3.25) периодическая с периодом лdВ" Это действительно так, поскольку1(х+ЛdвlР)=--еip(x+21th/p)h../2rthРешение для упражнения1=--еi(px+21t)../2rthh1=--е../2rthi~h=(xjp) .3. 9а) Если автомобиль весом тонну движется со скоростью20 м/с2 х 104 кгхм/с. Воспользовавшись табличным значением 2лn = 6,6 х 10-34 м 2 хкг/с, находим,что длина волны де Бройля Л равна 2лn/р = 3,3 х 10-38 м.(72км/ч), его импульс равен р =Ь) Средняя скорость поступательного движения молекул газас)72v=~3k8 T/m, а их импульс p=~3k8 Tm, где k 8 = 1,38 хх l0- 23 Дж/К - постоянная Больцмана, Т = 300 К - комнатнаятемпература и т = M/NA = 4,7 х 1О- 26 кг - средняя молекулярнаямасса (здесь М = 0,028 кг/моль - молярная масса воздуха,aNA = 6 х 1023 - число Авогадро).
Находимр = 2,4 х 1О- 23 кгхм/с,следовательно, Л = 2,7 х l0- 11 м.Кинетическая энергия электрона равна р 2 /2М = еИ, где М = 9,1 хх 10-31 кг - масса электрона, е = 1,6 х l0- 19 Кл - заряд электрона, а И= 105 В - ускоряющее напряжение. Находим, чтор = 1,7 х 1О- 22 кгхм/с, а Л = 3,9 х l0- 12 м. Поскольку длина волныРЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ3де Бройля электрона намного меньше длины световой волны,электронный микроскоп дает значительно более высокое разрешение, чем оптический.d)По аналогии с пунктом Ь) находим, что масса т атомов рубидияравна 0,085/(6 х 1023 ) кг= 1,5 х 10-25 кг, а их импульс р = ~3k8 Tm == 7,9 х 10-28 кгхм/с.
Длина волны де Бройля равна 8,3 х 10-7 м == 0,86 мкм. Такая длина волны сравнима с расстоянием между атомами в конденсате, что приводит к квантовым эффектам при взаимодействии между атомами.Решение для упражнения(3.5)3.10.Воспользовавшись разложениемединичного оператора, запишем:'°"1'°""2rrJz~(3.25);РХIP) = Jlx)(xlp)dx = ~ Jе lx)dx.~hУравнение (3.27Ь) доказывается аналогично.Решение для упражнения(PIP')(3.27а)= -1 I'°"J2 nli=~h;р'х'-рхhdxСогласно(3.6 ),(xlx')dxdx' ='-у---'~'°"I ;(р'-р)хее3.11.Ь(х-х')(Г.19)=1-2по2nliРешение для упражнения(р'-р)(Г.б)-li= о(р'-р).3.13.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
