Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 93
Текст из файла (страница 93)
. . , tи голоморфна во всех остальных точках U0 ;2) Ω1 голоморфна в U1 ;3) в кольце U01 формы Ω0 и Ω1 сопряжены матричной функцией H = H10 (t),см. (19.21), в которой r = r10 (t) = t 2− .−1Определитель det H10 = t (2−)(−1)/2 = det H01является стандартным коциклом, связанным с расслоением ξ , d = (m − 2)n(n − 1)/2. Следовательно,Ω0 , Ω1 — это две тривиализации фуксовой связности на голоморфном векторном расслоении, связанном с коциклом {H01 , H10 }, имеющем степень d. Из этого результата и следствия 17.35 немедленно выводится утверждениео сумме всех характеристических чисел.Следствие 19.27.
Сумма всех характеристических чисел регулярного уравнения порядка n с m особыми точками на сфере Римана равна (m − 2)n(n − 1)/2.§ 19.6. Проблема Римана — Гильбертадля уравнений высших порядковПроблема Римана — Гильберта для скалярных уравнений состоит в том,чтобы построить фуксово уравнение порядка n на P с заданной группоймонодромии. Эту проблему зачастую невозможно решить по одной простой причине: размерность множества данных монодромии больше, чемразмерность множества фуксовых уравнений.Действительно, любое уравнение с m + 2 особыми точками t0 = 0, t1 , .
. . ,. . . , t ∈ C, t+1 = ∞ ∈ P является фуксовым тогда и только тогда, когдасоответствующий линейный оператор может быть записан в формеL = D + a1 D −1 + . . . + a ,a =p (t),∆ (t)p ∈ C[t],∂,∂tD=deg p ¶ mk,k = 1, . . . , n,(19.26)Y∆(t) =(t − t )1в силу ограничения на порядки полюсов коэффициентов во всех особыхточках (отметим, что D имеет простой полюс в точках t0 и t+1 ). Общеечисло параметров (в предположении, что особые точки фиксированы):12(m + 1) + (2m + 1) + .
. . + (nm + 1) = mn(n + 1) + n.§ 19.6. Проблема Римана — Гильберта для уравнений высших порядков379Общее число элементов в m + 1 матрице монодромии равно (m + 1)n2(последняя матрица определяется однозначно, так как произведение всехматриц равняется единице). На самом деле можно считать, что одна из матриц приведена к жордановой нормальной форме, что даёт n диагональныхчленов (и дискретный выбор 0 или 1 в наддиагональной последовательности).Следовательно, множество данных монодромии имеет размерность mn2 + n.Второе число почти всегда больше первого, и следовательно, проблемаРимана — Гильберта неразрешима для большинства данных монодромии.Равенство выполняется в двух случаях: m = 0 и n = 1. Первый случай соответствует уравнениям Эйлера (см.
задачу 19.12), второй — скалярным уравнениям. Во втором случае монодромия коммутативна и очевидно, что любойнабор из m мультипликаторов может быть реализован скалярным уравнениемпервого порядка с заданными полюсами.Для уравнения Эйлера группа монодромии задаётся единственной матрицей M.Предложение 19.28. Любая обратимая матрица M ∈ GL(n, C) можетбыть реализована (по модулю сопряжения) как матрица монодромии оператора Эйлера−1∂(19.27)D 0 + a1 D 0+ .
. . + a−1 D 0 + a ,D 0 = t , a1 , . . . , a ∈ C.∂tДоказательство. Мы покажем, как матрица в жордановой нормальнойформе может быть реализована как монодромия уравнения Эйлера.Немедленно проверяется, что матрица монодромии оператора D 0 , k¾1, —это (максимальная) нильпотентная жорданова клетка размера k × k в базисе1, ln t, .
. . , ln−1 t. «Сопряжённый» оператор (D 0 − λ) имеет максимальнуюжорданову клетку с собственным значением µ = exp 2πiλ в базисе t λ ln t,j = 0, 1, . . . , k − 1.Чтобы построить произвольную матрицу с несколькими жордановымиклетками разного размера, мы используем композицию элементарных множителей такого же вида, которая снова является моническим операторомЭйлера. Отметим, что операторы Эйлера всегда коммутируют между собой,поскольку их коэффициенты постоянны.Если M состоит из нескольких жордановых клеток размеров ν1 , . . . , νс одним и тем же собственным значением µ 6= 0, то матрица монодромииреализуется композицией коммутирующих операторовYL=(D 0 − λ − j)ν=11ln µ.для всякого фиксированного выбора логарифма λ =2πiНаконец, если M = diag{M1 , . .
. , M }, где каждая из клеток M имеет единственное собственное значение (одноточечный спектр) µ , она может быть реализована как оператор Эйлера Lµ , и следовательно, вся матрица реализуется«произведением» (композицией) коммутирующих операторов L=Lµ1 . . . Lµ . Можно попытаться ослабить проблему Римана — Гильберта для фуксовыхуравнений и требовать меньше. Например, можно рассмотреть такой есте-380Глава 19. Линейные дифференциальные уравнения высших порядковственный вопрос: можно ли реализовать данный набор характеристическихчисел подходящим фуксовым уравнением?«Множество характеристических чисел» фуксовой системы с m особымиточками имеет размерность mn − 1.
Эта размерность на единицу меньшепроизведения mn, поскольку характеристические числа должны удовлетворять равенству из следствия 19.27. Оно почти всегда меньше размерностимножества фуксовых уравнений заданного порядка с указанным числомособых точек, а это означает, что, вообще говоря, решение должно бытьнеединственным.Есть только один случай, когда эти размерности совпадают: m = 3, n = 2,т. е.
для уравнений второго порядка с тремя особыми точками. Общая суммахарактеристических чисел в этом случае равна 1 по следствию 19.27.Теорема 19.29. Любые 6 чисел, сумма которых равна 1, могут быть реализованы как характеристические числа фуксова уравнения второго порядкас тремя особыми точками.Доказательство. Заметим для начала, что характеристические числа вкаждой точке могут быть сдвинуты на произвольную константу при условии,что эти три константы в сумме дают ноль (см. задачу 19.16). Следовательно,достаточно реализовать набор характеристических чисел вида(0, α),(0, β),(γ, 1 − (α + β + γ)).(19.28)Всегда можно использовать метод промежуточных коэффициентов (19.26),явно выражая характеристические числа данного уравнения и показывая,что соответствующая задача интерполяции для коэффициентов многочленадействительно имеет единственное решение.Свобода в выборе производных позволяет существенно упростить этивычисления. Предположим (как это всегда делается), что три особые точки —∂это 0, 1 и ∞.
Рассмотрим векторное поле D = t(t − 1) , имеющее простые∂tособенности в t = 0, 1 с собственными значениями −1 и 1 соответственнои неособой точкой на бесконечности.Оператор∂L = D 2 + p1 (t) D + q2 (t), D = t(t − 1) ,(19.29)∂tявляется фуксовым, если p1 , q2 — мероморфные функции на всей конечнойчасти C с полюсами соответственно порядка 1 и 2 на бесконечности (предложение 19.18). Это означает, что p1 и q2 — многочлены от t степени 1 и 2соответственно.Соответствующие характеристические числа в точках t0 = 0 и t1 = 1являются корнями многочленов (−λ)2 + p(t0 )(−λ) + q(t0 ) и λ2 + p(t1 )λ + q(t1 )соответственно (замена λ на −λ происходит из-за того, что собственноечисло D в точке t0 равно −1), см. пример 19.20. Следовательно, p — этолинейный многочлен, принимающий значения −α и β в точках t0 = 0 и t1 = 1соответственно и q равен нулю в обеих этих точках: q = ct(t − 1).
Чтобывычислить характеристические числа на бесконечности, мы переразлагаемоператор (19.29) по степеням оператора Эйлера D 0 = (t − 1)−1 D с собственным381§ 19.6. Проблема Римана — Гильберта для уравнений высших порядковзначением −1 на бесконечности.
После деления на (t − 1)2 мы получаеммонический дифференциальный полином со свободным членомct−→ c,t − 1 →∞значение которого в t = ∞ равняется произведению γ1 γ2 характеристическихчисел в точке t2 = ∞.Таким образом, полагая c = γ(1 − (α + β + γ)), мы получаем гипергеометрическое уравнение, которое даёт решение «ослабленной проблемы Римана —Гильберта» в частном случае уравнения второго порядка с тремя особымиточками:∂L = D 2 +(−α+ t(α+β)) D +γ(1−(α+β +γ)) t(t −1), D = t(t −1) . (19.30)∂tЭто разложение проще запомнить, чем стандартное разложение [36] гипергеометрического уравнения2∂(19.31)L = t(1 − t)D 0 + γ0 − (α0 + β 0 + 1)t D 0 − α0 β 0 , D 0 = ,∂tхарактеристические числа которого в тех же точках 0, 1, ∞ равны(0, 1 − γ0 ),(0, γ0 − α0 − β 0 ),(α0 , β 0 ).Общее решение этого уравнения имеет устаревшее название P-функцииРимана.Замечание 19.30.
Термин «гипергеометрическая система» зарезервирован для линейных систем на P специального вида. Пусть S ∈ Mat(n, C) —диагонализируемая матрица с простым спектром {s, . . . , s } и A ∈ Mat(n, C) —произвольная матрица. Рассмотрим линейную систему, связанную с обыкновенным дифференциальным уравнением(tE − S) ẋ = Bx,x ∈ C , t ∈ C ⊂ P,(19.32)где через E обозначена единичная матрица. Линейной заменой координатматрица S всегда может быть диагонализирована. Получаем мероморфнуюсистему(t − s1 )−1ẋ = .. Bx..(t − s )(19.33)−1Эта система имеет простые полюсы в точках s1 , . .
. , s и в точке t = ∞.Матрица-вычет A в каждой точке имеет ранг 1: только j-я строка матрицы Bявляется ненулевой строкой. Следовательно, характеристические числа в этихточках все равны нулю, кроме, быть может, b ∈ C.Связь между двумя понятиями, гипергеометрической системы и гипергеометрического уравнения, очевидна. Каждая компонента гипергеометрической (2 × 2)-системыtt−1ẋ = ac db x(19.34)удовлетворяет гипергеометрическому уравнению (19.30) (задача 19.17).382Глава 19. Линейные дифференциальные уравнения высших порядковУпражнения и задачиЗадача 19.1 (см. [103, 104]). Докажите, что C-линейное отображениеL : M → M является линейным дифференциальным оператором порядка ¶ nтогда и только тогда, когда итерации коммутатора [g0 , [g1 , [. .
. , [g , L] . . .]]]становятся тождественными (как отображение из M в себя) для любых n + 1отображений g : M → M , f 7→ g f.Упражнение 19.2. Докажите, что монодромия линейного уравнения L f = 0,L ∈ LO (T ), разрешима, если и только если голономия соответствующей сопутствующей системы разрешима.Задача 19.3. Пусть f1 , . . . , f — функции, голоморфные в области U ⊂ T.Докажите, что если W ( f1 , . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
