Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 87
Текст из файла (страница 87)
, M }, такие что Mне имеют общих нетривиальных инвариантных подпространств, могут бытьреализованы линейной системой с рациональной матричной функцией Ω,имеющей только простые полюсы в заданных точках и не имеющей других356Глава 18. Проблема Римана — Гильбертаособых точек.
Это наиболее сильная, третья форма разрешимости проблемыРимана — Гильберта (см. с. 345).Доказательство. В отличие от предыдущих доказательств, когда мы начинали с произвольной фуксовой связности, определённой набором 1-форм {Ωα }на абстрактном голоморфном векторном расслоении, реализующей даннуюгруппу голономии, в данном случае мы явно используем свободу в выбореформ связности Ω , реализующих образующие группы голономии.
При этомдостаточно менять только одну из этих форм.Более точно, мы будем полагать, что одна из заданных особенностейнаходится в точке t = ∞ и соответствующий оператор голономии верхнетреугольный. Такая голономия может быть реализована локальной связностью вида Ω = A t −1 dt с верхнетреугольной матрицей-вычетом A = A ,его фундаментальное матричное решение t . Не меняя голономию ∆ ,можно заменить Ω мероморфно калибровочно эквивалентной 1-формой,что соответствует замене матричного решения другой матричнозначнойфункцией t t .
Здесь N — целочисленная диагональная матрица с возрастающими коэффициентами ν , которые будут подобраны позднее. Болееподробно, мы рассматриваем новую форму связности, имеющую видΩ0 = Nt −1 dt + t Ω t − .(18.8)Согласно стандартным аргументам, член t Ω t − имеет полюс первогопорядка на бесконечности, если матрица A верхнетреугольна, а числа νупорядочены по возрастанию ν1 < . . . < ν .Обозначим через π голоморфное векторное расслоение, полученноепутём «склеивания» связностей, заданных формами Ω1 , . . . , Ω−1 , Ω . Это расслоение оснащено мероморфной связностью, заданной указанной выше коцепью 1-форм, которую мы будем обозначать через ∇ .
Связность ∇ неприводима по построению. Следовательно, тип расщепления D = diag{d1 , . . . , d } == D(N) расслоения удовлетворяет неравенствам из теоремы 18.12.Рассмотрим мероморфную тривиализацию (18.4) расслоения π . Какобычно, она имеет только фуксовы особенности во всех конечных точках,и регулярную особенность на бесконечности, фундаментальная матрицарешения которой имеет видX (t) = t − G1 (t) t t ,где разделяющая диагональная матрица D и голоморфная обратимая матрица G1 (t) зависят от диагональной матрицы N. По лемме о перестановке 16.36,существует монопольное калибровочное преобразование, которое приводитфундаментальное решение X 0 к следующей форме:X 0 (t) = G 0 (t) t − t t = G 0 (t) t − + t ,00G 0 ∈ GL(n, O (P, ∞)),где целочисленная диагональная матрица D 0 образована теми же элементами d в другом порядке.Кроме того (и это ключевое место доказательства), если последовательность ν возрастает достаточно быстро и последовательность d0 удовлетворяет§ 18.5.
Контрпример Болибруха3570неравенству |d0 − d+1| ¶ (m − 2)(n − 1) (ср. с (18.6)), то последовательность00ν = ν − d также является возрастающей. Чтобы добиться её монотонности,достаточно потребовать, чтобы неравенство ν+1 − ν > (m − 2)(n − 1) выполнялось для любых i = 1, . . . , n − 1.Из монотонности ν0 следует, что особенность фундаментального реше0ния t − + t фуксова (напомним, что A верхнетреугольная). Умножениеслева на голоморфную обратимую матрицу G 0 не нарушает этот факт: послемероморфной тривиализации F и соответствующего монопольного калибровочного преобразования мы получаем тривиальное расслоение с фуксовойсвязностью на нём.§ 18.5. Контрпример БолибрухаВ этой главе мы опишем приводимую группу матриц, которая не можетбыть реализована как группа голономии фуксовой связности тривиальногорасслоения.
Более точно, мы опишем препятствия, которые не позволяютданной группе матриц быть реализованной фуксовой связностью тривиального расслоения. Аналогичные препятствия получаются в нетривиальныхрасслоениях.Напомним, что линейный оператор M ∈ GL(n, C) над полем C всегда имеетинвариантные подпространства каждой из размерностей k = 1, . .
. , n − 1(см. упражнение 18.6). Существуют операторы, которые не имеют другихинвариантных подпространств.Определение 18.15. Линейный оператор M : C → C называется моноблоком 2 , если его жорданова нормальная форма состоит из единственнойклетки максимального размера.По определению, спектр каждого моноблока одноточечный, т. е. оператор имеет единственное собственное значение ν и для всякого k ¶ n рангстепени (M − νE) в точности равен n − k.Лемма 18.16.
Моноблочный оператор на n-мерном комплексном пространстве имеет в точности одно инвариантное подпространство каждойпромежуточной размерности k между 1 и n − 1. В базисе, в котором M имеетверхнетреугольную матрицу, эти подпространства натянуты на первые kкоординатных векторов.Доказательство. Без потери общности, положим единственное собственное значение M равным нулю, ν = 0, т. е. будем считать M нильпотентным.Если V является инвариантным подпространством размерности k ¶ nоператора M, то ограничение M на V также должно быть нильпотентным.Более точно, выполняется M | = 0. Но для нильпотентного оператора Mкласса B ранг M в точности равен n − k, т.
е. dim Ker M = k, и следовательно, Vобязан совпадать с Ker M , будучи, таким образом, однозначно определённым.Остаётся заметить, что для верхнетреугольной нильпотентной матрицы M,ядро Ker M образовано первыми k базисными векторами.2Термин предложен С. Яковенко.358Глава 18. Проблема Римана — ГильбертаСтруктура моноблока достаточно «жёсткая»: например, любой моноблокимеет единственный матричный логарифм с точностью до умножения на скалярную матрицу (ср.
с замечанием 18.13), который также является моноблоком(задача 18.7). Иными словами, если моноблок реализует голономию фуксовойособой точки, которая допускает линеаризацию (т. е. эквивалентна эйлеровойсистеме), то соответствующая матрица-вычет также является моноблоком.В классе неэйлеровых систем возможны действительно различные (локально голоморфно неэквивалентные) фуксовы реализации моноблочнойголономии. В частности, фуксова особая точка с моноблочной голономиейможет иметь различные (хотя обязательно резонансные) собственные значения. Следующая лемма может рассматриваться как «нелинейный» аналогтого факта, что моноблочная матрица имеет моноблочный логарифм.Лемма 18.17.
Если фуксова особая точка связности ∇ ранга n имеет моноблочную локальную монодромию, то для всякой промежуточной размерности k,1¶k ¶n−1, существует ровно одно голоморфное подрасслоение π : L → (C, 0),rank π = k, инвариантное относительно ∇, и вычет ограничения ∇ = ∇|этой связности на подрасслоение удовлетворяет неравенствам:11tr res0 ∇ ¾ tr res0 ∇.nk(18.9)Неравенство обращается в равенство для всех k = 1, . . . , n − 1 одновременно и только в случае, когда матрица-вычет res0 ∇ имеет единственноесобственное значение.Доказательство.
Это утверждение полностью локально, поэтому егоможно проверить для линейной системы в нормальной форме Пуанкаре —Дюлака — Левеля (16.7).Поскольку монодромия имеет единственное собственное значение, всесобственные значения λ1 , . . . , λ матрицы-вычета res0 ∇ находятся в однойи той же резонансной группе, т. е. отличаются только на целые числа, чтоследует из явной формулы (16.11). Расположим собственные числа в невозрастающем порядке: λ1 ¾ . .
. ¾ λ (напомним вновь, что это означает неотрицательность всех разностей вида λ − λ ¾ 0 для i < j). Тогда матрицасвязности A(t) в (16.7) является верхнетреугольной (см. замечание 16.14).Для системы (16.7) в верхнетреугольной форме каждое координатноеподпространство L = {x+1 = . . . = x = 0} ⊂ (C, 0)×C , порождаемое первыми kкоординатными векторами, инвариантно и, следовательно, составляет «постоянное» инвариантное подрасслоение π : L → (C, 0) ранга k.
Более того, следматрицы-вычета, ограниченного на L , является суммой первых k собственныхзначений λ1 , . . . , λ матрицы-вычета. В то же время, поскольку наибольшиесобственные значения идут первыми, мы мгновенно получаем неравенства11tr res0 ∇ ¾ tr res0 ∇nkдля ограничения ∇ связности ∇ на подрасслоение L . Равенство возможнотогда и только тогда, когда наименьшее и наибольшее собственные значенияравны, т. е.
λ1 = . . . = λ = λ.359§ 18.5. Контрпример БолибрухаЧтобы доказать единственность, отметим, что, поскольку рассматриваетсясвязность типа Болибруха, каждое из инвариантных подпространств ` ∈ Cранга k для оператора голономии M ∈ GL(n, C) единственно и его продолжениедо голоморфного инвариантного подрасслоения обязательно совпадает с L .
Глобализация этой конструкции приводит к очень важному понятию,которое играет ключевую роль в построении контрпримера.Определение 18.18. Мероморфная связность голоморфного векторногорасслоения называется связностью Болибруха, если расслоение имеет нетривиальное инвариантное подрасслоение, все особые точки связности фуксовы,а операторы локальной голономии всех особых точек являются моноблочными.Глобальный аналог леммы 18.17 принимает следующую форму. Отметим,что, в отличие от «неравенств» между комплексными числами, понимаемымив «искусственном» смысле уравнения (11.3), неравенство (18.10) связываетдва рациональных числа.Теорема 18.19.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
