Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 101
Текст из файла (страница 101)
Локальная униформизацияаналитических кривых используется в этой книге многократно, особенно приприменении техники раздутия.§ А.14. Аналитичность и алгебраичностьЛюбое аналитическое подмногообразие комплексного проективного пространства P является алгебраическим многообразием (теорема Чжоу). Мероморфная функция на P рациональна, т. е.
записывается в однородных координатах на P как частное двух однородных многочленов одинаковой степени.Приложение БЭлементы теорииримановых поверхностей§ Б.1. Римановы поверхности и алгебраические кривыеРиманова поверхность — это комплексное многообразие размерности 1.Примеры: C, области C, сфера Римана, гладкие аффинные и проективныеалгебраические кривые.Множество нулей полинома называется аффинной алгебраической кривой.Аффинная алгебраическая кривая не обязана быть гладкой. Однако существует тесно связанная с ней риманова поверхность. А именно, для любойалгебраической кривой C существует риманова поверхность Ce и отображениеϕ : Ce → C, такое что регулярная точка a ∈ C имеет единственный прообраз b ∈ Ceи росток ϕ биголоморфен.
Кривая Ce называется нормализацией кривой C.Существование нормализации любой алгебраической кривой (теоремао нормализации) можно легко доказать, используя приведённую выше локальную теорему об униформизации и разбиение ростка аналитическойкривой на неприводимые ростки.Замыкание аффинной алгебраической кривой в проективной плоскостиназывается проективной алгебраической кривой. Такая кривая тоже можетбыть нормализована.Любая компактная риманова поверхность является алгебраической кривой. Есть много способов формализовать это утверждение. Один из нихзаключается в следующем.
Для любой абстрактной компактной римановойповерхности S существует проективная алгебраическая кривая C, нормалиeзация которой совпадает с S: S = C.Вообще говоря, проективные алгебраические кривые не обязаны бытьгладкими и в большинстве случаев не являются гладкими.§ Б.2. Род и степень алгебраической кривойРассмотрим аффинную алгебраическую кривую C. Многочлен наименьшей степени, множество нулей которого совпадает с C, называется минимальным многочленом кривой C и её проективного замыкания.Степень проективной алгебраической кривой равна числу её пересеченийс прямой общего положения.Степень алгебраической кривой равна степени её минимального многочлена.§ Б.4.
Голоморфные и мероморфные формы на римановых поверхностях413Нормализация проективной алгебраической кривой — компактная поверхность вещественной размерности 2, род которой определён. По определению, родом проективной алгебраической кривой называется род её нормализации. Родом аффинной алгебраической кривой называется род еёпроективного замыкания.Проекция π: C2 → C, (z, w) 7→ z, ограниченная на аффинную алгебраическую кривую C, — голоморфное отображение, локально биголоморфное всюду,кроме конечного числа критических точек.
Тройка (C, π, C) — разветвлённоенакрытие над C. Критические значения проекции π — точки ветвления этогонакрытия. Кратности критических точек — индексы ветвления k соответствующих точек ветвления.Проекцию π можно продолжить до голоморфного отображения проективного замыкания аффинной алгебраической кривой в сферу Римана. Предположим, что точки на бесконечности не являются критическими для такого продолжения. Тогда род g, степень m и индексы ветвления проективнойPалгебраической кривой связаны формулой Римана — Гурвица g = 1 − m + 12 (k − 1),где сумма берётся по всем критическим точкам проекции π.Для гладкой кривой степени m из этого следует, что g = 12 (m − 1)(m − 2).§ Б.3. Мероморфные функциина римановых поверхностяхФункция f : C → C голоморфна, если она голоморфна в любой локальнойкарте на C.
Из принципа максимума легко следует, что на компактных римановых поверхностях не существует непостоянных голоморфных функций.Росток мероморфной функции на римановой поверхности — это частноедвух ростков голоморфных функций. Функция, росток которой в любой точкемероморфен, называется мероморфной функцией.Мероморфные функции на сфере Римана рациональны.
Голоморфныефункции на аффинной алгебраической кривой, мероморфные на её замыкании, являются ограничениями многочленов степени два на эту кривую.Мероморфные функции на проективной алгебраической кривой суть ограничения рациональных функций на эту кривую.Для любой мероморфной функции на компактной римановой поверхности количество нулей с учётом кратностей равно количеству полюсов с учётомкратностей. Это соотношение поясняется в следующем пункте.§ Б.4. Голоморфные и мероморфные формына римановых поверхностяхБудем говорить, что 1-форма ω на римановой поверхности голоморфна(соответственно мероморфна), если в любой локальной карте z она имеетвид ω = f dz, где f — голоморфная (соответственно мероморфная) функция.Полюса функции f называются полюсами формы ω.
Из условия Коши —414Приложение Б. Элементы теории римановых поверхностейРимана f = 0 следует, что любая голоморфная 1-форма на римановой поверхности замкнута: dω = 0. Следовательно, по теореме Стокса, интегралголоморфной 1-формы по циклу на римановой поверхности зависит толькоот гомологического класса этого цикла.В частности, интеграл мероморфной 1-формы по маленькой окружностис центром в полюсе формы не зависит ни от окружности, ни от карты,в которой вычисляется интеграл. Число, получающееся при делении этогоинтеграла на 2πi, называется вычетом формы в полюсе. Применяя ещё разформулу Стокса, получаем, что сумма вычетов мероморфной формы накомпактной римановой поверхности равна нулю.Применяя это соотношение к логарифмической производной ω = df/fмероморфной функции f на компактной римановой поверхности, получаем,что количество нулей функции f равно количеству её полюсов (обе величинысчитаются с учётом кратностей).§ Б.5. УниформизацияПо определению, универсальное накрытие римановой поверхности односвязно.
Существует три попарно конформно неэквивалентных односвязныхвида римановых поверхностей: открытый диск, комплексная прямая и сфераРимана.Теорема об униформизации Пуанкаре — Кёбе утверждает, что на самомделе других односвязных римановых поверхностей не существует. А именно,любая односвязная риманова поверхность конформно эквивалентна илисфере Римана (эллиптический случай), или комплексной прямой (параболический случай), или единичному диску (гиперболический случай).
Из этогоследует, например, что любая риманова поверхность с циклической фундаментальной группой конформно эквивалентна либо C∗ , либо кольцу, либопроколотому диску. На этой классификации основано изучение параболических ростков в части IV.Список обозначений точкой наверху мы обозначаемдифференцированиепо комплексному времени:например, Ẋ , Ẏ, и т. д. 17dc·dcρ мажорантная ρ-норма85#M число изолированных точеканалитического множества M 241A∗ матрица, сопряжённая к A67A" банахово пространство функций,голоморфных в открытом дискеи непрерывных в замыкании 132A параболические ростки,касающиеся тождественногоотображения с порядком касанияp + 1 106Aut C[[x]] формальные автоморфизмыC в нуле 51pB радикал идеала 233B(a) идеал Баутинабез фильтрации 233B(a) идеал Баутинас фильтрацией 233B,ρ подпространство m-плоских рядовв банаховом пространстве Bρ 90B(ω ) пространство голоморфныхформ с фиксированной главнойоднородной частью ω 199C[[x]] множество формальныхстепенных рядов 48C[λ1 , .
. . , λ ] кольцо многочленов от mпеременных с комплекснымикоэффициентами 232c(S, M) суммарный индекс особыхточек слоения с инвариантнойкривой S на поверхности M 270D единичный диск60D(C , 0) ростки голоморфныхвекторных полей на C в нуле26D(U) векторные поля, голоморфныев области U 26D[[C , 0]] формальные векторные поляна C в нуле, струи векторных полейбесконечного порядка 50D" полидиск радиуса " 20Der A оператор дифференцированияалгебры A 27D(F) идеал Дюлака векторногополя F 246Diff(C , 0) группа ростков обратимыхголоморфных отображений 29Diff 1 (C, 0) подгруппа ростков,касающихся тождественногоотображения в нуле 106Diff[[C , 0]] обратимые формальныеотображения C в нуле 51dist(u, v) расстояние междуточками u и v 18Div(M) группа дивизоровна многообразии M 150∆R отображение голономии 195∆R1 оператор аналитическогопродолжения вдоль RP 1 199E исключительный дивизор на M 140exp tF поток за время t векторногополя F 55Fe раздутие слоенияс особенностями 160[F, G] коммутатор векторныхполей F и G 50F итеративная степень F ◦ .
. . ◦ F 54[G, G] коммутант группы G 108H комплексное пространствооднородных многочленовстепени m 67Hom A гомоморфизмы алгебры A 51I, = 〈 f, g〉 идеал, порождённыйростками f и g 152416Список обозначенийi(p, S, F ) индекс кривой S, проходящейчерез особую точку p ∈ S слоенияс особенностями F 267j укорочение формального рядадо порядка k 49J (G ) конечномерное пространствоk-струй ростков из G 189c0 (F, γ) порядок малости слоения Fвдоль неприводимой сепаратрисы γ279κ (F 0, L) порядок малости слоения Fвдоль компоненты L исчезающегодивизора 280LO (n, T ) пространство всехдифференциальных операторовпорядка n 363LO (T ) пространство всехдифференциальных операторовM комплексная лента МёбиусаM оператор мажорированияm максимальный идеал3631418449m k-я степень максимальногоидеала 163M (C , a) мероморфные росткив a ∈ C 409M (U) мероморфные функции в U41M (T ) поле мероморфных функцийна T 362µ0 (ω) кратность особой точки формыω в начале координат 160n-мерное распределениеν индекс Баутина23334O (U) кольцо функций, голоморфныхв открытой области U 17O (C , 0) кольцо ростков комплексноаналитических функций в нуле 232O (U) пространство векторнозначныхголоморфных функций 17O (R , 0) кольцо ростковвещественно-аналитическихфункций в нуле 232P область Пуанкаре 83P оператор Пикара 20R[λ1 , .
. . , λ ] кольцо многочленовот m переменных с вещественнымикоэффициентами 232S область Зигеля 83S1 единичная окружность 326Sat(B, F ) насыщение множества Bлистами F 38Σ, Σ , Sing F множество особыхточек F 41S группа симметрий росткааналитической функции u 115τ (F, γ) порядок касания слоения Fи кривой γ в точке a 166TM касательное расслоениемногообразия M 319T∗ M кокасательное расслоениемногообразия M 319tr ∇ след связности 336Φ (·) отображение фазового потокав автономном случае 26Φ10 отображение фазового потока 24Z(g) централизатор элемента g 110Предметный указательАвтономное дифференциальноеуравнение 18альтернатива для расходимостилинеаризации 99— Титса для групп конформныхростков 108аналитическая (топологическая,формальная) эквивалентностьконечно порождённых подгрупп 105аналитическая кривая 42аналитическое дифференциальноеуравнение 17асимптотический ряд 392Бесконечные струи 50биголоморфно эквивалентныевекторные поля 27Векторное расслоение 318вертикальная функция 392вертикальный слой 289вес компоненты исключительногодивизора 277взвешенная C-норма 402включаемый голоморфный росток 55вронскиан (определитель Вронского)366вычет связности 332— фуксовой особой точки 301Гиперболическое биголоморфноеотображение 131— инвариантное многообразие 136гиперболичность 131гипергеометрическое уравнение 381глубина Баутина 233голоморфная (калибровочная)эквивалентность 294— классификация фуксовыхособенностей 304— коцепь 151голоморфно эквивалентныедифференциальные уравнения 25голоморфный росток 189гомологическое уравнение 63гомотопический метод (метод путей)96группа голономии 38— исчезающей голономии 148, 212— монодромии 294— симметрий ростка аналитическойфункции 115Данные монодромии 310дивизор нулей функции 150дикритическая особая точка 145диофантовый набор комплексныхчисел 93достаточная струя 182Ёмкость (гармоническая,электростатическая) 99, 102Жёсткая (топологически) группаростков 116, 124, 128Задача Коши 18замкнутость идеалов 239замкнутые подгруппы в C∗ 122Идеал Баутина 233, 247— — периодический 236— Дюлака 246— радикальный 233изолированная сепаратриса 286инвариантное определениеобобщённых эллиптическихособенностей 195инвариантное подмногообразие 131индекс Баутина 233— гладкой аналитическойинвариантной кривой 267418Предметный указательиндекс Камачо — Сада 266— пересечения 156— самопересечения 157— сепаратрисы 266интегральная кривая 17интегрируемое сечение 376интегрируемость мероморфная 225— по Дарбу 225интегрируемость слоения 208— формальная 209интегрируемый росток 115исключительный дивизор 139, 141Калибровочная эквивалентность 294— — локальная 298— — мероморфная 296— — формальная 298, 301калибровочное преобразование 294канонические петли 346канонический базис пространстваC[[x]] 49касательное расслоение 319каспидальная (нильпотентная) особаяточка 78квазимногочлен 24классификация абелевыхнелинеаризуемых групп 114— некоммутативных метабелевыхгрупп 114классы Бернштейна 244кограница 320кольцо полуформальных рядов 232коммутант группы 108коммутатор векторных полей 28коммутирующие матричные вычеты 47комплексные сепаратрисы 42комплексный «седловой» случай 215— «узловой» случай 215коцепь 151, 320коцикл Биркгофа — Гротендика 325— Картана 337— матричный 320— Соважа 339кратность особой точки 160— пересечения 152критерий интегрируемостиФробениуса 35Лемма о перестановке 315— Соважа 340лента Мёбиуса комплексная 141линейная система дифференциальныхуравнений 22линейное расслоение 324линейный дифференциальныйоператор 363линия Стокса 392лиувиллева функция 228лиувиллевый набор комплексныхчисел 93логарифмическая 1-форма 225логарифмический ряд 57логарифмическое слоение 225локальная алгебра 152— группа голономии 43— неприводимость 386— тривиализация 318— униформизация (параметризация)аналитических кривых 42локальное кольцо 49локальный слой 32Мажорантная ρ-норма 85мажорантное пространство 85матрица монодромии 293— Стокса 393матрица-вычет 309матричный логарифм 55мероморфная 1-коцепь 151— классификация регулярных особыхточек 300— связность 331метабелева группа 108метод вариации постоянных 292— мажорант 84— путей (гомотопический метод) 95монический оператор 363моноблок 357моноидальное отображение 141монополь 314мультипликативная областьПуанкаре 92мультипликативное условие Брюно 94мультипликативный резонанс 74— резонансный моном 74Набор Стокса 396насыщение множества 38недикритическая особая точка 145нейтральные струи 189Предметный указательнемонодромные особенности безхарактеристических орбит 180неподвижная точка отображения 18неприводимый росток 410неравенство Бернштейна 100— Гронуолла 292неразрешимость устойчивостипо Ляпунову 205неугловая особая точка 146— точка Кано 272нормализующая коцепь 395нормальная форма Каптейна 256— — Пуанкаре — Дюлака — Левеля 303носитель дивизора 150нулевой лист 290419— Пуанкаре 83обобщённая эллиптическая особаяточка 194обобщённо дикритическая особаяточка 275обратимые особенности 228однопараметрическая псевдогруппабиголоморфных отображений 26оператор дифференцирования 27— мажорирования 84— неприводимый 364— приводимый 364— унипотентный 52орбита псевдогруппы 118орбитальная симметрия 110основная альтернатива 176особая точка голоморфного векторногополя 29— — фокус 175— — центр 175отображение голономии 38— монодромии 175— потока 24— соответствия вдоль пути 37поле направлений 35полная голоморфная классификацияфуксовых особенностей 308полные (банаховы) пространства 20полуалгебраическое множество 181полумонодромия обобщённойэллиптической особой точки 196полуформальный ряд 71полярное схлопывание 138порядок аналитической кривой 275— голоморфного ростка 158— — слоения 276— касания 165— конформного ростка 106— малости слоения 279— мероморфной функции 328потенциал 102правило Лейбница 27предельный цикл 119, 176приближения Пикара 22пример Эйлера 136примитивный интеграл 209принцип сведенияПью — Шуба — Шошитайшвили 193— сжимающих отображений 18проблема продолжения 214— Пуанкаре 275— Римана — Гильберта 345производящая функция 233прообраз дивизора при голоморфномотображении 151простое слоение с особенностями 220простой касп 163пространство ростков 26процесс деления и дифференцирования242псевдогруппа 117псевдофокус 207псевдоцентр 207пфаффова форма 44пфаффово уравнение 44Парадигма Пуанкаре — Дюлака 66Радикал 257, 263первый интеграл группы 115— — ростка 115— — слоения 208плоская функция 392площадка слоения 32подготовительная теоремаВейерштрасса 230радикал идеала 233раздутие 138— простое 143— слоения с особенностями 145— стандартное 141— тригонометрическое 139— хорошее 146Область Зигеля 83420Предметный указательразложение Биркгофа 344разрешение особенностей 138разрешимая группа 108разрешимое множество 182разрешимость задач локальнойклассификации 179— полная 191ранг Пуанкаре 296распределение Картана 375расслоение струй 374расширение Пикара — Вессио 367резонанс 61резонансная фуксова особая точка 302резонансное седло 78— соотношение 61резонансный векторный моном 66— набор 61— узел 78росток гиперболический 121— Кремера 94— мероморфно интегрируемый 225— параболический 106ряд формальный 48Связность Болибруха 359седлоузел 78, 172седлоузловое отображение 82сектор взлёта 384— спада 384секториальная схема 178сечение локальное 327— расслоения 327сигма-процесс 138сильно сжимающий оператор 87система Болибруха 310— Лотки — Вольтерры 264— Льенара 81— Эйлера 295складки 228слабый фокус 201след связности 336слоение 32— монодромное 174смешанный сектор 401сопряжение дифференциальныхоператоров 28— уравнения 25сопутствующая система 364стандартное голоморфное слоение 32— покрытие 395— — римановой сферы 324степень линейного расслоения 325стратификация 410струйное расширение 375суммарный индекс 270схлопывание 141Теорема Адамара — Перронадля биголоморфизмов 131— для голоморфных потоков 131Баутина 255Белицкого 69Биркгофа о нормальной форме 385— о реализации 397Болибруха 387Бохнера о линеаризации 107Брюно 94Гильберта о нулях 234деления для ростков 239Жолондека 256Зигеля 93Камачо — Сада 265о выпрямлении 25— векторного поля 29о жёсткости для групп конформныхростков 125— о классификации нерезонансныхиррегулярных особенностей 396— о плотности для типичныхпсевдогрупп 123— о секториальной нормализации 392— о формальной диагонализации 388— об индексе для связностина векторном расслоении 336— об униформизации 95— Пуанкаре о линеаризации 62— — о нормализации 84— Пуанкаре — Дюлака 66— — для отображений 74— — для фуксовых особых точек 303— Пуанкаре — Ляпунова 211— Римана 366— Римана — Фукса 309теорема Соважа 301— Тарского — Зайденберга 182— Хиронаки о деленииполиномиальных идеалов 239— Шрёдера — Кёнигса 92тип расщепления 337тождественная сепаратриса 286————————————————Предметный указательтождественный цикл 176топологически достаточная m-струя 185тривиализация отображения 318тригонометрическое раздутие 139Угловая особая точка 146— точка Кано 272— форма 147узел рациональный 167униформизация 410уравнение Абеля 98— Льенара 81условие Брюно 93— Лоясевича 167— нейтральности 201— плотности 122устойчивая по Ляпунову особенность206Фазовая кривая 18фазовый портрет поля 171факторполе 248факторсистема 80факторуравнение 248фильтрация 106форма связности 266, 331формально мероморфные решения 305— орбитально эквивалентныевекторные поля 78формальное векторное поле 50— решение 54формальные нормальные формы 61формальный автоморфизм C в нуле 51— поток 54421— ряд 48формула Лиувилля — Остроградского24, 297фуксова особая точка 301— система 309фундаментальная матрица решений 291— последовательность(последовательность Коши) 19P-функции Римана 381функция Грина 100— с контролируемым ростом 299— смещения 231Характеристическая матрица 306— траектория 174характеристические показателифуксовой особенности 373Целое замыкание 245централизатор элемента 110цепочка Баутина 233цикл 119цикличность вещественная 241— комплексная 241— особой точки 231n-Эквивалентность голоморфныхростков 189эквивалентность коциклов 321— наборов Стокса 396экспонента линейного оператора 23элементарная особая точка 78, 146эллиптическая особая точка 78эффективный дивизор 150Литература1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
