Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 85
Текст из файла (страница 85)
С другой стороны, в разрезанных областях мы можемопределить обратимые голоморфные матричные решения X (t) матричныхдифференциальных уравнений dX = Ω X с начальными условиями X (0) = E.Определим голоморфный матричный коциклH = X · X−1на U .(18.3)Очевидно, что для него выполняются тождества коцикла. Дифференцируясоотношение (18.3), имеем:dH = dX · X−1 + X (−X−1 dX · X−1 ) = Ω H − H Ω .§ 18.2. Связности на тривиальном расслоении349Пусть π: S → U0 — голоморфное векторное расслоение над диском U0 ,построенное в теореме 17.6, для которого коцикл H = {H } задаёт наборотображений склейки.
Тогда набор матричных форм Ω задаёт мероморфнуюсвязность ∇ на S с множеством полюсов Σ. Поскольку H (0) = E, отображение голономии слоя π−1 (0) для этой связности вдоль петель γ совпадаетс заданными линейными операторами ∆ . В частности, голономия граничнойокружности диска U0 тривиальна ввиду (18.2).Чтобы «заклеить дыру» и продолжить построенное расслоение π на дополнительный к U0 диск P\U0 , рассмотрим тривиальное расслоение такого жеранга n над диском U1 = {|t| > R − "} ⊂ P на сфере Римана вместе с тривиальнойсвязностью ∇ = d.Любое линейное обратимое отображение слояπ−1 (a) → C ,a ∈ U01 = U0 ∩ U1 ,можно продолжить единственным образом как сопрягающее отображениеH01 : π−1 (U01 ) → U01 × C ,расслоенное над тождественным отображением кольца U01 , которое переводит горизонтальные сечения ∇ в горизонтальные (постоянные) сечениятривиального расслоения.
Теперь мы можем стандартным образом построитьголоморфное расслоение над объединением U0 ∪ U1 = P с голоморфной связностью на нём без особых точек вне U0 и с заданной группой голономии в U0 .§ 18.2. Связности на тривиальном расслоенииЕсли абстрактное расслоение π: S → P, построенное в теореме 18.4, голоморфно эквивалентно тривиальному расслоению π0 : P × C → P, то глобальноопределённая матрица связности является решением проблемы Римана —Гильберта в классическом смысле.
Однако это может произойти разве чтослучайно — в общем случае расслоение будет нетривиальным.В то же время мы можем считать, что расслоение уже представлено в стандартной форме Биркгофа — Гротендика, т. е. пара тривиализаций выбранатаким образом, что коцикл, задающий отображение склейки между ними,представляется стандартной матрицей t .Для такого стандартного расслоения мы построим явную мероморфнуютривиализацию: отображение расслоений F : S → P × C с единственнымполюсом на бесконечности.
Это отображение расслоений задано коцепью F == {id, t − }, где D — тип расщепления.Тривиализующее отображение F переводит связность ∇ на S в мероморфную связность на стандартном расслоении над P. Получающаяся при этомсвязность имеет такую же группу голономии, хотя её особенность в бесконечности будет, вообще говоря, лишь регулярной нефуксовой.Расслоение π, построенное в теореме 18.4, голоморфно эквивалентно стандартному расслоению Биркгофа — Гротендика; эта эквивалентность задаётсяголоморфной матричной коцепью G = (G0 , G1 ).
Мероморфное отображениерасслоений F, тривиализующее π, является композицией {F0 = G0 , F1 = t − G1 },350Глава 18. Проблема Римана — Гильбертакомпоненты которой соответствуют вертикальным стрелкам коммутативнойдиаграммы:U0 ⊃ A −−−−→ A ⊂ U10 yy 1U0 ⊃ A −−−−→ A ⊂ U1 −idyyA = U0 ∩ U1 ,P = U0 ∪ U1 ,G0 ∈ GL(n, O (U0 )),(18.4)G1 ∈ GL(n, O (U1 )).idU0 ⊃ A −−−−→ A ⊂ U1Верхняя часть этой диаграммы соответствует голоморфной эквивалентности расслоения π и стандартного расслоения ξ , нижняя соответствуетмероморфной тривиализации.Фуксова связность ∇ на расслоении π, построенная в теореме 18.4, является F-сопряжённой со связностью ∇0 на тривиальном расслоении π0 . Эта связность очевидно регулярна, даже если точка t = ∞ была сингулярной (фуксовой)для ∇.
Это немедленно даёт положительное решение проблемы (ii) (см. с. 345).Теорема 18.5. Любая группа монодромии может быть реализована регулярной линейной системой на сфере Римана. Более того, регулярную системувсегда можно построить таким образом, что все её особенности, за исключением не более чем одной, будут фуксовыми.Несколько неприятным выглядит тот факт, что особенность связности ∇0 ,появляющаяся в точке t = ∞, является нефуксовой, даже если эта точкабыла неособой для ∇. Однако регулярная особенность ∇0 в бесконечностииногда может быть дополнительно упрощена с помощью монопольных калибровочных преобразований.
Напомним, что монопольные калибровочныепреобразования — это мероморфные калибровочные отображения тривиального расслоения на себя, неособые во всех точках P, кроме точки t = ∞(см. определение 16.34).Следующий результат был впервые получен 1 И. Племелем в [52].Теорема 18.6. Если хотя бы один из операторов M диагонализируем,соответствующие данные монодромии могут быть реализованы голономиейфуксовой системы P.Доказательство.
Рассмотрим абстрактное расслоение π, реализующеезаданную группу голономии (см. теорему 18.4). Без потери общности можносчитать, что это расслоение тривиализовано над двумя картами U0 , U1 с помощью коцикла Биркгофа — Гротендика H и связность ∇ представлена двумямероморфными 1-формами Ω0 , Ω1 . Также без ограничения общности можносчитать, что диагонализируемый оператор монодромии соответствует особойточке t = ∞ и соответствующая фуксова связность над U1 задана фуксовой1Требование диагонализируемости было пропущено в [52], как было отмечено Ильяшенкои Трайбихом.351§ 18.3.
Инвариантные подрасслоения и неприводимостьсистемой стандартного вида и уже приведена к диагональному виду:dX = Ω1 X ,Ω1 = Λdt,tΛ = diag{λ1 , . . . , λ }.(18.5)Рассмотрим мероморфное калибровочное преобразование (18.4), тривиализующее расслоение π. Это преобразование переводит ∇ в мероморфнуюсвязность ∇0 , заданную единственной мероморфной матричной 1-формойΩ ∈ Mat(n, Λ1 (P) ⊗ M (P)), все особенности которой (кроме бесконечности)уже фуксовы.Особенность в бесконечности является регулярной нефуксовой и имеетфундаментальное (многозначное) матричное решение вида X (t) = t − G1 t Λ ,что следует из явной формы (18.5) и диаграммы (18.4), где G1 — голоморфнаяобратимая матричная функция вблизи t = ∞.Обращая порядок сомножителей с помощью леммы 16.36, мы можемпереписать решение X (t) в следующем виде:X (t) = Π −1 (t)G 0 (t) t − t Λ ,0G 0 ∈ GL(n, O (P, ∞)),Π ∈ GL(n, C[t]).После применения монопольного калибровочного преобразования Π получаем матричную форму Ω0 = dΠ · Π −1 + ΠΩΠ −1 .
Все конечные особенностиформы Ω остаются фуксовыми (поскольку порядок полюса не может измениться при локальных голоморфных заменах), и особая точка в бесконечности регулярна. Соответствующая линейная система имеет фундаментальное0матричное решение X 0 (t) = G 0 (t) t Λ− , поскольку диагональные матрицы00коммутируют и t − t Λ = t Λ− .Из данного представления немедленно следует, что Ω0 имеет полюс перdtвого порядка на бесконечности, главный член которого сопряжён (Λ − D 0 ) ,tт.
е. Ω0 также фуксова в бесконечности.§ 18.3. Инвариантные подрасслоения и неприводимостьРазрешимость проблемы Римана — Гильберта для произвольных данныхмонодромии существенным образом определяется существованием и структурой инвариантных подпространств голономии.Пусть π: S → T — произвольное голоморфное векторное расслоение с мероморфной связностью ∇ на ней.Определение 18.7. Подрасслоение L ⊂ S называется ∇-инвариантным,если его слои переходят друг в друга под действием любого оператора горизонтального переноса.Иными словами, L является инвариантным, если любой оператор параллельного переноса ∆γ между двумя слоями τ , τ вдоль любого пути γ,соединяющего эти точки в T \Σ, отображает L = L ∩ τ на L = L ∩ τ .Подпространство ` ⊂ C инвариантно относительно линейной группыG ⊂ GL(n, C), если оно инвариантно относительно любого оператора этойгруппы. Очевидно, что для конечно порождённой группы G = 〈M1 , .
. . , M 〉достаточно проверить это условие для образующих.352Глава 18. Проблема Римана — ГильбертаПоскольку операторы монодромии ∆γ для всех петель γ ∈ π1 (T \Σ, a)являются отображениями параллельного переноса специального вида, любоеподрасслоение L ⊂ S, инвариантное относительно мероморфной связности,порождает инвариантное подпространство ` = L ∩ τ для группы монодромии(вне зависимости от типа особых точек). Обратное утверждение справедливотолько для регулярных связностей (ср.
с задачей 18.4).Предложение 18.8. Пусть ∇ — регулярная мероморфная связность на голоморфном расслоении π: S → T.Если ` ⊂ τ = π−1 (a) является линейным пространством (подслоем), инвариантным относительно всех операторов голономии ∆γ , γ ∈ π1 (T \Σ, a),тогда существует голоморфное подрасслоение L ⊂ S, инвариантное относительно ∇ и продолжающее ` в том смысле, что L ⊃ `.Доказательство. Единственный кандидат на роль такого подрасслоения — это насыщение ` горизонтальными слоями. Мы покажем, что это насыщение действительно является голоморфным подрасслоением S, а именно,что оно продолжается голоморфно во все регулярные особые точки.Шаг 1. Параллельным переносом вдоль пути, соединяющим точку a в базес любой неособой точкой t ∈/ Σ, мы можем перенести подпространство ` в подпространство L(t) на любом слое π−1 (t).
Результат этого переноса не зависит отвыбора пути, так как ` инвариантно относительно всех операторов голономии.Подпространства L(t), t ∈/ Σ, голоморфно зависят от точки в базе: чтобыпоказать это локально в окрестности любой точки b ∈ T \Σ, достаточновыбрать тривиализацию, в которой форма связности тождественно равнанулю. В этой тривиализации L(t) не зависит от t.Остаётся доказать, что подрасслоение L над T \Σ аналитически продолжается в любую особую точку. Это чисто локальная задача, которую можнорешать в фиксированной тривиализации (C, 0) × C .Шаг 2. Пусть X (t) является фундаментальной матрицей решения соответствующей линейной системы dX = ΩX .Рассмотрим сначала случай тривиальной монодромии, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
