Главная » Просмотр файлов » Решения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А.

Решения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238819), страница 5

Файл №1238819 Решения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А. (Решения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А.) 5 страницаРешения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238819) страница 52020-10-28СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Опять же можно про­вести полный матричный расчет, но проще, пожалуй, заметить, чтоквадрат любой матрицы Паули представляет собой оператор тожде­ства и, таким образом,Отсюда следует, что среднеквадратичное отклонение равно( Л( &х®&у ) 2 ) = ( ( &х ®&у ) 2 ) - ( &х ®&у) 2 = 1 - О = 1 .Решение для упражнениялимое состояние 1аЬ) Е2.16.

Выберем произвольное разде­VА ® V8 и применим определение тензорногопроизведения операторов:CA1 ~)®Cfз1 fз2 )ia)iЬ) = А1 ~ ia)® fз1fз2 IЬ) = А1 (~ ia) )® fз1 (fз2 IЬ)) == (А1 ®В1 ) ( ~ а) ®fз2 IЬ)) = (А1 ®В1 )(~ ®В2 ) а) Ь) .111Мы видим, что операторы А1 ~ ®fз1 fз2 и (А1 ®fз1 )( ~ ®fз2 ) действуютна каждое разделимое состояние вVА ® V8одинаково. Поскольку этолинейные операторы, то же можно сказать и о запутанных состояниях,которые представляют собой линейные комбинации разделимыхсостояний. Это означает, что два оператора идентичны.Решение для упражненияЕV82.18. Для произвольных1 а)ЕVА и1 Ь)Емы опять воспользуемся определением тензорного произведенияоператоров и запишем:41ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯСА® В)iаЬ) = Лiа)®ВIЬ) ==(1 а1) (a2 Iа))® (1 Ь1 )(Ь2 IЬ)) =(2.4)= lаД)(а2 Ь2 lаЬ)== (lа 1 Ь1 )(а 2 Ь2 l)(lаЬ)).Мы видим, что операторы в левой и правой частях уравнения(2.9)отображают любое разделимое состояние одинаково, из чего следуетидентичность этих двух операторов.2.19.

Предположим, что клонированиевозможно - т. е. существует линейный оператор U, который произ­Решение для упражненияводит клонирование любого состояниянием(2.10).ниямla 1 )и1 а)в соответствии с уравне­Применив это уравнение к двум ортогональным состоя­la 2 )и их линейной суперпозиции, получимИ 1а 1 )®1О)=1а 1 )®1 а 1 )Иia 2 )®IO) =la2)®la2 )(Р2.б)(Р2.7)1а1) + 1а2)1 ) 1а1) + 1а2) ®~'-------==~л 1а1) + 1а2) ®О=ИJ2J2J2Однако, складывая (Р2.б) и (Р2.7) и используя линейность(Р2.8)U, находимчто противоречит уравнению (Р2.8).Решение для упражнен1!я2;20.По определению, если тензорноепроизведение операторов А® В действует на разделимое состояниеlab), оно порождает состояние Aja)® ВIЬ).

Его сопряженное (см. опр.А.21) должно, таким образом, удовлетворять выражениюсопр( Лiа) ®вjь)) =сопр[( Л ®Б)iаЬ) J= (аЬI( Л ®в)'.Но, согласно определению(2.11),сопряженным к тензорному произ­ведению состояний является состояние42(Р2.9)РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ2Сравнивая последние два уравнения, получаем требуемое тождество.Решение для упражнения2.21а) Если операторы А в Vл и fз в Vв эрмитовы, их матрицы удовлет­воряют A;i' = Ai*,i и Bii' = вi*,i .

Тогда в соответствии с результатомупр.2.13:При перестановке и транспонировании матрицы (А® В) получа­ется та же матрица, а это признак эрмитова оператора (упр. А.53).Ь) Если оператор А в Vл унитарен, он отображает ортонормальныйбазис{lv.)}на другой ортонормальный базис {lv'.)} (см. упр.llлА.81). Подобным образом унитарный оператор В взует ортонормальные базисы,..,лVв преобра-{lw.)}и {lw'.)} друг на друга.

Тенl1{lvi w)}зорное произведение А и В отображает друг на другаи{1v'i w')},которые тоже являются ортонормальными бази­сами. Оператор, обладающий таким свойством, должен бытьунитарным.Решение для упражнения2.22.Локальный оператор-частныйслучай тензорного произведения операторов, который, согласно упр.2.17,не может преобразовывать разделимое состояние в запутанное.Обратная операция также невозможна, потому что любой уни­тарный оператор обратим. Если бы существовал унитарный опе­ратор, реализующий такое преобразование, то оператор, обратныйк нему, превращал бы разделимое состояние в запутанное, а этоневозможно.Решение для упражнения2.23Решение для упражнения2.24а) &z®&zlФ+)=IФ+),нo &z,АлисаlФ+)=&z,БобlФ+)=IФ-).43ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯЬ) Поскольку А и В эрмитовы, они имеют спектральные разложе­ния А= I,a;iu;)(u;I и В= I,Ьjlwj)(wjl• где {lu)} и {lw)} сутьjiортонормальные базисы в пространствах Алисы и Боба соответственно.

Следовательно,А®В= L,a;bj luiwj)(u;wj1 •ijгде{lu. ш.)} 1ортонормальный базис в)V ® W.ллПоскольку IЧ1)представляет собой собственное состояние А ®В с собственнымзначением х, это означает в соответствии с упр. А.66, что егоможно записать в виде линейной комбинации только тех эле­ментов базиса{lu; ш)}, для которых(Р2.11)А это значит, что состояние IЧ1), если его измерить в базисе{ 1и.)lспроецируется на один из этих базисных элементов.® 1ш.)},лл}Измерение А Алисой и В Бобом вместе образуют совместное{lu; ш) }. Данное измерение, таким обра­векторов lv) ® lw), для которых выполняетсяизмерение IЧ1) в базисезом, даст пару(Р2.11 ).

Но также имеет место равенство(Р2.12)где а.1 и Ь) суть значения наблюдаемых, связанные сlu.)Сравнивая уравнения (Р2.11) и (Р2.12), находим, что а;Решение для упражнения2.25а) (&,)JЧ1-)=(lн)(Hi-IV)(Vl)л ~(iHV)-iVH))== ~(lнv)+lvн))=IЧ1+);Ь) (&x)JЧ1-)=(IH)(Vl+IV)(Hl)л ~(IHV)-IVH))== ~(iw)-lнн))=-IФ-);441иbj =lw.).)х.РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ2с) (<\)JЧ1-)=(-ilH)(Vl+ilV)(Hi)A ~(iHV)-iVH))== ~(ilW)+ilHH))=ilФ+).Решение для упражненияа) Если l'l'Aв(t))-2.26решения уравнения Шрёдингера в соответству­ющих пространствах:то для их тензорного произведения имеет место равенствоd__О_ Ч1( t)) = dt[1'1'А(t))®1 '1' вСt))] =dt1=1\j1 А (t)) ®l 'I' вСt)) +1'1' А (t)) ®I \j1 вСt)) ==[-*НА 1'1' А (t)) ]®1"' вСt)) +1'1' А (t))®[-*нв 1'1' вСt))] ==-*(НА+ Hв)(l'I' A(t))®I"' вСt)))=i л=--HIЧ1Ct)).пЬ) НIЧ1)=(НА +Hв)(l'l'A)®l'l'в))==НА 1'1' A)®l'I' в)+Нв 1'1' A)®l'I' в)==(нА l\jl А)) <8) l\jl В)+ l\jl А) <8) ( Н В l\jl В))==(ЕА 1'1' A))®l'I' в)+l'I' А)®(Ев 1'1' в))==(ЕА +Ев )(1 '1' А )®1'1' в ))== ЕIЧ1).с) Поскольку собственные состояния локальных гамильтониановНА.в образуют ортонормальные базисы (упр.

А.60), тензорныепроизведения этих собственных состояний образуют ортонор­мальный базис в гильбертовом пространстве тензорных произве­денийVA ® V8(упр.2.2). Любое собственное состояниеIЧ1Е) опе-ратора Н с энергией Е может быть разложено по этому базису.45ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯТеперь предположим, чтоданноеразложениесодержитчлен 1\lfл)которому соответствует энергия Ел+ Е8® l\lf8 ),* Е.

Тогда, как мы обнаружилив пункте Ь), этот член является также собственным состоянием полногодвусоставного гамильтониана с собственным значением, не равным Е. Ноиз спектральной теоремы (упр. А.60) следует, что собственные состояниянаблюдаемого, соответствующие разным его собственным значениям,ортогональны друг другу. Это означает, что членl\lf) ® l\lf8 )ортогоналенl'11Е). Но разложение вектора по базису не может содержать членов, орто­гональных этому вектору. Мы пришли к противоречию.Решение для упражнения2.27.Согласно упр.2.9,состояние1'11-)может быть записано какЭто выражение подразумевает, что всякий раз, когда у Алисы естьфотон в состоянии 1е), фотон Боба находится в состоянии %+ е) .1Поскольку оба слагаемых имеют амплитуду 1/ .fi.

, соответствующие1/2.вероятности составятРешение для упражнения 2.28. Поскольку IH)1V) = (1+) - 1-) )/ .fi., имеет место равенство:=(1+) + 1-))/ .fi. и= _!_(1нн)-21нv)+21w)) =3= 1~ [(1+) +1-))®IH)-2(1+ )+1-) )®IV) +2(1+)-1-)) ®IV)] =з...,2=l~[l+)®IH)+l-)®(lн)-4IV))],з...,2а это то же самое, что(2.13).Решение для упражнения~) /N;22.29.Согласно(2.16),= L ['11 ij 12 = 1 .ijВ последнем уравнении мы воспользовались тем, что состояниенормировано.46l'11)РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫРешение для упражнения22.30а) Мы можем переписать интересующее нас состояние какIЧ1)=N ~[(IH)+ilV))®IV)+IH)®(IH)+IV))]==N ~[1нн)+21нv)+ilw)].Соответственно, (Ч11 Ч1) = ЗN2 , так что NЬ) Чтобы переписать состояние IЧ1) в виде=1 / J3 .(2.15), сгруппируем сла­гаемые, связанные с горизонтальной и вертикальной поляриза­цией у Алисы, и пронормируем каждое слагаемое заново:IЧ1) = ~ [IH)®(IH)+2IV) )+ilV)®IV)] =={!lн)®lн)1slv) +iЛlv)®lv).с) Из приведенного выше результата следует, что Алиса обнаружитIH)с вероятностью рrн5=б, и в этом случае состояние, приготов-ленное у Боба, будет 1Н)1s 1v) ; состояние же 1V) Алиса обнаружит с вероятностьюленное у Боба, будетprv1=-1 ,V).Решение для упражнения6в таком случае состояние, приготов-2.31('l'Боб ln) =(2(Hl-i (vl) 606 (21НН)+ з1нv)+41VН)) =1 VI) IH)=21Н) Ал и са (21нl-i\\БобБоб++ЗI Н) Алиса (2 (HI- i(Vl) 606 1V)Боб ++41 v) А~иса (2(HI- i(vl)Боб 1н)Боб ==(41 H)-ЗilH)+BIV) )Алиса= [(4-Зi)I H)+BIV) ]Алиса;(П1'1'Алиса)=(2(Нl-i(Vl)Алиса @(2IH)+ilV))Aлиca (-i(Hl-(Vl)Бoб ==[(2(Hl-i(Vl)(2IH)+ilV))]Aлиca (-i(Hl-(Vl)Бoб ==5(-i(Hl-(Vl)Бoб.Преобразуя кет в бра, не забывайте о комплексном сопряжении.47ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯРешение для упражнения2.32.Разложимla) и IЬ) по соответ­ствующим базисам:la)= La; lv;);iIЬ)= IЬjlwj).)Тогда lаЬ)= Ia;Ьjlu;wj).

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
13,44 Mb
Тип материала
Предмет
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6489
Авторов
на СтудИзбе
303
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее