Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 99
Текст из файла (страница 99)
Поскольку S0 узкий и z, a ∈ S0, из очевидныхгеометрических соображений для некоторой постоянной c0 > 0, зависящейтолько от S0, и для всех s ∈ R+ выполняется неравенство |z + sa| ¾ c0 |z|.Подставляя это неравенство в интеграл (20.30), мы мажорируем S+ f в S0выражением |c0 z|−/|c|. Это доказывает ограниченность S+ .Чтобы понять, почему S− является ограниченным в r + S00 относительнойэтой нормы (где S00 выбирается так же, как в случае N = 0), разделим§ 20.12. Интегральное уравнение и доказательство теоремы 20.23403отрезок интегрирования[r, z] в (20.31) на две равные части.
На начальнойчасти ζ ∈ r, 12 (r + z) множитель eµ(−ζ) экспоненциально мал, поскольку|z − ζ| ¾ 12 |z|. На второй части ζ ∈ 12 (z + r), z справедливо неравенство|ζ| ¾ 12 |z| и, следовательно, согласно нашим предположениям на f, выполняется неравенство | f (ζ)| ¶ 2− |z|− , так что полный интеграл S− f (z) ограниченвеличиной 2− |z|−/|c(z)|. В точности так же, как в случае N = 0, из этогоследует, что S− ограничен в k·k -норме.Замечание 20.27. Во всех этих построениях оценка на норму kS± k0 ; может зависеть от N и раствора сектора S0, но не зависит от «размера»(параметра r) этого сектора. Это можно показать независимо из соображений изменения масштаба.§ 20.12. Интегральное уравнениеи доказательство теоремы 20.23Если вместо простого уравнения (20.28) мы рассмотрим чуть болееобщий видdy = [µ + G(z)] y + g(z),(20.34)dzто метод вариации постоянных, вместо того чтобы дать точное решение,позволит свести уравнение (20.34) к интегральному.После подстановки y(z) = eµ y 0 (z) уравнение (20.34) преобразуется в уравнениеd 0y (z) = e−µ [G(z) y(z) + g(z)].dzПосле взятия первообразной и умножения на eµ имеем:µy(z) = e y(b) +Zeµ(−ζ) [G(z) y(z) + g(z)] dz.Мы опять можем свободно выбирать базисную точку b, и эта свободаснова может использоваться, чтобы сделать решения плоскими.
Как и раньше,мы покажем, что если выражениеy = S[Gy + g],S = Sµ,0 ,(20.35)определено, то оно удовлетворяет дифференциальному уравнению (20.34).Этот пример допускает прямое обобщение для k-мерных систем (20.27).Обозначим через S диагональный интегральный оператор, действующийна вектор-функциях, ограниченных в секторе S0, следующим образом:S( y1 , . . . , y ) = (S1 y1 , . . . , S y ),S = Sµ ,0 ,i = 1, . . .
, k.(20.36)Этот оператор, являющийся декартовым произведением интегральныхоператоров вида (20.32), зависит от собственных чисел диагональной матрицы D = diag{µ1 , . . . , µ }, и путь интегрирования берётся в общем случаеразным на разных компонентах.404Глава 20. Иррегулярные особенности и явление СтоксаПолностью аналогично (20.35) решение системы (20.27) может быть найдено путём решения интегрального уравненияy = S[Gy + g],S = diag{S1 , . .
. , S }.(20.37)Диагональный интегральный оператор S ограничен по лемме 20.26,если граничные лучи S0 не являются «исключительными» для всех µ — т. е.не являются лучами раздела для исходной системы (20.5). Мы покажем, чтокомпозиция в правой части уравнения (20.37) является сжатием, если секторS0 = {|z| > r, |arg z| < π/2 − δ} достаточно мал, т. е. если r достаточно велико.Предложение 20.28.
В предположениях теоремы 20.23 операторy 7→ G y = Gy + gявляется липшицевым в смысле любой нормы k·k0 ; на пространстве вектор-функций, голоморфных в S0 = S0 ∩ {|z| > r}:kG y − G y 0 k0 ; < ρ k y − y 0 k0 ; ,ρ = ρ(r) > 0.Константа Липшица ρ(r) стремится к нулю при r → +∞.Доказательство. Константа Липшица ρ = ρ(r) на самом деле не зависитот N и может быть выбрана как ρ(r) = sup {|G(z)|: z ∈ S0 }. Действительно,kG y − G y 0 k0 ; ¶ sup |z|− |G(z)| · | y(z) − y 0 (z)| ¶ sup |G(z)| · k y − y 0 k0 , . ∈ 0 ∈ 0По предположению, G(z) стремится к нулю при z →∞ в S0, и следовательно,ρ(r) → 0+ при r → +∞.Доказательство теоремы 20.23.
Для доказательства теоремы теперь достаточно показать, что интегральное уравнение (20.37) имеет решение,плоское в секторе S0. Не ограничивая общности, мы можем считать, чтолучи, ограничивающие S0, не являются исключительными (иначе мы можемнемножко увеличить раствор сектора, сохраняя его узким).Пусть N ¾ 0 — произвольный порядок убывания. Выбирая параметр rдостаточно большим, r ¾ r(N), можно сделать константу Липшица ρ(r)оператора G столь малой, чтобы она была меньше оценки на норму оператора S относительно любого данного N (напомним, что kSk не зависит от r;см.
замечание 20.27). В соответствующем S0 = S0 ∩ {|z| > r(N)} композиция S · Gбудет сжатием в k·k -норме. Таким образом, интегральное уравнение (20.37),рассматриваемое как уравнение на неподвижную точку, имеет единственноерешение, являющееся вектор-функцией, каждая компонента которой принадлежит O (S0 , N). Благодаря тому, что дифференциальное уравнение (20.27)является неособым в S0, каждое такое решение в действительности продолжается до функции, голоморфной во всём секторе S0. В силу единственности,любые два таких продолжения обязательно совпадут на пересечении ихобластей определения. Всё вместе даёт функцию y(z), голоморфную в S0и убывающую быстрее, чем |z|− при |z| → ∞ для любого N. Иными словами,построенное решение y(z) является плоским — что и требовалось.Упражнения и задачи405§ 20.13.
Расширение секторов и доказательствотеоремы Сибуи 20.16Пусть S является «узким» сектором с раствором π/(m−1)−2δ, как в (20.22).Рассмотрим его образы под действием поворотов: S± = e±2δ S. Объединениетрёх секторов S∪S+ ∪S− является сектором с раствором π/(m−1)+2δ. По предположению, каждый сектор S± может содержать только те лучи раздела, которые уже содержатся в S (и возможно, не все из них).Поскольку все S, S± являются «узкими», согласно следствию 20.24 существуют нормализующие коцепи H, H± , сопрягающие исходную систему с еёформальной нормальной формой. Следовательно, для подходящих матрицСтокса C± (не путать с набором Стокса исходной системы!),H(t) = H± (t)WC± W −1 (t) на пересечениях S± ∩ S,(20.38)где W (t) — фиксированное диагональное решение формальной нормальнойформы.
Но поскольку узкие секторы S± \S не содержат лучей раздела, разностьE − W (t)C± W −1 (t) остаётся плоской не только на пересечениях S± ∩ S, но и вÒсекторах S± . Иными словами, правая часть (20.38) расширяет те же ряды Hи даёт аналитическое продолжение H на больший сектор S ∪ S± .Упражнения и задачиЗадача 20.1.
Рассмотрим стандартную нильпотентную жорданову клеткумаксимального размера J ∈ Mat(n, C), и пусть ad — линейный оператор коммутирования с J. Покажите, что линейное подпространство матриц, имеющихнули на всех местах, кроме последней строки, является трансверсальным(дополнительным) к образу ad .Задача 20.2 (доказательство теоремы Бореля — Ритта согласно [75]).Пусть ϕ(c, β; t) = 1 − exp(−ct −β ), 0 < β < 1, c > 0, — функция, голоморфнаяв сектореP ∞ S с раствором меньше 2π.P Для произвольного формального рядаFb = =1 a t рассмотрим ряд F = 6= 0 a ϕ(|a |−1 , β; t) t .1) Докажите, что |1 − exp z| < |z|, если Re z < 0.2) Докажите, что для некоторой β ∈ (0, 1), зависящей от S, функция −t −βимеет отрицательную вещественную частьPв S.3) Докажите, что ряд F мажорируется рядом 6= 0 |t|−β в секторе S.4) Докажите, что ряд F равномерно сходится в S.5) Докажите, что асимптотический ряд для F совпадает с Fb.6) Докажите теорему Бореля — Ритта.Приложение АЭлементы многомерногокомплексного анализаВ этом приложении собраны несколько фактов о голоморфных функцияхнескольких переменных и о римановых поверхностях.
Подробнее об этихфактах можно прочесть во многих книгах. Мы рекомендуем книги [28, 29,122, 121, 24] и недавно вышедший учебник [26].§ А.1. Голоморфные функции нескольких переменныхПусть U — открытая область в C . Дифференцируемая функция f : U → Cназывается голоморфной или аналитической (эти слова — точные синонимы),если её дифференциал комплексно линеен:df (λξ) = λ df (ξ)для любого ξ ∈ T U, a ∈ U.Это условие равносильно следующему уравнению в частных производныхКоши — Римана:∂1 ∂∂∂f = 0, j = 1, .
. . , n,=+i,∂z∂z2 ∂x∂ yОтображение f : C → C голоморфно, если все его компоненты — голоморфные функции. Отображение голоморфно в точке a, если оно голоморфнов некоторой окрестности точки a.Пространство всех голоморфных в области U функций обозначается O (U).Другое важное пространство — это пространство функций, голоморфныхв U и непрерывных на замыкании U: A (U) = O (U) ∩ C(U). Норма на этомпространстве задаётся формулойk f k = max | f (z)|.∈ Теорема Хартогса утверждает, что функция нескольких переменных голоморфна тогда и только тогда, когда она голоморфна по каждой переменной.§ А.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
