Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 92
Текст из файла (страница 92)
Линейные дифференциальные уравнения высших порядковРассмотрим пространство n-струй J (T ), являющееся объединением всехпространств струй по всем точкам римановой поверхности T. ПространствоJ (T ) снабжено естественной проекцией j : J (T ) → T. Эта проекция наделяетJ (T ) структурой голоморфного векторного расслоения следующим образом.Пусть Uα ⊂ T — открытая область и Dα ∈ D(Uα ) — голоморфное векторноеполе (дифференцирование), неособое в области Uα , как обычно отождествлённое с дифференцированием алгебры M (Uα ).
Это дифференцированиепозволяет связать любую струю функции f в точке p с вектор-столбцомΦα(струя f в точке p ∈ Uα ) 7 −→ ( f , D f , D 2 f , . . . , D f )> ,D = Dα .(19.20)Отображение Φα определяет тривиализацию J (T ) над областью Uα .Если Uβ — другая область и D 0 = Dβ — другое дифференцирование, голоморфное и невырожденное в области Uβ , тогда на пересечении Uαβ = Uα ∩ Uβдва соответствующих оператора D = Dα и D 0 = Dβ = rβα Dα и их степени связаныформулами: 111 D0 02 D = . .. D0rr∗2...rD , · D2 ..
.DD = Dα ∈ D(Uα ),D 0 = Dβ ∈ D(Uβ ),(19.21)r = rβα ∈ O (Uαβ ).Эти формулы определяют преобразованиеΦβ ◦ Φ−1α : (t, x) → (t, Hβα (t)x),(19.22)с такой же матрицей (19.21). Набор матриц−1H = Hβα = Hαβ∈ GL(n, O (Uαβ )образует матричный коцикл, задающий расслоение j .Определение 19.21. Расслоение j : J (T ) → T, определённое тривиализацией (19.20) (или, что то же самое, матричным коциклом (19.21)), называетсярасслоением n-струй (или n-струйным расслоением) над базой T .Пример 19.22.
Линейное расслоение, заданное коциклом rαβ , эквивалентно кокасательному расслоению T∗ T над базой T. Действительно, рассмотримпроизвольную мероморфную коцепь { fα }, связанную с сечением этого расслоения. Это означает, что fβ = rαβ fβ на любом пересечении Uαβ .Мы покажем, что эта коцепь задаёт мероморфную 1-форму ω по правиламωα (Dα ) = fα ,ωα ∈ Λ1 (Uα ) ⊗ M (Uα ).Действительно, в пересечении Uαβ формы ωα и ωβ совпадают, и, такимобразом, коцепь {ωα } определяет глобальную мероморфную 1-форму ω ∈∈ Λ1 (T ) ⊗ M (T ).§ 19.5. Струйные расслоения и инвариантные конструкции375Пример 19.23. На римановой сфере T = P два поляD0 =∂∈ D(C)∂tиD1 = t 2∂∈ D(P\{0})∂tопределяют коцикл Биркгофа — Гротендика, соответствующий расслоениюj (P): J (P) → P с отображением переклейки r10 (t) = t 2 .
С коциклом det H10 == t (+1) связывается детерминантное расслоение det j . Таким образом, степень расслоения ненулевая:deg j = −n(n + 1) 6= 0для n ¾ 1,(19.23)и следовательно, струйное расслоение нетривиально для всех n ¾ 1. Для n = 0расслоение j0 очевидно является тривиальным: J 0 (T ) = T × C+1 для любойбазы T. Струйное расслоение описано в задаче 19.8.Любая мероморфная функция u ∈ M (T ) задаёт мероморфное сечениеструйного расслоения t 7→ j (t), называемое струйным расширением u. Этосечение голоморфно вне множества полюсов u.
В то же время не любоесечение j струйного расслоения является струйным расширением некоторойфункции: чтобы это было так, требуется выполнение условий интегрируемости.Обозначим через ωα голоморфные 1-формы, двойственные к векторнымполям Dα : ωα (Dα ) ≡ 1. Этот набор 1-форм образует голоморфную коцепь. В лю+1бой тривиализующей карте j−1с помощью скалярной формы (Uα ) ' Uα × Cωα мы построим двумерное распределение (поле плоскостей), задаваемоекак общее ядро (n − 1)-й пфаффовой формыdx0 − x1 ωα = 0,dx1 − x2 ωα = 0,..................(19.24)dx−1 − x ωα = 0.Можно легко проверить, что любые два таких распределения, определённые над двумя разными тривиализациями, связаны одним и тем жепреобразованием (19.21) (заметим, что формулы (19.24) на «наивном» уровнеозначают, что Dα x = x+1 ).Определение 19.24. Двумерное распределение на расслоении n-струйJ (T ), заданное в тривиализующих картах формулами (19.24), называетсяраспределением Картана.Распределение Картана выделяет сечения струйного расслоения, являющиеся струйными расширениями мероморфных функций.
Именно, если C —двумерное подпространство распределения Картана в точке q ∈ J (T ), а u ∈∈ O (T , p) — голоморфный росток в точке p = j (q) ∈ T, причём j (p) = q, то график сечения t 7→ j (t) является голоморфной кривой, касательной к C . Болеетого, можно легко проверить, что распределение C может быть «аксиоматически» (инвариантно) определено как единственное двумерное распределениена J (T ), касающееся графиков всех мероморфных сечений вида t 7→ j (t).Наоборот, любое мероморфное сечение s ∈ Γ ( j ), график которого касается распределения Картана во всех точках, является графиком струйного376Глава 19.
Линейные дифференциальные уравнения высших порядковрасширения мероморфной функции u ∈ M (T ), s = j . В дальнейшем мы будемназывать сечения, касательные к распределению Картана, интегрируемымисечениями.Наконец, обратим внимание на следующее очевидное наблюдение: расслоения J (T ) естественным образом «вложены» — более точно, существуютотображения расслоений (расслоенные над тождественным), которые делаюткоммутативной следующую диаграмму:j10j −1j21j +1J 0 (T ) ←−−−− J 1 (T ) ←−−−− . .
. ←−−−− J (T ) ←−−−− . . .j0 yjyj1 yTT...T(19.25)...Отображение j −1 просто «забывает» последнюю производную. Ядро каждого такого отображения одномерно. Соответствующее одномерное подрасслоение V ⊂ J (T ) мы будем называть вертикальным подрасслоением.Теперь всё готово к тому, чтобы определить линейные обыкновенныедифференциальные уравнения в инвариантных терминах.Теорема 19.25. Для всякого голоморфного подрасслоения L ⊂ J (T ) коразмерности 1 в расслоении n-струй, трансверсального вертикальному подрасслоению V = ker j −1 почти всюду, существует мероморфная связность∇ = ∇L на J (T ) со следующими свойствами:1) подрасслоение L инвариантно относительно ∇;2) множество особых точек Σ = Sing ∇ состоит из точек, в которых Lнетрансверсально к вертикальному расслоению V ;3) все ∇-горизонтальные сечения j являются интегрируемыми, т.
е. являются графиками n-струйных расширений функций на T.Распределение ∇ на L определено однозначно.Доказательство. Распределение Картана, ограниченное на подрасслоение L(голоморфное подмногообразие коразмерности 1), индуцирует одномерное распределение (поле направлений) на этом расслоении, возможно, с особыми точками там,где нарушается трансверсальность между L и C .Распределение Картана всегда содержит вертикальное направление, и следовательно, из трансверсальности к V следует трансверсальность к C .
В силу одномерности, построенное распределение интегрируемо. Интегральные кривые (листыинтегрального слоения) по построению принадлежат L и касаются распределенияКартана C . Остаётся проверить, что листы этого слоения на L являются горизонтальными сечениями для некоторой мероморфной связности ∇ на J (T ). Мы явнопостроим ((n +1)×(n +1))-матричную 1-форму связности Ω в любой тривиализацииJ (T ), определённой неособым векторным полем D ∈ D(U), U ⊆ T, или двойственнойформой ω ∈ Λ1 (U) ⊗ M (U).ПодрасслоениеL в этой тривиализующей карте задаётся голоморфным уравнеPнием 0 a (t)x− = 0. Его дифференциал (касательная гиперплоскость к L ) по модулюпфаффовых уравнений (19.24), определяющих распределение Картана, будет равнятьсяa0 dx + x (da0 + a1 ω) + x−1 (da1 + a2 ω) + .
. . + x1 (da−1 + a ω) + x0 da ,§ 19.5. Струйные расслоения и инвариантные конструкции377если вне множества особых точек {a0 = 0} ∩ U это пфаффово уравнение разрешимоотносительно dx . Вместе с уравнениями Картана это даёт мероморфнуюP линейнуюсистему над U, которая, по построению, касается гиперповерхностиa x =00 −и распределения Картана.Связность, построенная в теореме 19.25, не является сопутствующей связностью на J (T ): её единственным преимуществом является инвариантностьконструкции.
На практике расслоение L , удовлетворяющее предположениямтеоремы, проектируется вдоль вертикального направления на расслоение(n − 1)-струй. Проекция j −1 , ограниченная на L , является мероморфным отображением расслоений, переводящим связность ∇|L на мероморфную связность,заданную пфаффовой сопутствующей системой (19.17) с b = −aP/a0 : последa x− = 0нее уравнение получается путём решения линейного уравненияотносительно x и подстановкой результата в уравнение Картана dx−1 = ωx .Таким образом, ρ−1|L переводит ∇|L в сопутствующую связность на J −1 (T ).Естественно рассматривать сопутствующие связности, ассоциированныес произвольным векторным полем D ∈ D(T ).
«Наивный подход», описанныйв § 19.2, соответствует выбору D=∂/∂t∈D(P) (отметим, что расслоение J −1 (T )также является нетривиальным, и такой выбор D не связан с наличием илиотсутствием особенностей на бесконечности).Однако если связность регулярна, естественно рассматривать расслоениес фуксовой связностью на ней, мероморфно эквивалентной расслоению L ⊂⊂ J (T ) со связностью ∇L .Теорема 19.26. Если произвольный дифференциальный оператор L∈LO (P)выбран таким образом, что линейное уравнение Lu = 0 имеет m ¾ 0 регулярныхособенностей, мероморфная связность ∇|L , построенная в теореме 19.25,мероморфно эквивалентна фуксовой связности на голоморфном векторномрасслоении π ранга n над P.
Степень этого расслоения равна (m − 2)n(n − 1)/2.Доказательство. Существование фуксовой связности на абстрактном расслоении следует из того факта, что любая регулярная особенность в t = t ∈ Pстановится фуксовой после локально мероморфного преобразования (переразложения L по степеням (t − t )∂/∂t вместо степеней ∂/∂t) по теореме 19.19.Если m = 2, то существует голоморфное векторное поле D на P в точностис двумя простыми (гиперболическими) особенностями в двух наперёд заданных точках. Возводя L в степени D, мы получаем разложение с мероморфными(и следовательно, постоянными) коэффициентами и не обращающимся в нульглавным членом. Такое уравнение обязательно является уравнением Эйлера(см. задачу 19.12) на тривиальном расслоении над P.Если m 6= 2, такое векторное поле может не существовать, и получающееся расслоение будет нетривиальным.
Предположим, что бесконечность неявляется особой точкой для уравнения Lu=0, и обозначим через t1 , . . . , t ∈ Cразличные особые точки этого уравнения, max |t | < R. Рассмотрим двамероморфных векторных поля на P:Y∂D0 =(t − t ) ,=1∂tD1 = t 2− D0 .378Глава 19. Линейные дифференциальные уравнения высших порядковОни голоморфны в соответствующих областях U0 = C, U1 = P\{|t| < R} стандартного покрытия Биркгофа — Гротендика и имеют особенности («корни»)только в особых точках уравнения.По теореме 19.19, после возведения в степени D0 , D1 и сведения к соответствующим сопутствующим формам, мы получим две мероморфные матричные функции Ω0 , Ω1 со следующими свойствами:1) Ω0 имеет только фуксовы особенности (простые полюсы) в точках t1 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
