Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 96
Текст из файла (страница 96)
Срезающее преобразование и разветвлённаяформальная нормальная формаДальнейшее упрощение системы возможно, только если мы расширимкласс формальных преобразований, разрешив разветвлённые формальные преобразования, задаваемые формальными рядами по дробным степеням t. Необходимость в переходе к дробным степеням была осознана Э. Фабри в 1885 г.Пример 20.12 (продолжение примера 20.10). Снова рассмотрим случайсистемы, ведущая матрица которой является жордановой клеткой макси-§ 20.5.
Срезающее преобразование и разветвлённая формальная нормальная форма 391мального размера. По замечанию 20.11, без потери общности мы можемполагать λ0 = 0. Предположим, что r ∈ Q является положительным рациональным числом, и рассмотрим калибровочное преобразованиеH(t) = diag{1, t − , t −2 , . . . , t (1−) }.(20.15)Это преобразование переводит систему (20.5) с матрицей A(t) к виду (20.14)с матрицейt0t. . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . − t −1 R,0t(1−)(2−)−ta ta−1 . . . t a2 a10где R = diag{0, r, 2r, . . . , (n − 1)r} — диагональная матрица. Порядки нулейν ∈ N формальных рядов a (t) положительны, поскольку a (0) = 0. Выберемтакое r, что порядки всех членов a0 (t) = t − a (t) всё ещё неотрицательны, нонаименьший из них равен нулю, r = min ν /k. Знаменатель r не больше чем n.После сопряжения оператором H матрица системы примет следующий вид:Ẋ = [t −+ A0 (t) + t −1 R]X ,r > 0,(20.16)0где сопутствующая матрица A (t) похожа на матрицу в (20.14), но её элементы a0 (t) ∈ C[[t 1/ ]], k = 1, .
. . , n, теперь являются формальными рядамипо дробным степеням t (и без диагонального члена λ0 ). Ведущий (матричный)коэффициент A0 (0) ряда A0 (t) является сопутствующей матрицей с комплексными числами a0 (0), . . . , a01 (0) в последней строке. По выбору r, они не могутбыть одновременно равны нулю. Отметим, что tr A0 (0) = a01 (0) = a1 (0) = 0.Следовательно, если после срезающего преобразования система остаётсянефуксовой (т. е. если r < m − 1), то как минимум одно из собственных чиселматрицы A0 (0) должно быть отлично от нуля.Несколько более подробные вычисления позволяют доказать аналогичноеутверждение в случае, если главный матричный коэффициент A0 состоит изнескольких жордановых клеток с общим собственным значением.Отметим, что построение, описанное в § 20.4, применимо без каких-либоизменений к разветвлённым формальным рядам по дробным степеням t (т.
е.когда индексы i, j, k пробегают арифметическую прогрессию с рациональнойнецелой разностью). Применяя теорему 20.7 в этой более общей ситуации, мывидим, что система (20.16) может быть формальна разделена на две подсистемы.Итерируя эти два шага (разделение системы и последующее срезающеепреобразование) необходимое число раз, можно доказать следующий результат.Теорема 20.13 (Хукухара (1942), Турритин (1955), Левель (1975)). Подходящим формальным разветвлённым преобразованием иррегулярная особенностьможет быть приведена к диагональной формеA(t) = t −1 P1 + t −2 P2 + .
. . + t − P + t −1 C,где r1 > r2 > . . . > r > 1 — рациональные числа со знаменателем, не превосходящим n!, и P1 ,. . ., P ∈Mat(n,C) — диагональные матрицы, коммутирующие с C.392Глава 20. Иррегулярные особенности и явление СтоксаМы не приводим здесь подробного доказательства этой теоремы, см. [73] иссылки там. Вместо этого мы сосредоточимся на более прозрачном нерезонансном случае и изучим проблему голоморфной, а не формальной классификации.§ 20.6. Голоморфная секториальная нормализацияДаже в нерезонансном случае существует различие между формальнойи аналитической классификацией. В этом параграфе мы опишем геометрические препятствия к сходимости формальных нормализующих преобразований.Определение 20.14.
Луч раздела 1 , соответствующий фиксированномучислу m и паре комплексных чисел λ 6= λ0 ∈ C — это любой из 2(m − 1) лучей,заданных соотношениемReλ − λ0= 0.t −1(20.17)Следующее свойство является эквивалентным определением лучей раздела.Это сразу следует из явной формулы (20.2). Рассмотрим решение x(t), x 0 (t)двух скалярных систем (20.1) с одинаковым порядком m и голоморфнымикоэффициентами a(t), a0 (t).
Введём обозначение: λ = a(0), λ0 = a0 (0). Напомним, что функция, определённая и голоморфная в секторе с вершинойв начале координат, называется плоской, если она убывает быстрее, чем любаястепень расстояния до начала координат, и то же самое верно для любойеё производной. Функция 1/ f, обратная к плоской ненулевой, называетсявертикальной.Предложение 20.15. Если R = ρ · R+ , |ρ| = 1 не является лучом разделадля пары λ, λ0, то одно из двух взаимно обратных отношений x(t)/x 0 (t) иx 0 (t)/x(t) после ограничения на R является плоским, а другое — вертикальλ − λ0ным, в зависимости от того, является ли выражение Re −1 отрицательρным или положительным.Здесь и далее мы всегда полагаем, что любой сектор ограничен двумяпрямолинейными лучами, начинающимися в вершине (обычно совпадающейс началом координат); угол между лучами называется раствором сектора.Ò ∈ GL(n, C[[t]]) — формальный степенной ряд, мы будем говорить, чтоЕсли HÒголоморфная матричная функция H ∈ GL(n, O (S)) расширяет этот ряд, если Hявляется асимптотическим рядом для H в S, т.
е. разность между H(t) и люÒ (t) ∈ Mat(n, C[t]) ряда HÒ (матричный полиномбым начальным участком Hстепени N) убывает быстрее, чем t :Ò (t)k = o(|t| ) при t → 0, t ∈ S,kH(t) − H∀ N ∈ N.Теорема 20.16 (теорема о секториальной нормализации, Я. Сибуя [64]).Предположим, что ведущая матрица A0 линейной системы (20.5) нерезонансна (т. е.
имеет попарно различные собственные числа λ1 , . . . , λ ).1Объединение двух лучей раздела в диаметрально противоположных направлениях иногданазывается линией Стокса.§ 20.7. Секториальные автоморфизмы и матрицы Стокса393Если S ⊂ (C, 0) — произвольный сектор, не содержащий двух лучей разделадля любой пары собственных чисел λ , λ , тогда любое формальное преобÒ(t) ∈ GL(n, C[[t]]), сопрягающее (20.5) со своей полиномиальнойразование Hдиагональной нормальной формой (20.10), может быть расширено до голоморфного отображения H (t) ∈ GL(n, O (S)), сопрягающего эти системы в секторе S.Доказательство этой теоремы вынесено в дополнение, см.
§ 20.10 ниже.Оно отличается как от авторского доказательства в [63], так и от доказательства, приведённого в [75].§ 20.7. Секториальные автоморфизмыи матрицы СтоксаЕсли сектор достаточно широк, нормализующее преобразование единственно. Это можно вывести из анализа автоморфизмов системы в диагональной нормальной форме. Мы покажем, что такие системы не имеютнетривиальных автоморфизмов над широкими секторами.Более подробно, предположим, что H 0 (t), H 00 (t) — два секториальных автоморфизма, сопрягающих иррегулярную особенность (20.5) с диагональнойформальной нормальной формой (20.10) в некотором секторе S ⊂ (C, 0). Тогдаих «композиционное частное» — секториальное преобразование с матричной−1функцией H(t) = H 00 (t) · H 0 (t) — является автомормфизмом диагональнойсистемы (20.10).Такие автоморфизмы проще всего описываются их действием на подходящим образом выбранную фундаментальную систему решений.
В нашемслучае диагональная система (20.10) имеет выделенную фундаментальнуюматрицу решений, которая является диагональной.Зафиксируем диагональную фундаментальную систему решений W (t) == diag{w1 (t), . . . , w (t)} уравнения (20.10). Тогда любой голоморфный секториальный автоморфизм H(t) ∈ GL(n, O (S, 0)) диагональной нормальнойформы определяется единственным образом по матрице C ∈ GL(n, C), удовлетворяющей условиямH(t)W (t) = W (t)C.(20.18)Мы будем называть эту матрицу матрицей Стокса секториального автоморфизма H(·). Эта матрица зависит от выбора диагонального фундаментального решения W, но, благодаря специальному характеру роста решений,она может быть достаточно точно описана.Лемма 20.17. Предположим, что ни один из двух лучей, ограничивающихсектор S, не является лучом раздела системы (20.10) в формальной нормальной форме и что собственные числа ведущей матрицы Λ0 упорядочены такимобразом, что Re λ1 < .
. . < Re λ .Тогда матрица Стокса C ∈ GL(n, C) любого секториального автоморфизмаH ∈ GL(n, O (S, 0)), который является касательным к единице: H(t) = E + o(1),имеет следующие свойства:1) для всякой пары индексов i 6= j один из элементов c , c равен нулю, в частности,394Глава 20. Иррегулярные особенности и явление Стокса2) если S ⊃ R+ , то (C − E) — нильпотентная верхнетреугольная матрица;3) если S содержит луч раздела для пары λ 6= λ , то оба элемента равнынулю: c = c = 0;4) если S содержит лучи раздела для каждой пары собственных значений,то обязательно C = E.Доказательство. Все утверждения немедленно следуют из анализа асимптотического поведения секториальных автоморфизмов, записанных в терминах матриц Стокса:H(t) = W (t)CW −1 (t) = kh (t)k,h (t) = c w (t),w (t)и наблюдения из предложения 20.15.Действительно, если отношение w (t)/w (t) вдоль одного из лучей из Sявляется вертикальным, то соответствующий коэффициент c должен бытьравен нулю.
Это доказывает первые два утверждения.Чтобы доказать оставшиеся два утверждения, отметим, что два взаимнообратных отношения w /w и w /w имеют взаимно обратное асимптотическое поведение вдоль любых двух достаточно близких лучей, находящихсяпо разные стороны от луча раздела для собственных чисел λ и λ . Согласноприведённым выше аргументам, в этом случае оба элемента c и c должныобнуляться.Предложение 20.18 (жёсткость).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
