Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 89
Текст из файла (страница 89)
. . + a−1 D + a ,(19.2)D ∈ Der M , a0 , a1 , . . . , a ∈ M , a0 6≡ 0.Оператор a0 D называется главным членом L. Оператор L называетсямоническим (точнее, D-моническим), если a0 = 1. Линейным однороднымдифференциальным уравнением порядка n называется уравнение видаL f = 0.(19.3)Формально это определение зависит от выбора дифференцирования D,однако, используя (19.1) и правило Лейбница, можно мгновенно показать,что представление (19.2) может быть переразложено по степеням любогодругого дифференцирования D 0 (с возможным изменением коэффициентов,но сохранением степени).
Введём обозначения:[LO (n, T ) = {L : M (T ) → M (T ), ord L = n}, LO (T ) =LO (n, T ).¾0Дифференциальные операторы порядка 0 — это умножения на скалярныефункции, и следовательно, они могут быть отождествлены с самой алгебройM = M (T ). Набор дифференциальных операторов всех порядков допускаетестественную фильтрацию по порядку.Пространство всех дифференциальных операторов LO (T ) образует некоммутативную ассоциативную алгебру относительно операции композиции:L, L0 ∈ LO (T ) ⇒ LL0 , L0 L ∈ LO (T ),ord LL0 = ord L0 L = ord L + ord L0 .Единицами алгебры LO (T ) являются дифференциальные операторы нулевого порядка, соответствующие умножению на ненулевую мероморфнуюфункцию 1 . Хотя алгебра LO (T ) некоммутативна, многие её свойства сходнысо свойствами коммутативной алгебры M [D] многочленов от одной переменной D с коэффициентами в кольце M = M (T ) мероморфных функций.Таким образом, представление (19.2) может рассматриваться как (некоммутативное) полиномиальное расширение в LO (T ) по степеням дифференцирования D ∈ Der M (T ), коэффициенты которого расположены слева от степенейD, D 2 , .
. . , D . Другим свойством является возможность деления с остатком,аналогично делению многочленов одной переменной.Лемма 19.2. Для любых двух операторов L ∈ LO (n, T ) и Q ∈ LO (k, T ) порядков n ¾ k, существуют два оператора P (неполное частное) и R (остаток),такие чтоL = PQ + R,ord P = ord L − ord Q, ord R < ord Q.(19.4)Доказательство. Операторы P, R строятся с помощью алгоритма, являющегося модификацией алгоритма деления с остатком многочленов одной1Свойство линейных отображений M → M быть дифференциальными операторами можносформулировать в чисто алгебраических терминах, см. задачу 19.1.364Глава 19. Линейные дифференциальные уравнения высших порядковпеременной.
Пусть операторы L, Q разлагаются по степеням любого дифференцирования D ∈ Der M следующим образом:L = a0 D + a1 D −1 + . . . + a ,a , b ∈ M .Q = b0 D + b1 D −1 + . . . + b ,(19.5)Тогда главным членом оператора D − Q будет b0 D , и следовательно,оператор L1 = L − P0 Q, где P0 = (a0 /b0 )D − , имеет порядок ¶ n − 1. Повторяяэтот шаг несколько раз, мы строим P1 , такой что L2 = L1 − P1 Q имеет строгоменьший порядок, чем L1 , и т. д.За самое большее n − k шагов мы получим оператор, порядок которогострого меньше чем k, который и является остатком R. Сумма «неполныхчастных» P0 , P1 , .
. . образует оператор P = P0 + P1 + . . .Замечание 19.3. Предположим, что все коэффициенты a , b операторов Lи Q в (19.5) голоморфны в данной точке t0 ∈ T и главный коэффициент b0делителя Q не обращается в ней в нуль, b0 (t0 ) 6= 0. Тогда коэффициентыразложения остатка и неполного частного по степеням D также голоморфныв t0 . Это можно показать прямым анализом алгоритма деления.Определение 19.4. Оператор L ∈ LO (n, T ) делится на оператор Q ∈∈ LO (k, T ) (или делится оператором Q), если L = PQ для некоторого P ∈∈ LO (n − k, T ). Оператор L называется приводимым, если он делится на некоторый оператор Q ∈ LO (k, T ) при 0 < k < n.
В противном случае L называетсянеприводимым.§ 19.2. Линейные обыкновенные дифференциальныеуравнения: наивный подходЛинейные уравнения высших порядков могут рассматриваться как частный случай линейных систем дифференциальных уравнений первого порядка,так называемых сопутствующих систем.В данном разделе нам будет удобно использовать нумерацию координаткомплексного пространства C+1 = {(x0 , . . . , x )}, начиная с x0 . Рассмотримпроизвольное дифференцирование D ∈ Der M ; например, если T = C илиT = P, можно считать, что D = ∂/∂t. Затем, обозначая неизвестную функцию y через x0 , а её производные через x = D y, k = 1, . .
. , n, мы переходимот скалярного уравнения (19.3) к системеDx = A(t)x,гдеD ∈ Der M ,A ∈ Mat(n, M ),0(19.6)101. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .A=.01 −aa0−a−1a0... −a2a0−a1a0§ 19.2. Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения: наивный подход365Такая система называется сопутствующей системой для линейного уравнения (19.2)–(19.3). Этот переход позволяет немедленно переформулироватьвсе результаты из главы 15 на случай линейных уравнений.Определение 19.5.
Регулярной (неособой) точкой линейного уравнения(19.2)–(19.3) называется любая точка t0 ∈ T, в которой векторное поле D ∈ D(T ),связанное с дифференцированием D ∈ Der M (T ), является неособым и всеотношения a (t)/a0 (t) голоморфны (не имеют полюсов).Нерегулярные точки естественным образом называются особенностямиуравнения и обозначаются через Sing L. Особая точка называется регулярной,если она является регулярной для сопутствующей системы в смысле определения 16.2.Иными словами, особая точка уравнения является регулярной, если всерешения уравнения вместе с их производными имеют контролируемый рост(в смысле определения 16.1) при t, стремящемся к t0 .Предложение 19.6. Линейное уравнение (19.2)–(19.3) имеет локальныерешения в окрестности любой неособой точки, допускающие единственноеаналитическое продолжение вдоль любого пути, не содержащего особых точекэтого уравнения.Размерность (над C) пространства решений этого уравнения в любойодносвязной области, не содержащей особых точек уравнения, равна порядкууравнения.Доказательство.
Первое утверждение является переформулировкой теоремы 15.3 для сопутствующей системы.Второе утверждение немедленно следует из того факта, что линейное отображение, ставящее в соответствие любой голоморфной функции f (·) начальные условия,f (·) 7 −→ f (t0 ),dd −1f (t0 ), . . .
, −1 f (t0 ) ∈ C ,dtdtстановится линейным изоморфизмом между пространством решений линейного уравнения (19.2)–(19.3) и пространством начальных условий. Инъективность этого отображения следует из единственности, а сюръективность —из существования в теореме 15.3.Из предложения 19.6 следует, что решения линейного уравнения L f = 0являются голоморфными функциями, разветвлёнными над особым множеством Σ = Sing L. Поскольку аналитическое продолжение вдоль путейсохраняет пространство решений данного уравнения, оператор аналитического продолжения ∆γ вдоль произвольной петли γ ∈ π1 (T \Σ, t0 ) действуетна вектор-строку функций линейным преобразованием:∆γ ( f1 , . .
. , f ) = ( f1 , . . . , f ) · Mγ ,Mγ ∈ GL(n, C),(19.7)где Mγ — матрицы монодромии. В дальнейшем любой набор голоморфныхфункций, удовлетворяющий свойству монодромии (19.7), будет называтьсямонодромным набором.366Глава 19. Линейные дифференциальные уравнения высших порядковВыполнения монодромного свойства почти достаточно, чтобы наборфункций удовлетворял линейному дифференциальному уравнению с мероморфными коэффициентами. Дополнительным требованием здесь являетсярегулярность всех особых точек.Теорема 19.7 (Г.
Ф. Б. Риман). Монодромный набор из n мероморфныхфункций, регулярных в каждой точке ветвления из конечного множестваΣ ⊂ T, удовлетворяет линейному обыкновенному дифференциальному уравнению L f = 0 с мероморфными коэффициентами, L ∈ LO (k, T ), k ¶ n.Это уравнение может быть явно записано через определители Вронского,см. предложение 19.9. Всюду ниже в этом параграфе D = d/dt.Определение 19.8. Вронскианом или определителем Вронского набораиз n функций называется определитель матрицы Вронского:f1f2...f DfD f2...D f 1W ( f1 , . . . , f ) = det .............................D−1f1 D−1f2 . .
. D−1(19.8)fВронскиан является голоморфной (соответственно мероморфной) функцией от t ∈U ⊂T, если все функции f1 , . . . , f являются голоморфными (соответственно мероморфными) и D является голоморфным векторным полем в U.Вронскиан полилинеен (над C) и антисимметричен относительно функций f . В частности, он тождественно равен нулю, если функции f линейнозависимы над C. Если f1 , . . . , f — решения линейного уравнения (19.3), тогдаW ( f1 , . .
. , f ) — определитель матричного решения X (t) сопутствующей системы (19.6). По теореме Лиувилля — Остроградского (см. задачу 15.10),Dw = −a1 (t)w,a0 (t)w = W ( f1 , . . . , f ).(19.9)Из этого тождества следует, что вронскиан набора из n решений линейного уравнения либо не обращается в нуль нигде вне особых точек, либо тождественно равен нулю.Теорема Римана немедленно выводится из следующего утверждения.Предложение 19.9 (аналог теоремы Римана 19.7). Для любого регулярногомонодромного набора f1 , . . . , f , такого что вронскиан w(t) = W ( f1 , . . . , f )(t)не обращается в нуль, операторL = w −1 W ( f1 , . . . , f , · ),L f = w −1 W ( f1 , . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
