Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 98
Текст из файла (страница 98)
. . , λ }, λ 6= λ , и формальную замену Hсопрягающую. Для данного сектора S мы можем говорить о секториальномÒ в этот сектор.сопряжении (или сопряжениях), продолжая H§ 20.10. Нормализация в «узких» секторахСначала мы покажем, что задача построения голоморфной секториальной нормализации, сопрягающей иррегулярную особенность со своейдиагональной нормальной формой, может быть решена в любом достаточно«узком» секторе — а именно, это справедливо, если раствор сектора меньше,чем π/(m − 1). Сравнительно простое рассуждение, позволяющее увеличитьраствор сектора до π/(m − 1) + 2δ, перейдя таким образом к секторам S ,образующим стандартное покрытие, приводится в разделе § 20.13.По теореме Бореля — Ритта [75, § 9.2] (см.
также задачу 20.2), в любомсекторе S существует такая аналитическая матричная функция F(t), что еёасимптотическим рядом в S является наперёд заданный нормализующийÒ. Сопрягая систему (20.5) с помощью F, мы получаем новую системуряд Hвида t Ẋ = A0 (t)X , где матрица A0 (t) голоморфна в S и её асимптотическийряд в нуле совпадает с рядом Тейлора Λ(t) формальной нормальной формыt Ẋ = Λ(t)X . Таким образом, для построения секториального сопряжениямежду системой и её исходной нормальной формой достаточно с помощьюподходящей секториальной замены уничтожить плоскую недиагональнуючасть B(t) системыt Ẋ = (Λ(t) + B(t))X ,B(t) = kb (t)k,b ∈ O (S),S = {α < arg t < β, |t| < r},b ≡ 0,b плоская в S,π|β − α| =− 2δ.m−1(20.22)§ 20.10. Нормализация в «узких» секторах399Согласно предложению 20.2, мы можем считать, что диагональные элементы матрицы B равны нулю.
Положительные параметры 1δ>0 и 0<r 1,определяющие сектор S, могут считаться настолько малыми, насколько этонеобходимо.Отображение H(t), сопрягающее системы (20.22) и (20.10), голоморфныев секторе S, с одинаковыми асимптотическими разложениями, удовлетворяетдифференциальному уравнениюt Ḣ = ΛH − H(Λ + B) = [Λ, H] − HB.(20.23)Плоская разница Y (t) = H(t) − E удовлетворяет уравнениюẎ = [Λ, Y ] − (E + Y )B,t ∈ S,B(·) плоско в S.(20.24)Обозначим набор всех внедиагональных элементов матрицы Y черезy = ( y1 , . . . , y ) ∈ C , k = n(n − 1).
Тогда система (20.24) принимает видt ẏ(t) = [D + G(t)] y(t) + g(t),t ∈ S,(20.25)где D — диагональная матрица, соответствующая коммутатору с главнымчленом Λ0 = diag{λ1 , . . . , λ } формальной нормальной формы Λ(t),D : Y 7→ DY = [Λ0 , Y ].Поскольку мы предполагаем, что система нерезонансна, все собственныезначения D ненулевые:D = diag{µ1 , . . . , µ },µ 6= 0, i = 1, .
. . , k, k = n(n − 1).(20.26)Член G(t) соответствует коммутатору с нелинейными членами и умножению на плоские внедиагональные члены матрицы B:Y 7→ GY = [Λ(t) − Λ0 , Y ] + YB(t).В наших предположениях G(t) стремится к нулю при t → 0. Неоднородность g(t) содержится во внедиагональных элементах матрицы B(t) и такжеявляется плоской в нуле.Удобно ещё сильнее упростить систему, уменьшая ранг Пуанкаре до минимума и помещая особую точку в бесконечность. Таким образом, главнаячасть будет системой с постоянными коэффициентами, легко поддающаясяявному интегрированию.Замена независимой переменной t ∈ S ⊂ (C, 0) на z = 1/t −1 ∈ (P, ∞)переводит 1-форму t − dt в (1 − m) dz.
Эта замена приводит систему (20.25)к видуdy= (1 − m)[D + G(z 1/(1−) )] + (1 − m)g(z1/(1−) ),dzопределённому в секторе S0 с вершиной на бесконечности и раствором строгоменьше π. Поворачиваяплоскость z при необходимости, мы всегда можемсчитать, что S0 = |z| > r, |arg z| < π/2 − δ , где δ > 0 — малый положительныйпараметр.400Глава 20. Иррегулярные особенности и явление СтоксаВозвращаясь к предыдущим обозначениям, мы можем переписать систему (20.25) относительно новой переменной z следующим образом:dy = [D + G(z)] y + g(z),dzy ∈ C ,©¦πz ∈ S0 = |z| > r, |arg z| < − δ ,2G(z) = o(1), g(z) = o(z − ) ∀ N ∈ ND = diag{µ1 , .
. . , µ },при z −→∞,0(20.27)µ 6= 0.Теорема 20.23. Система (20.27) имеет плоское решение, голоморфноев секторе S0.Следствие 20.24. Система (20.24) имеет голоморфное плоское решениеY ∈ O (S) в любом «узком» секторе S с раствором меньше π/(m − 1).Ключевая идея доказательства этой теоремы состоит в том, чтобы рассматривать систему (20.27) как возмущение линейного диагонального уравненияdy= Dy,dzz ∈ S0 ,D = diag{µ1 , . . . , µ }.Поскольку последняя система мгновенно интегрируется, мы можем явноописать оператор резольвенты S для соответствующего неоднородного уравненияdy= Dy + h ⇐⇒ y = Shdzс помощью метода вариации постоянных. Резольвента S оказывается ограниченным линейным интегральным оператором при подходящем выборе путейинтегрирования, как показано в § 20.11.
Используя резольвенту S, исходноеуравнение (20.27) может быть переписано как уравнение на неподвижнуюточку:y = S[Gy + g],где оператор y 7→ G y = Gy + g настолько сильно сжимает, что композиция SGтакже сжимает на подходящем банаховом пространстве.Перейдём к подробному изложению.§ 20.11. Ключевой примерДля начала рассмотрим конкретный пример одномерной системы (20.27):dy = µ y + g(z),dz0 6= µ ∈ C, y ∈ C1 , z ∈ S0 ,(20.28)с плоской неоднородностью g(z) ∈ O (S0 ), не содержащей линейных неавтономных членов, т.
е. G ≡ 0. Мы ищем решение, плоское в секторе S0.Решение этой системы даётся явной формулой, получаемой с помощьюметода вариации постоянных (см. замечание 15.6): для произвольного выборабазисной точки b ∈ S0ZZy(z) = eµ y(b) +e−µζ g(ζ) dζ= eµ y(b) +eµ(−ζ) g(ζ) dζ.(20.29)401§ 20.11. Ключевой примерВерхним пределом интегрирования является переменная точка z. Нижнийпредел b ∈ S0 и соответствующее краевое условие y(b) должно быть выбранотаким образом, чтобы решение (20.29) было плоским в S0.В зависимости от относительного расположения 0 6= µ ∈ C и S0 возникаетдва случая, которые нужно рассматривать по отдельности.1. Re µa > 0 для некоторого a ∈ S0.
Иными словами, решение однородногоуравнения неограниченно в S0 ; это происходит, когда S0 пересекаетсяс некоторым сектором взлёта (в смысле определения 20.1).2. Re µz < 0 для всех z ∈ S0. Иными словами, решение однородного уравненияубывает экспоненциально быстро в S0 (т. е. S0 принадлежит сектору спада).Мы не будем обсуждать промежуточный случай, в котором Re µz = 0 вдольодного из лучей, ограничивающих S0, поскольку он нам не потребуется. Мыбудем называть сектор первого типа смешанным сектором с направлениемроста a ∈ C, а секторы второго типа, как и прежде, называть секторами спада.В смешанном секторе выберем базовую точку в бесконечности в направлении роста, b = +∞ · a.
Более точно, мы рассматриваем лучR = z + R+ a = {ζ = z + sa : s ∈ R+ }(с ориентацией, индуцированной R+ ) и интегральный оператор S+ : f 7→ S+ f,S+ f (z) = −Zeµ(−ζ) f (ζ) dζ = −aZ+∞e−·µ f (z + sa) ds,s ∈ R+ .(20.30)0Этот интеграл сходится, поскольку обе функции e−µ и f (z + sa) оченьбыстро убывают при s → +∞. Отметим, что, поскольку сектор S0 считаетсяузким, мы всегда можем удалить ограниченное подмножество таким образом,что оставшееся бесконечное множество выпукло. Для выпуклых областей этаконструкция всегда корректно определена.В секторе спада мы выбираем в качестве базовой точки b = r на «внешнейокружности» сектора S0 и фиксируем начальное условие y(b) = 0. Тогда решение y(·) даётся интегральным оператором S− вдоль отрезка [z, r] = −[r, z] == {z − sa : 0 ¶ s ¶ |z − r|}, где a = a(z) = (z − r)/|z − r|,S− f (z) = −Zeµ(−ζ) f (ζ) dζ = −a|−|Ze·µ f (z − sa) ds,a(z) =z−r.
(20.31)|z − r|0[,]В данном случае нет вопроса о сходимости, поскольку отрезок всегдаконечен.Определение 20.25. Для данного сектора S0 и такого ненулевого комплексного числа µ, что Re µz 6= 0 на границе S0, обозначим через S = Sµ,0соответствующий интегральный оператор S , если Re µa > 0 для некоторого a ∈ S0 ,+(20.32)Sµ,0 = S− , если Re µz ¶ δ0 < 0 для всех z ∈ S0 .|z|402Глава 20. Иррегулярные особенности и явление СтоксаОбозначим через O (S0 ; N) пространство функций, голоморфных в секторе S0 и убывающих не медленнее O(|z|− ) для неотрицательного числа N ¾ 0.На этом пространстве можно ввести взвешенную C-норму.k f k = k f k0 ; = sup |z| | f (z)|.
∈ 0(20.33)Лемма 20.26. Оператор Sµ,0 , рассматриваемый как линейный оператор,действующий на подпространстве O (S0 ; 0), является ограниченным. Болеетого, он остаётся ограниченным, даже если рассматривать его как операторна пространстве O (S0 ; N).Доказательство. Зафиксируем сектор S0 и в зависимости от выбора µрассмотрим отдельно два случая: S0 является смешанным сектором или является сектором спада. Сначала мы рассмотрим случай N = 0, соответствующийобычной супремум-норме.Если S0 является смешанным сектором и k f k = 1, т.
е. | f (z)| ¶ 1, тоZ∞|S+ f (z)| ¶ |a|e− ds =|a|,cc = Re µa > 0.00Если S является сектором спада, то|−|Ze ds ¶|S− f (z)| ¶ |a|1,|c|c = c(z) = Re µa(z).0Если z принадлежит образу r + S0 сектора S0 при сдвиге на r, то точка a(z) == (z − r)/|z − r| с модулем 1 принадлежит S0, и следовательно, по второмупредположению (20.32), модуль |c(z)| ¾ δ0 > 0 ограничен снизу. Из этогоследует, что S− f ограничена в r + S0.Более того, можно заменить S0 другим сектором S00 ⊃ S0 с чуть большимраствором, но всё ещё остающимся сектором спада; из рассуждения, приведённого выше, в этом случае следует, что S− f ограничена в r + S00.
Остаётсязаметить, что разность S0 \(r + S00 ) ограниченна, её диаметр зависит толькоот S0, S00 и r, и, таким образом, интеграл (20.31) также является ограниченным. Тем самым мы доказали ограниченность S− относительно стандартнойсупремум-нормы k·k0 на S0.Чтобы доказать ограниченность относительно «взвешенной нормы» k·k ,предположим, что k f k ¶ 1, т. е. | f (z)| ¶ |z|− , и снова рассмотрим два случаядля S0.Пусть S0 — смешанный сектор.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
