Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 94
Текст из файла (страница 94)
, f ) ≡ 0, то эти функции линейно независимынад C. Верно ли это для C ∞ -гладких функций?Упражнение 19.4. Проведите подробное доказательство предложения 19.18.Задача 19.5. Найдите характеристические числа особой точки нуль дляфуксового оператора L = D + a1 D −1 +. . .+ a с голоморфными коэффициенdтами a ∈ O (C, 0) и голоморфным векторным полем D = (ct + .
. .) с c 6= 0.dtЗадача 19.6. Докажите, что точка t0 = ∞ является фуксовой для монического линейного оператора (19.2), разложенного по степеням D = ∂/∂t с a0 ≡ 1,если и только если ord∞ a ¾ k + 2 − n.Упражнение 19.7. Пусть s = λ1 + . . . + λ — сумма характеристическихчисел регулярной особой точки линейного уравнения L f = 0. Докажите, чтовронскиан фундаментальной системы решений w(t) = W ( f1 , . . . , f ) можетбыть представлен в виде w(t) = t +(−1)/2 h(t), h ∈ O (C, 0), h(0) 6= 0.Задача 19.8. Докажите, что расслоение 1-струй J 1 (T ) эквивалентно прямой сумме тривиального расслоения ранга 1 и кокасательного расслоенияT∗ T для любой базы T.Задача 19.9.
Пусть C 0 — голоморфное двумерное распределение на расслоении струй, касательное ко всем сечениям вида t 7→ j (t) для всех голоморфных ростков u ∈ O (T , p), p ∈ T. Докажите, что C 0 совпадает с распределениемКартана.Задача 19.10. Докажите, что любое интегрируемое сечение s ∈ Γ (j ) расслоения j является струйным расширением мероморфной функции u ∈ M (T ),т. е.
s = j u.Задача 19.11. Докажите, что распределение Картана не является интегрируемым в смысле теоремы 2.9.Задача 19.12. Докажите, что линейное уравнение порядка n с двумя регулярными особенностями в t = 0 и t = ∞ является уравнением Эйлера, т.
е.имеет вид∂Lu = 0, L = D + a1 D −1 + . . . + a−1 D + a , a ∈ C, D = t .∂tНайдите полное разложение уравнения Эйлера в произведение фуксовыхоператоров первого порядка.Задача 19.13. Докажите, что сумма характеристических чисел регулярного линейного уравнения с m особыми точками на компактной римановойУпражнения и задачи383поверхности T равна (m − χ)n(n − 1)/2, где χ = deg T∗ T — эйлерова характеристика (степень кокасательного расслоения).∂Упражнение 19.14. Пусть D = t — эйлеров оператор и u — «оператор∂tλумножения на t », λ ∈ C. Докажите, что сопряжённый оператор u−1 Du сновабудет оператором первого порядка с мероморфными коэффициентами.
Вычислите их.Упражнение 19.15. Пусть u — оператор умножения на росток c(t − t0 )λ h(t),h ∈ O (C, t0 ), h(t0 ) 6= 0. Докажите, что существует такое голоморфное векторное поле D ∈ D(C, t0 ) с простой (гиперболической) особой точкой, чтоu−1 Du = D + λ (ср. с предыдущим упражнением).Задача 19.16. Покажите, что для любого фуксового оператора L порядка nс особенностями в точках t1 , . .
. , t ∈ P и произвольногонабора комплексныхPчисел λ1 , . . . , λ , удовлетворяющих условию λ = 0, можно построить другойфуксов оператор L0 с теми же особыми точками, такой что характеристическиечисла α1, , . . . , α, в каждой особой точке t сдвинуты на λ : α0, = α, + λ длявсех i, j.Задача 19.17. Найдите явно гипергеометрическое уравнение (19.30) и соответствующие характеристические числа каждой компоненты системы (19.34).окружности лежит на общей стороне вписанных углов BAA?1? и CAA?1,?то по доказанному ?BAA?1 = ? ? 1 ? 2 ?BOA?1, ?CAA?1 = ? ? 1 ? 2 ?COA?1.?Следовательно, ?BAC = ? ? 1 ? 2 ?BOA?1 + ? ? 1 ? 2 ?COA?1 = ? ? 1 ? 2 (?BOA?1+ ?COA?1) = ? ? 1 ? 2 ?BOC.? Наконец, пусть центр окружности лежит внеугла BAC? (рис.
3). Если при этом луч AB? проходит между сторонами углаCAA?1,? тоГлава 20Иррегулярные особенности и явление СтоксаВ отличие от фуксовых особых точек, которые всегда могут быть приведенык простой нормальной форме сходящимся голоморфным преобразованием,иррегулярные особенности имеют значительно более сложную формальнуюклассификацию и нормализующие замены здесь, как правило, расходятся.§ 20.1.
Иррегулярные особые точки в размерности 1Иррегулярные особые точки скалярного (одномерного) линейного уравнения порядка 1 можно исследовать полностью. Рассмотрим уравнениеt ẋ = a(t)x,a(t) = λ + a1 t + a2 t 2 + . . . ∈ O (C, 0).m ¾ 2,Его нетривиальное решение задаётся явной формулой:Z −t 1− λ(1 + o(1)) a(t)x(t) = exp. dt = expm−1t(20.1)(20.2)Начало координат является существенной особенностью функции x(t),голоморфной на универсальной накрывающей над проколотой окрестностью(C, 0)\{0}.Рассмотрим 2m − 2 луча на комплексной плоскости C, выпущенных изначала координат, задающихся следующим условием:λRe −1 = 0.(20.3)tЭти лучи делят окрестность (C, 0) на секторы с одинаковым углом раствора π/(m − 1).Определение 20.1. Открытый сектор, ограниченный лучами (20.3), называется сектором взлёта (соответственно сектором спада), если выражениеRe(λ/t −1 ) отрицательно (соответственно положительно) в секторе.В любом замкнутом подсекторе сектора взлёта решение x(t) уравнения (20.2) растёт экспоненциально быстро при t → 0, а в замкнутом подсекторе сектора спада — экспоненциально убывает.
Это следует из формулы (20.2)и объясняет терминологию.Голоморфная классификация одномерных систем весьма проста. Очевидно, что порядок m есть инвариант; следующее утверждение показывает, что(m − 1)-струи коэффициента a(t) образуют полный набор инвариантов какформальной, так и голоморфной классификации.385§ 20.2. Стандартная форма БиркгофаПредложение 20.2.
Две мероморфные «одномерные линейные системы»(т. е. уравнения) вида (20.1) с голоморфными коэффициентами a(t), a0 (t) ∈∈ O (C, 0) голоморфно или формально эквивалентны тогда и только тогда,когда разность a(t) − a0 (t) является m-плоской в начале координат. В частности, любое такое уравнение эквивалентно единственному полиномиальномууравнениюt ẋ = p(t, x),p ∈ C[t],deg p ¶ m − 1,p(0) = λ.(20.4)Доказательство.
Любое сопряжение x 7→ h(t)x между этими уравнениями должно удовлетворять условию ḣ/h = (a − a0 )/t , поэтому функция hбудет голоморфной и обратимой тогда и только тогда, когда правая частьголоморфна в начале координат.§ 20.2. Стандартная форма БиркгофаОбщая (матричная) линейная система произвольной размерности вблизинефуксовой особой точки может быть приведена к полиномиальной нормальной форме, если монодромия особой точки диагонализируема.Рассмотрим линейную систему видаt Ẋ = A(t)X ,A(t) ∈ Mat(n, O (C, 0)),A(0) = A0 ,(20.5)с матрицей-вычетом A0 ∈ Mat(n, C).
Напомним, что целое число m − 1 — эторанг Пуанкаре особой точки.Теорема 20.3 (Биркгоф, 1913). Если оператор монодромии M системы (20.5)диагональный (или диагонализируемый), тогда система голоморфно эквивалентна полиномиальной системеt Ẋ = A00 + tA01 + t 2 A2 + . . . + t −1 A0−1 ,A0 ∈ Mat(n, C).(20.6)Доказательство.
Пусть Λ — диагональный матричный логарифм, удовлетворяющий условию exp 2πiΛ = M. Тогда любое фундаментальное матричноерешение имеет форму X (t) = F(t) t Λ , где F — матричная функция, являющаяся однозначной, голоморфно обратимой в проколотой окрестности началакоординат, но, возможно, имеющая существенную особенность при t = 0.Матричная функция F, рассматриваемая как коцикл Биркгофа — Гротен0дика, биголоморфно эквивалентна стандартному коциклу t для покрытияU0 = {|t| < r0 },U1 = {|t| > r1 },U ⊂ P,с достаточно малыми 0 < r1 < r0 1. Иными словами, существует диагональная целочисленная матрица D 0 и две голоморфных обратимых матричныхфункции H00 , H10 таких, что0F(t) = H00 (t) t H10 (t),H0 ∈ GL(n, U ),i = 0, 1,D 0 = diag{d1 , .
. . , d }.Используя лемму о перестановке 16.36, мы можем найти такой монополь(матричный полином с постоянным ненулевым определителем) Π, что386Глава 20. Иррегулярные особенности и явление Стокса0t H10 = ΠH1 t , где H1 ∈ GL(n, U1 ) всё ещё голоморфна в бесконечности, а D —диагональная матрица, полученная перестановкой элементов диагональнойматрицы D 0. Матрица H00 Π голоморфна и обратима в области U0 . Совершаяподстановку, получаем разложение (20.7), которое называется биркгофовымразложением матричной функции F, голоморфной в кольце, см.
[23]:F = H0 H1 t ,H ∈ GL(n, U ),i = 0, 1.(20.7)Действительно, функция H1 и её обратная голоморфны в P\{0}, т. е. обе являются целыми функциями от t −1 : их продолжение в проколотую окрестностьначала координат даётся (20.7): H1 = H0−1 Ft − .Поскольку диагональные матрицы Λ и D коммутируют, решение X иррегу0лярной системы может быть представлено в виде X (t) = H0 · H1 t Λ , Λ0 = D + Λ.0−1После замены X 7→ X = H0 X , голоморфной в начале координат, логарифмическая производнаяΩ0 = dX 0 · (X 0 )−1 = dH1 · H1−1 + t −1 H1 Λ0 H1−1может быть продолжена на всю сферу Римана P. Это продолжение будетиметь только две особенности: простой полюс в бесконечности и t = 0.Начало координат t = 0 является полюсом порядка m для Ω0. Действительно, оно было полюсом порядка m для Ω = dX · X −1 ; поскольку Ω0 и Ω локальноголоморфно сопряжены в начале координат по построению, это утверждениетакже справедливо для Ω0.Таким образом, голоморфное калибровочное преобразование Ω0 исходнойиррегулярной системы является рациональной матричной 1-формой на Pс полюсами порядка m в начале координат и порядка 1 на бесконечности.Следовательно, матричные коэффициенты A0 (t) формы Ω0 = A0 dt должныбыть матричными полиномами степени m от t −1 без свободного члена (такимобразом, Ω0 имеет в худшем случае простой полюс на бесконечности), чтои требовалось доказать.Необходимо подчеркнуть, что теорема 20.3 является глобальным утверждением, тесно связанным с теоремой 18.6.
Если монодромия не диагонализируема, такое утверждение, вообще говоря, неверно [106]. Однако длянеприводимых иррегулярных особенностей полиномиальная стандартная форма также существует, как показано в [100]. Этот результат в действительноститесно связан с теоремой Болибруха — Костова 18.14.Напомним, что мероморфная связность (или линейная система) называется приводимой, если в окрестности каждой особой точки существует инвариантное голоморфное подрасслоение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
