Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 91
Текст из файла (страница 91)
Таким образом, применение любого оператора Q ∈ LO (T ) доказывает, что g = Q f имеетконтролируемый рост в t0 и, следовательно, P является регулярным.В качестве мгновенного следствия этого результата имеем локальнуютеорему о полной факторизации.Теорема 19.15. Любой дифференциальный оператор L ∈ LO (T ), имеющийрегулярную особенность в точке t0 ∈ T, допускает полную факторизациюв малой окрестности U = (T , t0 ) этой точки:L = P P−1 .
. . P1 ,P ∈ LO (U),ord P = 1,(19.16)где множители P имеют порядок 1, мероморфные коэффициенты в U и регулярную особенность в t0 .§ 19.4. Фуксовы особенности уравнений высших порядков371Доказательство. Группа монодромии любого оператора в проколотойокрестности U изолированной особой точки циклична и, следовательно,всегда имеет одномерное инвариантное подпространство. По теореме 19.13L = L0 делится справа оператором первого порядка P1 ∈ LO (U), главный членкоторого может быть выбран произвольно. По лемме 19.14, оператор P1 и еголевый кофактор L1 являются регулярными в t0 .
Таким образом, процесс можетбыть продолжен по индукции вплоть до достижения полной факторизации. Замечание 19.16. Отметим, что главные члены операторов P1 , . . . , P−1могут быть выбраны произвольным образом, поскольку умножение на мероморфный росток является единицей алгебры LO (n, T ).§ 19.4. Фуксовы особенности уравненийвысших порядковАналогично общему случаю линейных систем, если дифференцирование D само не имеет особенностей в регулярной особой точке уравнения, этаточка не обязательно является полюсом первого порядка для сопутствующейсистемы. Однако, в отличие от общего случая, можно привести класс уравнений, имеющий «полюс первого порядка», который на самом деле совпадаетс классом регулярных уравнений.Причина, по которой слова в предыдущем абзаце заключены в кавычки, состоит в неинвариантности понятия.
Действительно, сопутствующаясистема (19.6) по определению имеет особенность в точке t0 ∈ T, если либо век∂торное поле D имеет особенность в t0 , т. е. D = r(t) в локальных координатах∂tна T, причём ord0 r(t) > 0, либо D неособое (ord0 r(t) = 0), но некоторые из отношений a /a0 , i = 1, . . . , n имеют полюсы в t0 (в этом случае мы обозначимчерез ord A максимальный порядок полюсов всех элементов мероморфнойматричной функции A(t), взятый с обратным знаком).
В обоих случаяхпорядок полюса, определённый как ord r − ord A, положителен. Однако этотпорядок явно зависит от выбора дифференцирования D, использованного призаписи сопутствующей системы.Определение 19.17. Дифференциальный оператор L называется фуксо∂вым в конечной точке t0 , если после разложения по степеням D 0 = (t − t0 )∂tи приведению к монической форме он имеет голоморфные коэффициенты.Очевидно, вместо линейного векторного поля D 0 можно использовать любой другой голоморфный росток с простой особенностью в t0 .
Перераскладывая выражение для монического оператора D 0 + . . . + a−1 D 0 + a по степеням«обычного» дифференцирования D = d/dt, мы получаем свойство, котороечасто используется как определение конечной фуксовой особенности [36, 30].Предложение 19.18. Монический операторL = D + . . . + a ∈ LO (n, C),D=d,dtимеет фуксову особенность в конечной точке t = t0 ∈ C тогда и только тогда,когда ord0 a (t) ¾ −k для всех k = 0, . . .
, n.372Глава 19. Линейные дифференциальные уравнения высших порядковПреимущество инвариантного определения 19.17 состоит в том, чтооно может быть автоматически переформулировано для случая фуксовойособенности на бесконечности, t0 = ∞ ∈ P (задача 19.6).Из леммы Соважа 16.10 немедленно следует, что любая фуксова особенность оператора L ∈ LO (T ) всегда является регулярной.
Несколько неожиданным представляется тот факт, что обратное утверждение также верно дляуравнений высших порядков.Теорема 19.19 (Л. Фукс, 1868). Любая регулярная особенность линейногообыкновенного дифференциального уравнения с мероморфными коэффициентами фуксова.Доказательство. Шаг 1. Для уравнения первого порядка утверждениетеоремы проверяется прямым вычислением. Предположим, что особенностьнаходится в точке t = 0. Рассмотрим уравнение L f = 0, где L = D 0 + a01 (t) расклаdдывается с помощью стандартного эйлеровского дифференцирования D 0 = t .dtЕсли L имеет регулярную особенность в нуле (t = 0), его решение можнопредставить как f (t) = t λ h(t) для подходящего комплексного λ ∈ C и некоторой мероморфной функции h(t).
Заменяя λ подходящим целым числом, мыможем дополнительно считать, что h голоморфна и голоморфно обратимав t = 0. Подставляя это представление для f в уравнение D 0 f + a01 f = 0, мыполучаем формулу−a01 (t) =D0 fD0 h=λ+.fhdПоскольку h голоморфно обратима и D 0 = t голоморфно, мы имеем, что a01dtголоморфна в t0 , и следовательно, L = D 0 + a01 фуксова.Шаг 2. Справедливость теоремы для случая произвольной степени следуетиз теоремы факторизации 19.15.
В соответствии с ней любой регулярныйоператор L может быть представлен в виде произведения L = a00 P . . . P1 , гдекаждый P является оператором первого порядка, регулярным при t = 0.Поскольку главные коэффициенты P могут быть выбраны произвольными(см. замечание 19.16), мы предполагаем, чтоP = tD + a0 = D 0 + a0 ,i = 1, . .
. , n.По шагу 1, каждый P является фуксовым, т. е. свободные члены a01 , . . . , a0обязательно голоморфны в точке t0 . Но тогда произведение P . . . P1 начинается с главного члена D 0 , и после полного разложения все последующиечлены являются голоморфными. Иными словами, L отличается от фуксовогооператора на мероморфный множитель a00 , и следовательно, сам являетсяфуксовым.Сопутствующая система может быть переписана в пфаффовой форме.Пусть ω ∈ Λ1 (T ) ⊗ M (T ) — скалярная мероморфная 1-форма, двойственнаяк векторному полю D: по определению, это означает, что ω(D) ≡ 1.
Из двойственности следует, что D имеет простую особенность в t0 ∈ T тогда и толькотогда, когда ω имеет простой полюс в этой точке. С использованием этой§ 19.5. Струйные расслоения и инвариантные конструкции373формы сопутствующая система может быть записана в пфаффовой формеследующим образом:dx0x001x1 01 x1 .. = ω . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .. ,. . 0 1x−2x−2b b−1 . . . b2 b1x−1x−1(19.17)где элементы b1 ,. . ., b ∈O (T, t0 ) голоморфны, а форма ω имеет полюс в точке t0 .Матрица-вычет соответствующей матричной 1-формы Ω = ωA равнаA(t0 ) · res0 ω. Её собственные значения называются характеристическимипоказателями фуксовой (или регулярной) особенности.Пример 19.20. Любое линейное обыкновенное дифференциальное уравнение с регулярной особенностью в точке t = 0 может быть записано в формеL f = 0, где−1∂(19.18)L = D 0 + a1 (t)D 0+ . .
. + a−1 (t)D 0 + a (t), D 0 = t ,∂tмоническое разложение по степеням эйлерова дифференцирования D 0 с коэффициентами a (t), голоморфными в нуле. Характеристические показателисоответствующей особенности — это корни многочленаλ + a1 (0)λ−1 + . . . + a−1 (0)λ + a (0) = 0.(19.19)Очевидно, вместо эйлерова оператора можно использовать любой другойоператор D 00 с простой особенностью и собственным значением (матрицейлинеаризации 1×1) равным 1 (см.
также задачу 19.5).Фуксовы особенности в сопутствующей форме (19.17) сравнительно более«жёстки», чем особенности линейных систем вообще. Например, аналитическое приведение к нормальной форме Пуанкаре — Дюлака — Левеля уничтожает «сопутствующую структуру». Несмотря на это, с помощью леммы 16.18можно построить «заготовку» для построения аналитических (разветвлённых)решений линейного уравнения рядом с фуксовой особенностью в формеXh (t) t λ p (ln t),h ∈ O (C, 0),1где λ1 , . . .
, λ — характеристические показатели и p — многочлены с постоянными коэффициентами. Степени этих многочленов определяются резонансными соотношениями λ ≡ λ mod Z между характеристическими показателями,что задаётся структурой матрицы I в (16.10).§ 19.5. Струйные расслоенияи инвариантные конструкцииДля описания глобальной структуры регулярных уравнений нам требуетсягеометрическое (инвариантное) описание струйных расслоений. Напомнимкратко их построение; подробности см. в [85].374Глава 19.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
