Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 90
Текст из файла (страница 90)
. , f , f ),(19.10)является моническим дифференциальным оператором порядка n с мероморфными коэффициентами:L = D + a1 D −1 + . . . + a−1 D + a ∈ LO (n, T ),обнуляющимся на всех функциях f1 , . . . , f .a ∈ M ,(19.11)§ 19.3. Факторизация дифференциальных операторов367Доказательство. Для доказательства того факта, что L является моническим дифференциальным оператором, мы разложим «большой» определительW ( f1 , .
. . , f , f ) размера (n + 1) × (n + 1) по элементам последнего столбца,содержащего производные f. Коэффициенты a этого разложения являютсяминорами размера n×n «большой» матрицы, образованной первыми n столбцами. Ведущий коэффициент (перед наибольшей производной) являетсяв точности минором w = W ( f1 , . . . , f ).
После деления на w мы получаем,что L является моническим дифференциальным оператором, коэффициентыкоторого суть отношения миноров.Все эти миноры имеют одну и ту же монодромию (соответствующие матрицы умножаются справа на одни и те же матричные множители Mγ ), и следовательно, отношения их определителей однозначны. В силу регулярности,особые точки этих отношений являются полюсами конечного порядка.Поскольку вронскиан обнуляется, когда любые два столбца совпадают,каждая функция f принадлежит ядру L.Замечание 19.10 (предупреждение).
Множество особых точек оператора (19.11) может быть больше, чем множество точек ветвления монодромногонабора ( f1 , . . . , f ).§ 19.3. Факторизация дифференциальных операторовРешения линейных дифференциальных уравнений принадлежат, вообщеговоря, не полю M = M (T ), а некоторому его расширению M 0 ⊇ M . Этополе можно построить, формально объединяя решения и их производныепорядка меньше n. Обозначим это расширение черезM 0 = M ( f1 , .
. . , f ) = M (L);оно называется расширением Пикара — Вессио исходного поля M =M (T ). Расширения Пикара — Вессио являются дифференциальными полями (т. е. любоедифференцирование D ∈ Der M расширяется до дифференцирования Der M 0 )с тем же самым подполем констант (т. е. Du = 0, u ∈ M 0, выполняется тогдаи только тогда, когда u = const ∈ C). Помимо чисто формального построениятаких расширений, они могут быть представлены как подполя поля M (T , t0 )мероморфных ростков в неособой точке t0 ∈/ T.Аналогично тому, как любой многочлен допускает разложение на линейные множители над полем, полученным путём добавления его корней к полюего коэффициентов, любой линейный дифференциальный оператор можетбыть представлен как композиция операторов первого порядка с коэффициентами в M 0 = M (L).Начнём с замечания, что делимость операторов может быть легко описанав терминах общих решений.Предложение 19.11.
Оператор L ∈ LO (T ) делится другим операторомQ ∈ LO (T ) тогда и только тогда, когда любое решение уравнения Q f = 0является также решением уравнения L f = 0.368Глава 19. Линейные дифференциальные уравнения высших порядковДоказательство. Необходимость очевидна. Чтобы доказать достаточность,рассмотрим фундаментальную систему f1 , .
. . , f решений уравнения Q f = 0и поделим L на Q с остатком R, L = PQ + R, как в лемме 19.2. Поскольку, по предположению, функции f1 , . . . , f лежат в нулевых пространствах операторов Lи Q, они также принадлежат нулевому пространству PQ и, следовательно,нулевому пространству R. Поскольку ord R < k, это возможно лишь в случаеR = 0 согласно предложению 19.6.Для всякого мероморфного ростка 0 6≡ f ∈ M (T , t0 ) можно немедленно построить линейный оператор первого порядка, обращающийся в нуль на этомростке, например, следующего вида:Q = f D − f 0,f0 = Df.Согласно предложению 19.6, любой оператор L, такой что L f = 0, делится оператором Q, т.
е. L = L0 Q. Если известен другой росток-решениеg ∈ M (T , t0 ), т. е. Lg = 0, тогда росток g 0 = Qg является мероморфным решением уравнения L0 g0 = 0 и может использоваться для дальнейшей факторизацииоператора L0.Если известны все n решений f1 , . . . , f однородного уравнения n-гопорядка L f = 0, то с помощью этой процедуры можно построить полнуюфакторизацию оператора L в виде композиции n операторов первого порядкас коэффициентами в M 0 = M ( f1 , . .
. , f ). Эта факторизация включает в себявронскианы, или определители Вронского функций.Теперь мы опишем факторизацию произвольного дифференциальногооператора L ∈ LO (T ) с известной системой n линейно независимых решенийf1 , . . . , f через вронскианы этих решений. Предположим, что U является односвязной областью, не содержащей особенностей L, такой что f1 , . .
. , f ∈ O (U),и обозначим черезw = W ( f1 , . . . , f ) ∈ O (U),(19.12)k = 1, . . . , n, w−1 = w0 = 1, w+1 = w ,вронскиан первых k функций из упорядоченного набора f1 , . . . , f (функцииw−1 , w0 и w+1 определены для удобства).Теорема 19.12. Если функции f1 , . . . , f ∈ O (U) являются линейно независимыми решениями уравнения L f = 0 с моническим оператором L = D + . .
. ,то L является композицией n дифференцирований D вперемежку с n + 1 умножением на b0 , . . . , b ∈ M (U) ' LO (0, U), записываемой следующим образом:L = b D b−1 D b−2 . . . b2 D b1 D b0 ,b =w2,w−1 w+1k = 0, 1, . . . , n. (19.13)Доказательство. Рассмотрим монические дифференциальные операторы L порядков k = 0, 1, . . . , n:L = w−1 (t) · W ( f1 , . . . , f , ·),L0 = id,k = 1, . . . , n.Мы утверждаем, что они удовлетворяют операторному тождествуDw−1wL= −1 L ,w −1wk = 1, . . . , n.(19.14)§ 19.3.
Факторизация дифференциальных операторов369Действительно, обе части являются дифференциальными операторамиодного и того же порядка k с одними и теми же главными членами (w−1 /w )D .Нулевые пространства обоих операторов совпадают с линейной оболочкойфункций f1 , .
. . , f и, следовательно, совпадают между собой. Действительно,функции f1 , . . . , f−1 очевидно принадлежат нулевому пространству обеихчастей. На последней функции f оператор L обращается в нуль по определению. Поскольку L−1 f = w /w−1 , левая часть (19.14) также обращается в нуль.Будучи одновременно моническими и имея одинаковые нулевые пространства, операторы с обеих сторон равенства (19.14) должны совпадать.Тождество (19.14) может быть переписано в формеL =wwD −1 L−1 ,w−1wk = 1, . . .
, n.Применяя его рекурсивно к моническому оператору L = L , которыйрассматривался в предложении 19.9, мы раскладываем его в композицию nчленов:w ww w w w12D −1 · . . . ·D 1 ·D 0 · L0 ,L =w−1что совпадает с (19.13).ww1w2w0w1Преимущества такой «полной факторизации» становятся ясными прирешении однородных и неоднородных уравнений.Обозначим через D −1R−1любой «примитивный» оператор, т. е. D f = f dt в случае D = ∂/∂t (определённый по модулю константы). Тогда общее решение уравнения L f = g дляоператора L, разложенного на множители в соответствии с (19.13), даётсяявной формулой:−1f = b0−1 D −1 b1−1 D −1 . .
. D −1 b−1D −1 b−1 g.(19.15)Иными словами, зная фундаментальную систему решений однородногодифференциального уравнения, мы можем решить любое неоднородное уравнение путём взятия n квадратур. Это может быть удобной альтернативойпереходу к сопутствующей системе и использованию метода вариации постоянных.Вообще говоря, решения линейных уравнений ветвятся над особымиточками, и следовательно, коэффициенты формальной факторизации (19.13)многозначны.
Иными словами, факторизация (19.13) проводится над расширенным полем M 0 ) M , а не над исходным полем M = M (T ). Приводимостьоператоров над M тесно связана с приводимостью их группы монодромии.Теорема 19.13. Линейный оператор L ∈ LO (T ), имеющий только регулярные особые точки T, является приводимым в алгебре LO (T ) тогда и толькотогда, когда его группа монодромии приводима (т. е. имеет нетривиальноеинвариантное подпространство).Доказательство. Предположим, что L = PQ и f1 , .
. . , f — фундаментальная система решений уравнения Q f = 0. Тогда эти функции также являютсярешениями уравнения L f = 0, а их линейная оболочка является инвариантным подпространством группы монодромии, которая, таким образом,370Глава 19. Линейные дифференциальные уравнения высших порядковприводима. Наоборот, предположим (без потери общности), что инвариантное подпространство группы монодромии для уравнения L f = 0 порожденопервыми k функциями набора f1 , . . . , f некоторой фундаментальной системырешений.
Тогда по теореме Римана 19.7 существует оператор Q ∈ LO (T ) порядка k, обращающийся в нуль на этих k функциях. Согласно предложению 19.11,оператор L делится на Q и, следовательно, приводим в LO (T ).Будем говорить, что дифференциальный оператор L ∈ LO (T ) являетсярегулярным в области U ⊂ T, если он имеет в этой области только регулярныеособые точки. Разложение операторов уважает регулярность.Лемма 19.14.
Композиция двух регулярных операторов регулярна. Наоборот, если регулярный оператор приводим в LO (T ), тогда оба сомножителятакже регулярны.Доказательство. Если L = PQ, то любое решение уравнения L f = 0 является решением неоднородного уравнения Q f = g, где g — некоторое решение уравнения Pg = 0, имеющего более низкий порядок. Для любойособой точки t0 ∈ T функция g имеет контролируемый рост в точке t0 , таккак оператор P регулярен.
Поскольку оператор Q также регулярен в этойточке, из леммы 16.6 следует, что f также имеет контролируемый рост в t0 .Это доказывает регулярность оператора PQ.Наоборот, если оператор L = PQ регулярен, то любая функция из нулевогопространства оператора Q имеет контролируемый рост в любой особойточке t0 вне зависимости от регулярности P. Чтобы доказать регулярность P,выберем любое решение g уравнения Pg = 0. Пусть, как и ранее, f являетсяпроизвольным решением Q f = g. По построению f имеет контролируемыйрост, как решение уравнения L f = 0, и может быть представлена в видеf (t) = (h1 , . . .
, h )(t − t0 ) (c1 , . . . , c )> ,где вектор-строка функций (h1 , . . . , h ) мероморфна в точке t0 , вектор-столбец(c1 , . . . , c )> является постоянным и A — произвольный логарифм матрицымонодромии, соответствующей обходу вокруг t0 . Все такие функции допускают любое количество дифференцирований и умножения на мероморфныефункции, сохраняя свойство контролируемого роста в точке t0 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
