Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 95
Текст из файла (страница 95)
После выпрямления соответствующегоподрасслоения подходящим голоморфным преобразованием локально приводимую систему всегда можно записать в блочно-верхнетреугольной форме.Связность (соответственно линейная система) локально неприводима, еслиона не имеет нетривиальных инвариантных голоморфных подрасслоений.Регулярная (в частности, фуксова) особенность всегда локально приводима: оператор монодромии M всегда имеет хотя бы одно инвариантное подпространство каждой промежуточной размерности, и по утверждению 18.8 каж-§ 20.2. Стандартная форма Биркгофа387дое такое подпространство порождает инвариантное подрасслоение.
Однакодля иррегулярных особенностей утверждение 18.8, вообще говоря, неверно,и существуют локально неприводимые особенности (хотя их неприводимостьочень трудно проверить).Теорема 20.4 (А. А. Болибрух, [100]). Локально неприводимая иррегулярная особенность голоморфно эквивалентна полиномиальной системе (20.6).Доказательство этого утверждения воспроизводит доказательство теоремы 18.14 с минимальными изменениями. Ключевой аргумент состоит в том,что локально неприводимая связность голоморфного расслоения над P всегдаглобально неприводима.Доказательство. Мы построим абстрактное расслоение π над P с мероморфнойсвязностью ∇ на ней, имеющее иррегулярную особую точку при t = 0, биголоморфноэквивалентную данной особой точке Ω0 = t − (A0 + A1 t + .
. .) dt, и фуксову особуюточку в t = ∞ с «достаточно далёкими друг от друга» собственными значениямиматрицы-вычета. Здесь N = diag{ν1 , . . . , ν } — диагональная (n × n)-матрица, элементыкоторой образуют достаточно быстро возрастающую последовательность целых чиселν1 ν2 . . . ν ; для наших целей достаточно требовать выполнение неравенстваν+1 − ν > (m − 1)(n − 1).Чтобы построить это расслоение, будем считать, что оператор голономии Mверхнетреугольный и имеет верхнетреугольный матричный логарифм A =1ln M.2πiТогда для любого выбора матрицы N логарифмическая производная Ω∞ = dY · Y −1 ,где Y (t) = t t , имеет фуксову особенность на бесконечности, ср. с (18.8).В точности как в доказательстве теоремы 18.14, две формы Ω0 на (C1 , 0) и Ω∞на P\{0}, рассматриваемые как формы связности, определяют голоморфное расслоение π и мероморфную связность ∇ на ней, имеющую лишь две особых точки, однаиз которых фуксова.
Суммарный порядок полюсов связности ∇ равен m + 1.Если особенность в начале координат неприводима, то связность ∇ глобальнонеприводима и, следовательно, тип расщепления D = diag{d1 , . . . , d } расслоения πдолжен удовлетворять неравенству |d − d | ¶ (m − 1)(n − 1) (задача 18.12, несколькомодифицированная версия теоремы 18.12). Тривиализуя это расслоение и используяподходящее монопольное преобразование Π, мы получаем (опять в точности какв доказательстве теоремы 18.14) мероморфную связность на тривиальном расслоениис иррегулярной особенностью в t = 0 и регулярной особенностью в бесконечности00с фундаментальным решением X (t) = G(t) t t t = G(t) t + t .
В этом выраженииматричная функция G ∈ GL(n, O (P, ∞)) голоморфна и обратима в бесконечности,а D 0 — диагональная матрица, полученная из D перестановкой диагональных элементов. Из-за большого зазора между числами ν элементы диагональной матрицы D 0 + Nтакже упорядочены по возрастанию, и следовательно, логарифмическая производная dX · X −1 фуксова. Таким образом, после тривиализации и монопольного калибровочного преобразования, мы получаем рациональную матричную 1-форму Ω0 на Pс полюсом порядка m в начале координат и простым полюсом в бесконечности. Этодаёт полиномиальную нормальную форму (20.6).Замечание 20.5.
«Полиномиальная нормальная форма» (20.6), вообщеговоря, неинтегрируема. Кроме того, она нелокальна: каждый матричныйPA t коэффициент A0 нормальной формы зависит от всех членов рядав (20.5). В силу этих причин, возможность эффективного использования этойформы в приложениях довольно ограничена.388Глава 20. Иррегулярные особенности и явление Стокса§ 20.3. Резонансы и формальная диагонализацияПервым шагом в «настоящей» классификации общих иррегулярных особыхточек является формальная классификация, аналогичная описанной в § 16.3для фуксовых систем при m = 1. Совершенно аналогично линейная системаt ẋ = A(t)x,A(t) ∈ Mat(n, O (C, 0)),(20.8)может быть приведена к голоморфному векторному полю на (C+1 , 0), соответствующему «нелинейной» системе дифференциальных уравненийẋ = A0 x + tA1 x + .
. . ,x ∈ (C , 0),(20.9)ṫ = t ,t ∈ (C, 0).Спектр линеаризации системы (20.9) в особой точке (0, 0) состоит из нуляλ0 = 0 (поскольку m ¾ 2) и собственных значений λ1 , . . . , λ ∈ C матрицы-вычета A0 ∈ Mat(n, C) (возможно, с повторениями).Применяя технику Пуанкаре — Дюлака к нелинейной системе (20.9), мыможем избавиться от всех нерезонансных членов в тейлоровском разложении.В точности как в случае фуксовой системы в § 16.3, значение будет иметь толькопоявление перекрёстных резонансов λ = λ + kλ0 , соответствующих вектор-мономам t x∂. Тот факт, что λ0 = 0, мотивирует следующее определение.∂xОпределение 20.6.
Говорят, что система (20.5) нерезонансна в началекоординат, если все собственные числа λ1 , . . . , λ матрицы-вычета A0 попарноразличны.Теорема 20.7. Нефуксова система (20.5) в нерезонансной особой точке t =0формально эквивалентна диагональной полиномиальной системе степени m:t ẋ = Λ(t)x,p ∈ C[t],Λ(t) = diag{p1 (t), .
. . , p (t)},deg p = m,Λ(0) = diag{λ1 , . . . , λ }.(20.10)Доказательство. Повторяя дословно аргументы из доказательства теоремы 16.15 в § 16.3, мы докажем, что в разложении (20.9) сохранятся только∂резонансные мономы вида c t x , в то время как остальные можно∂xубрать. Предложение 20.2 и следующее за ним замечание позволяют удалитьрезонансные мономы степени k ¾ m.Как следует из анализа скалярного случая в § 20.1, формальная нормальная форма (20.10) интегрируема: существует диагональный матричныймногочлен B(t −1 ) = B0 t 1− + B1 t 2− + . .
. + B−2 t −1 и постоянная диагональнаяматрица C, такие что фундаментальное матричное решение уравнения (20.5)имеет вид X (t) = t exp B(t −1 ).Замечание 20.8. Отметим, что формальные ряды, сопрягающие иррегулярные особенности, могут расходиться. Действительно, нерезонанснаяиррегулярная система t2ddty−1= 10 tzyz(20.11)§ 20.4. Формальное упрощение резонансного случая389с отделяющейся второй переменной может быть приведена к эйлеровомууравнению (7.11) (пример 7.10).
Эйлерово уравнение имеет формальноерасходящееся тейлоровское решение. Очевидно, что нормализующая заменане может при этом сходиться.§ 20.4. Формальное упрощение резонансного случаяПрямое доказательство теоремы о формальной диагонализации 20.7 выглядит следующим образом. Формальное калибровочное преобразование X 7→ X 0 = HX , заданноеформальным матричным рядомXH=E+t H ∈ GL(n, C[[t]])>0сопрягает две системы (формальные или сходящиеся)Xt Ẋ = A(t)X , A(t) = A0 +t A ,>0иt Ẋ 0 = A0 (t)X 0 ,A0 (t) = A0 +Xt A0 ,>0с одинаковой главной частью A(0) = A0 (0) = A0 тогда и только тогда, когда Hявляется формальным решением соответствующего матричного дифференциальногоуравнения:t Ḣ = A0 (t)H − HA(t).(20.12)Приравнивая соответствующие члены, нетрудно видеть, что это уравнение эквивалентно последовательности матричных уравнений на коэффициенты A , A0 разложений A(t) и A0 (t) соответственно,¨XkH+1− , k ¾ m −1,0000 = (A0 H − H A0 )+(A − A )+(A H − H A )−(20.13)0,k < m −1., >0,+<Эти уравнения можно переписать в виде[A0 , H ] + A0 = матричные полиномы по {A0 , H , 0 < j < k}.По лемме 4.11, образ оператора ad0 : B 7→ [A0 , B] является линейным подпространством в Mat(n, C), ортогональным в смысле эрмитовой структуры подпространствувсех матриц, коммутирующих с сопрягающей матрицей A∗0 .
Следовательно, уравнения (20.13) всегда разрешимы для подходящих матриц H и A0 таких, что [A∗0 , A ] = 0.Если матрица A0 нерезонансная, её можно привести к диагональному виду:A0 = Λ = diag{λ1 , . . . , λ }, так что ядро Ker adΛ∗ будет состоять только из диагональных матриц. Следовательно, нерезонансная иррегулярная особенность формальнодиагонализируема.
Чуть более общо, если матрица A0 блочно-диагональная и каждыйблок имеет только одно собственное значение, причём разное для разных блоков,тогда дополнительное подпространство может быть выбрано как множество матриц,имеющих такую же блочно-диагональную структуру. Это доказывает следующееобобщение теоремы 20.7.Теорема 20.9. Формальным преобразованием можно привести иррегулярную систему к блочно-диагональной форме, в которой каждый блок имеет ведущую матрицус единственным собственным значением.390Глава 20. Иррегулярные особенности и явление СтоксаПример 20.10.
Предположим, что ведущая матрица A0 состоит из одной жордановой клетки порядка n с собственным значением λ0 : A0 = λ0 E + J. Коммутированиепроизвольной матрицы B с матрицей J ∗ означает следующее: одновременный сдвигстолбцов B влево и сдвиг строк вниз даёт один и тот же результат. Таким образом,любой элемент B совпадает с элементом, расположенным слева и сверху от него,причём все элементы первой строки и последнего столбца нулевые. Следовательно,[B, J ∗ ] = 0 тогда и только тогда, когда ряды элементов, параллельные главной диагонали, состоят из одинаковых элементов, причём в верхнем треугольнике они нулевые(таким образом, B является нижнетреугольной).Тем самым иррегулярная особенность с ведущим матричным коэффициентомA0 = λ0 + J может быть приведена к виду (20.8), в которомλ01 b1 (t)λ01.A(t) = ......................................b−2 (t)...b1 (t)λ01b−1 (t)b−2 (t)...b1 (t)λ0В действительности можно ещё сильнее упростить полученную нормальную форму и избавиться от всех элементов, кроме последней строки, см.
[91, § 30]. В результатеформальное калибровочное преобразование системы приводит её к соответствующейодному уравнению форме по модулю скалярной матрицы0101A(t) = λ0 E + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .01 a (t)a−1 (t)...a2 (t)(20.14)a1 (t)для формальных рядов a ∈ C[[t]].
Собственные значения матрицы A(t) имеют видλ0 + λ (t), где λ1 (t), . . . , λ (t) — корни характеристического уравненияλ = a1 (t)λ−1 + . . . + a−1 (t)λ + a (t).Поскольку λ1 (0) = . . . = λ (0) = 0 по предположению, нетрудно видеть, что формальные ряды a ∈ C[[t]] не имеют свободных членов.λ0Замечание 20.11. Если функция f (t) равна expи, тем самым, является−1(m −1)t−решением уравнения f˙ = −λ0 t f, то замена X 7→ f (t)X переводит систему (20.14) в истинную, соответствующую одному уравнению форму, без диагонального члена λ0 E.Будучи скалярным, это преобразование коммутирует с любой другой заменой, формальной или сходящейся.§ 20.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
