Решения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238819), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Опять же можно провести полный матричный расчет, но проще, пожалуй, заметить, чтоквадрат любой матрицы Паули представляет собой оператор тождества и, таким образом,Отсюда следует, что среднеквадратичное отклонение равно( Л( &х®&у ) 2 ) = ( ( &х ®&у ) 2 ) - ( &х ®&у) 2 = 1 - О = 1 .Решение для упражнениялимое состояние 1аЬ) Е2.16.
Выберем произвольное раздеVА ® V8 и применим определение тензорногопроизведения операторов:CA1 ~)®Cfз1 fз2 )ia)iЬ) = А1 ~ ia)® fз1fз2 IЬ) = А1 (~ ia) )® fз1 (fз2 IЬ)) == (А1 ®В1 ) ( ~ а) ®fз2 IЬ)) = (А1 ®В1 )(~ ®В2 ) а) Ь) .111Мы видим, что операторы А1 ~ ®fз1 fз2 и (А1 ®fз1 )( ~ ®fз2 ) действуютна каждое разделимое состояние вVА ® V8одинаково. Поскольку этолинейные операторы, то же можно сказать и о запутанных состояниях,которые представляют собой линейные комбинации разделимыхсостояний. Это означает, что два оператора идентичны.Решение для упражненияЕV82.18. Для произвольных1 а)ЕVА и1 Ь)Емы опять воспользуемся определением тензорного произведенияоператоров и запишем:41ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯСА® В)iаЬ) = Лiа)®ВIЬ) ==(1 а1) (a2 Iа))® (1 Ь1 )(Ь2 IЬ)) =(2.4)= lаД)(а2 Ь2 lаЬ)== (lа 1 Ь1 )(а 2 Ь2 l)(lаЬ)).Мы видим, что операторы в левой и правой частях уравнения(2.9)отображают любое разделимое состояние одинаково, из чего следуетидентичность этих двух операторов.2.19.
Предположим, что клонированиевозможно - т. е. существует линейный оператор U, который произРешение для упражненияводит клонирование любого состояниянием(2.10).ниямla 1 )и1 а)в соответствии с уравнеПрименив это уравнение к двум ортогональным состояla 2 )и их линейной суперпозиции, получимИ 1а 1 )®1О)=1а 1 )®1 а 1 )Иia 2 )®IO) =la2)®la2 )(Р2.б)(Р2.7)1а1) + 1а2)1 ) 1а1) + 1а2) ®~'-------==~л 1а1) + 1а2) ®О=ИJ2J2J2Однако, складывая (Р2.б) и (Р2.7) и используя линейность(Р2.8)U, находимчто противоречит уравнению (Р2.8).Решение для упражнен1!я2;20.По определению, если тензорноепроизведение операторов А® В действует на разделимое состояниеlab), оно порождает состояние Aja)® ВIЬ).
Его сопряженное (см. опр.А.21) должно, таким образом, удовлетворять выражениюсопр( Лiа) ®вjь)) =сопр[( Л ®Б)iаЬ) J= (аЬI( Л ®в)'.Но, согласно определению(2.11),сопряженным к тензорному произведению состояний является состояние42(Р2.9)РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ2Сравнивая последние два уравнения, получаем требуемое тождество.Решение для упражнения2.21а) Если операторы А в Vл и fз в Vв эрмитовы, их матрицы удовлетворяют A;i' = Ai*,i и Bii' = вi*,i .
Тогда в соответствии с результатомупр.2.13:При перестановке и транспонировании матрицы (А® В) получается та же матрица, а это признак эрмитова оператора (упр. А.53).Ь) Если оператор А в Vл унитарен, он отображает ортонормальныйбазис{lv.)}на другой ортонормальный базис {lv'.)} (см. упр.llлА.81). Подобным образом унитарный оператор В взует ортонормальные базисы,..,лVв преобра-{lw.)}и {lw'.)} друг на друга.
Тенl1{lvi w)}зорное произведение А и В отображает друг на другаи{1v'i w')},которые тоже являются ортонормальными базисами. Оператор, обладающий таким свойством, должен бытьунитарным.Решение для упражнения2.22.Локальный оператор-частныйслучай тензорного произведения операторов, который, согласно упр.2.17,не может преобразовывать разделимое состояние в запутанное.Обратная операция также невозможна, потому что любой унитарный оператор обратим. Если бы существовал унитарный оператор, реализующий такое преобразование, то оператор, обратныйк нему, превращал бы разделимое состояние в запутанное, а этоневозможно.Решение для упражнения2.23Решение для упражнения2.24а) &z®&zlФ+)=IФ+),нo &z,АлисаlФ+)=&z,БобlФ+)=IФ-).43ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯЬ) Поскольку А и В эрмитовы, они имеют спектральные разложения А= I,a;iu;)(u;I и В= I,Ьjlwj)(wjl• где {lu)} и {lw)} сутьjiортонормальные базисы в пространствах Алисы и Боба соответственно.
Следовательно,А®В= L,a;bj luiwj)(u;wj1 •ijгде{lu. ш.)} 1ортонормальный базис в)V ® W.ллПоскольку IЧ1)представляет собой собственное состояние А ®В с собственнымзначением х, это означает в соответствии с упр. А.66, что егоможно записать в виде линейной комбинации только тех элементов базиса{lu; ш)}, для которых(Р2.11)А это значит, что состояние IЧ1), если его измерить в базисе{ 1и.)lспроецируется на один из этих базисных элементов.® 1ш.)},лл}Измерение А Алисой и В Бобом вместе образуют совместное{lu; ш) }. Данное измерение, таким обравекторов lv) ® lw), для которых выполняетсяизмерение IЧ1) в базисезом, даст пару(Р2.11 ).
Но также имеет место равенство(Р2.12)где а.1 и Ь) суть значения наблюдаемых, связанные сlu.)Сравнивая уравнения (Р2.11) и (Р2.12), находим, что а;Решение для упражнения2.25а) (&,)JЧ1-)=(lн)(Hi-IV)(Vl)л ~(iHV)-iVH))== ~(lнv)+lvн))=IЧ1+);Ь) (&x)JЧ1-)=(IH)(Vl+IV)(Hl)л ~(IHV)-IVH))== ~(iw)-lнн))=-IФ-);441иbj =lw.).)х.РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ2с) (<\)JЧ1-)=(-ilH)(Vl+ilV)(Hi)A ~(iHV)-iVH))== ~(ilW)+ilHH))=ilФ+).Решение для упражненияа) Если l'l'Aв(t))-2.26решения уравнения Шрёдингера в соответствующих пространствах:то для их тензорного произведения имеет место равенствоd__О_ Ч1( t)) = dt[1'1'А(t))®1 '1' вСt))] =dt1=1\j1 А (t)) ®l 'I' вСt)) +1'1' А (t)) ®I \j1 вСt)) ==[-*НА 1'1' А (t)) ]®1"' вСt)) +1'1' А (t))®[-*нв 1'1' вСt))] ==-*(НА+ Hв)(l'I' A(t))®I"' вСt)))=i л=--HIЧ1Ct)).пЬ) НIЧ1)=(НА +Hв)(l'l'A)®l'l'в))==НА 1'1' A)®l'I' в)+Нв 1'1' A)®l'I' в)==(нА l\jl А)) <8) l\jl В)+ l\jl А) <8) ( Н В l\jl В))==(ЕА 1'1' A))®l'I' в)+l'I' А)®(Ев 1'1' в))==(ЕА +Ев )(1 '1' А )®1'1' в ))== ЕIЧ1).с) Поскольку собственные состояния локальных гамильтониановНА.в образуют ортонормальные базисы (упр.
А.60), тензорныепроизведения этих собственных состояний образуют ортонормальный базис в гильбертовом пространстве тензорных произведенийVA ® V8(упр.2.2). Любое собственное состояниеIЧ1Е) опе-ратора Н с энергией Е может быть разложено по этому базису.45ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯТеперь предположим, чтоданноеразложениесодержитчлен 1\lfл)которому соответствует энергия Ел+ Е8® l\lf8 ),* Е.
Тогда, как мы обнаружилив пункте Ь), этот член является также собственным состоянием полногодвусоставного гамильтониана с собственным значением, не равным Е. Ноиз спектральной теоремы (упр. А.60) следует, что собственные состояниянаблюдаемого, соответствующие разным его собственным значениям,ортогональны друг другу. Это означает, что членl\lf) ® l\lf8 )ортогоналенl'11Е). Но разложение вектора по базису не может содержать членов, ортогональных этому вектору. Мы пришли к противоречию.Решение для упражнения2.27.Согласно упр.2.9,состояние1'11-)может быть записано какЭто выражение подразумевает, что всякий раз, когда у Алисы естьфотон в состоянии 1е), фотон Боба находится в состоянии %+ е) .1Поскольку оба слагаемых имеют амплитуду 1/ .fi.
, соответствующие1/2.вероятности составятРешение для упражнения 2.28. Поскольку IH)1V) = (1+) - 1-) )/ .fi., имеет место равенство:=(1+) + 1-))/ .fi. и= _!_(1нн)-21нv)+21w)) =3= 1~ [(1+) +1-))®IH)-2(1+ )+1-) )®IV) +2(1+)-1-)) ®IV)] =з...,2=l~[l+)®IH)+l-)®(lн)-4IV))],з...,2а это то же самое, что(2.13).Решение для упражнения~) /N;22.29.Согласно(2.16),= L ['11 ij 12 = 1 .ijВ последнем уравнении мы воспользовались тем, что состояниенормировано.46l'11)РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫРешение для упражнения22.30а) Мы можем переписать интересующее нас состояние какIЧ1)=N ~[(IH)+ilV))®IV)+IH)®(IH)+IV))]==N ~[1нн)+21нv)+ilw)].Соответственно, (Ч11 Ч1) = ЗN2 , так что NЬ) Чтобы переписать состояние IЧ1) в виде=1 / J3 .(2.15), сгруппируем слагаемые, связанные с горизонтальной и вертикальной поляризацией у Алисы, и пронормируем каждое слагаемое заново:IЧ1) = ~ [IH)®(IH)+2IV) )+ilV)®IV)] =={!lн)®lн)1slv) +iЛlv)®lv).с) Из приведенного выше результата следует, что Алиса обнаружитIH)с вероятностью рrн5=б, и в этом случае состояние, приготов-ленное у Боба, будет 1Н)1s 1v) ; состояние же 1V) Алиса обнаружит с вероятностьюленное у Боба, будетprv1=-1 ,V).Решение для упражнения6в таком случае состояние, приготов-2.31('l'Боб ln) =(2(Hl-i (vl) 606 (21НН)+ з1нv)+41VН)) =1 VI) IH)=21Н) Ал и са (21нl-i\\БобБоб++ЗI Н) Алиса (2 (HI- i(Vl) 606 1V)Боб ++41 v) А~иса (2(HI- i(vl)Боб 1н)Боб ==(41 H)-ЗilH)+BIV) )Алиса= [(4-Зi)I H)+BIV) ]Алиса;(П1'1'Алиса)=(2(Нl-i(Vl)Алиса @(2IH)+ilV))Aлиca (-i(Hl-(Vl)Бoб ==[(2(Hl-i(Vl)(2IH)+ilV))]Aлиca (-i(Hl-(Vl)Бoб ==5(-i(Hl-(Vl)Бoб.Преобразуя кет в бра, не забывайте о комплексном сопряжении.47ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯРешение для упражнения2.32.Разложимla) и IЬ) по соответствующим базисам:la)= La; lv;);iIЬ)= IЬjlwj).)Тогда lаЬ)= Ia;Ьjlu;wj).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
