Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 100
Текст из файла (страница 100)
Теорема об обратной функцииРассмотрим отображение f : C → C , голоморфное в точке a ∈ C . Предположим, что якобиан отображения f в точке a не равен нулю: det df (a) 6= 0.Тогда существует голоморфное в некоторой окрестности точки f (a) отображение, обратное к отображению f.407§ А.5. СледствияПравило дифференцирования композиции функций выполнено и дляголоморфных функций; поэтому композиция голоморфных функций такжеголоморфна.Теорема о неявной функции утверждает, что если f : C → C , n > m, —∂f6= 0 в точкеголоморфное отображение, z = (u, w), w ∈ C , u ∈ C− , и det∂wa = (u0 , w0 ), то уравнение f (u, w) = f (a) задаёт росток голоморфного отображения (C− , u0 ) → (C , w0 ), u 7→ w(u), такой что f (u, w(u)) ≡ f (a).§ А.3.
Мультииндексные обозначенияМы будем пользоваться следующими обозначениями:z = (z1 , . . . , z ) ∈ C ,Кроме того,α! = α1 ! . . . α !,α = (α1 , . . . , α ),∂α = ∂α1 . . . ∂α ,αzα = z1 1 . . . zα .|α| = α1 + . . . + α .(Открытым) полидиском D (a), r = (r1 , . . . , r ), с центром в точке a ∈ Cназывается декартово произведение n дисков:YD (a) =D , D = {|z − a | < r }.Остовом D0 полидиска D называется декартово произведение границ дисков D .§ А.4. Интегральная формула КошиАналогично функциям одной комплексной переменной интегральнаяформула Коши позволяет восстановить функцию, голоморфную внутри полидиска D и непрерывную на его границе, по её значениям на остове полидиска.Пусть f ∈ A (D (a)).
Тогда для любой точки z ∈ D ,ZZf (z) =1(2πi)...f (ζ) dζ1 ∧ . . . ∧ dζ(ζ1 − z1 ) . . . (ζ − z )(А.1)0(интеграл можно понимать как повторный интеграл).§ А.5. СледствияПри помощи интегральной формулы Коши легко доказать, что голоморфная функция бесконечно дифференцируема, хотя в определении требуетсялишь существование первых производных. А именно,ZZ∂f1(a) =∂αα!(2πi)...0f (z) dz1 ∧ . .
. ∧ dz.(z1 − a1 )α1 −1 . . . (z − a )α −1408Приложение А. Элементы многомерного комплексного анализаИз этой формулы немедленно следуют неравенства Коши для f ∈ A (D (a)): αkfk∂ f α (a) ¶α.∂zα!rЕщё одно следствие интегральной формулы Коши заключается в том, чтоголоморфная функция всегда разлагается в ряд Тейлора. А именно, для любойфункции f ∈ O (D (a)) выполнено∞Xα1 ∂ ff (z) =cα (z − a)α ,cα =α ∈ Z+ .α (a),|α|=0α! ∂zРяд сходится равномерно на любом компактном подмножестве полидиска D (a).§ А.6. Принцип компактности ВейерштрассаИз интегральной формулы Коши легко вывести, что последовательностьголоморфных функций { f }∞=1 ⊆ O (U), сходящихся равномерно в ограниченной области U ⊂ C (т.
е. в области с компактным замыканием), имеетголоморфный предел (принцип компактности Вейерштрасса). Из этого принципа следует, что пространство A (U) с введённой выше C-нормой являетсябанаховым (полным нормированным) пространством. Эта полнота играетцентральную роль во всей книге.§ А.7. Устранение особенностей ограниченных функцийЛокально аналитическая гиперповерхность устроена как график голоморфной функции: в подходящих координатах гиперповерхность задаётсяуравнением z = f (z1 , . . . , z−1 ).Пусть U ⊂ C — открытое множество, S — гиперповерхность. Тогда любуюограниченную функцию, голоморфную в U\S, можно голоморфно продолжитьна всё множество U.Все приведённые выше результаты доказываются аналогично соответствующим результатам из одномерного комплексного анализа.§ А.8.
Устранение компактных особенностейДля некоторых областей U ⊂ C любую голоморфную в U функциюможно продолжить до аналитической функции в некоторой большей области.Это явление специфическое для голоморфных функций от более чем однойпеременной.Если U ⊆ C — открытая область и K â U — её компактное подмножество,то любую функцию, голоморфную в U\K, можно аналитически продолжитьна всю область U.
Это означает, что компактные особенности в областивсегда устранимы (Хартогс).Если X — росток аналитического многообразия коразмерности не менее 2, то он не может быть множеством особенностей аналитической функции: любая функция, голоморфная в дополнении к X , голоморфно продол-§ А.10. Мероморфные функции409жается на X . В частности, функция, голоморфная в проколотой окрестностина комплексной плоскости, голоморфно продолжается в выколотую точку.§ А.9. Ростки голоморфных функцийРостки аналитических функций в фиксированной точке (скажем, в начале координат 0 ∈ C ) образуют коммутативную алгебру над C, обозначаемую O (C , 0). Эта алгебра локальна: её единственный максимальный идеалm ⊂ O (C , 0) состоит из ростков, обнуляющихся в начале координат. Обычно мыигнорируем различие между ростками и их представителями (определённымив достаточно малых областях) как в доказательствах, так и в обозначениях.Единицы алгебры O (C , 0) — ростки, чьи обратные принадлежат алгебре.Другими словами, единицы — это ростки, принадлежащие O (C , 0)\m.Росток аналитической функции неприводим, если его нельзя представитьв виде произведения двух аналитических ростков, ни один из которых неявляется единицей алгебры.Любой голоморфный росток можно разложить в произведение конечногочисла неприводимых ростков; неприводимые делители определены однозначно с точностью до умножения на единицы алгебры.
Росток называетсясвободным от квадратов, если все его неприводимые делители попарноразличны (с точностью до умножения на единицы группы).Кольцо ростков O (C , 0) нётерово: любая возрастающая цепочка идеаловэтого кольца с какого-то места стабилизируется. Кроме того, любой идеалв этом кольце имеет конечный базис (теорема Гильберта).§ А.10. Мероморфные функцииКольцо голоморфных ростков не содержит делителей нуля, поэтому понему можно построить поле частных. Это поле обозначается M (C , a).
Приопределении мероморфных функций возникает следующая трудность: мероморфная функция не является функцией в смысле математического анализа,потому что её значения определены не во всех точках области. Например, частное y/x — рациональная функция на плоскости, но она не определена в нуле.Мероморфнойфункцией f в области U ⊂ C называется отображениеSϕ : U → ∈ M (C , a), такое что ϕ(z) ∈ M (C , a) и для любой точки a ∈ Uсуществует окрестность V и функции g, h ∈ O (V ), такие что для любой точкиb ∈ V , ϕ(b) = g /h , где g , h — ростки g и h в точке b.Заметим, что f — голоморфное отображение в сферу Римана всюду внеобщих нулей числителя и знаменателя, которые образуют множество точекнеопределённости функции.
Подробнее: множество точек неопределённостилокально задаётся уравнениями g = h = 0, где g и h — определённые вышенеприводимые элементы O (V ). Поле всех мероморфных функций в области Uобозначается M (U).Функция, мероморфная в дополнении U\Y к аналитическому многообразию Y размерности ¾ 2 продолжается до мероморфной функции на U(теорема Леви).410Приложение А. Элементы многомерного комплексного анализа§ А.11.
Аналитические множестваПодмножество X ⊂ C называется аналитическим, если в окрестностилюбой точки a ∈ C множество X представимо в виде множества общих нулейнескольких функций, аналитических в a. В силу теоремы Гильберта, множествотаких функций всегда можно выбрать конечным. Аналитические множестваиногда называются аналитическими многообразиями; они всегда замкнуты.Множество называется аналитическим подмногообразием коразмерностиk ¶ n, если вблизи каждой точки a ∈ X оно является множеством общих нулейk функций, голоморфных в a, причём дифференциалы этих функций линейнонезависимы над C.Аналитические множества имеют достаточно регулярную структуру, дажекогда они не являются подмногообразиями C . В частности, любое аналитическое множество можно стратифицировать, т. е.
представить как (локально)конечное объединение стратов X разных размерностей, таких что1) каждый страт X — вложенное в C аналитическое многообразие размерности d ;2) замыкание каждого страта состоит из самого этого страта и, возможно,нескольких стратов меньшей размерности.На самом деле, можно гарантировать выполнение такого условия: предельныеположения касательных пространств к страту вблизи точек его границысодержат касательные пространства к соответствующим стратам меньшейразмерности (условия Уитни A и B). В большинстве случаев бывает достаточноиспользовать характеристическое свойство, сформулированное в терминахтрансверсальности: любое гладкое отображение, трансверсальное страту Xв точке a ∈ X , вблизи a трансверсально также любому страту большей размерности, содержащему точку a в своём замыкании.§ А.12.
Голоморфные функции нескольких переменныхГлавный страт наибольшей размерности называется регулярной частью,или множеством регулярных точек множества X , и обозначается Reg X . Поопределению, размерностью аналитического множества называется размерность его главного страта.Росток (X , a) аналитического множества X в точке a ∈ C называетсянеприводимым, если его нельзя представить в виде объединения двух росткованалитических множеств X = X1 ∪ X2 , таких что Reg X ( Reg X . Росток гиперповерхности X = { f = 0}, заданной неприводимым ростком f ∈ O (C , a),неприводим. Регулярные части неприводимых множеств локально связны.§ А.13.
Локальная униформизацияЛокальная униформизация — это способ изменить аналитическое множество вблизи особой точки и получить гладкое аналитическое многообразие.Вообще говоря, это возможно только для многообразий размерности один.§ А.14. Аналитичность и алгебраичность411Любой неприводимый росток аналитической кривой (X , a) ⊂ (C , 0) можнопараметризовать голоморфным биективным отображением. Это означает,что существует мономорфное голоморфное отображение (C, 0) → (C , a),чей образ является представителем ростка (X , a).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
