Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 97
Текст из файла (страница 97)
Если сектор S имеет раствор большечем π/(m−1), то секториальная нормализация H , описанная в теореме 20.16,единственна.Доказательство. Если бы существовали две секториальные нормализаÒ, тогда их матричноеции H 0, H 00 с одним и тем же асимптотическим рядом H00 0 −1отношение H = H Hбыло бы секториальным автоморфизмом формальнойнормальной формы (20.10), касательным к тождественному (т. е. имело бывид id + плоская функция). Поскольку все лучи раздела для каждой парысобственных значений отстоят друг от друга на угол π/(m − 1), сектор S с раствором больше π/(m − 1) должен содержать как минимум один такой луч длякаждой пары.
Но по последнему утверждению леммы 20.17, соответствующаяматрица Стокса должна быть тождественной, что означает, что отношениесамо является тождественным.§ 20.8. Явление Стокса. Голоморфная классификацияиррегулярных особенностейРассмотрим линейную систему (20.5), ранг Пуанкаре которой в нерезонансной нефуксовой особой точке t = 0 равен m − 1, и пусть её нормальнаяформа задаётся выражением (20.10).Как и раньше, мы можем без потери общности считать, что собственныезначения ведущей матрицы упорядочены следующим образом:Re λ1 < . . . < Re λ ,(20.19)§ 20.8.
Явление Стокса. Голоморфная классификация иррегулярных особенностей395что означает, что ни положительная полуось R+ , ни её повёрнутые копииρ R+ , k = 1, . . . , 2(m − 1), где ρ = exp[πi/(m − 1)], не являются лучами разделани для каких собственных значений λ 6= λ .Открытый сектор S∗ , ограниченный лучами R+ и ρR+ с раствором π/(m−1),содержит ровно один луч раздела для каждой пары, причём лучи, его ограничивающие, не являются лучами раздела.
Следовательно, мы можем немногоувеличить его раствор до 2δ + π/(m − 1) так, что он продолжает содержатьлишь один луч раздела из каждой пары. Обозначим этот увеличенный секторчерез S1 = {−δ < arg t < π/(m − 1) + δ}, а через S2 , .
. . , S2(−1) обозначим егоповёрнутые копии, S = ρ −1 S1 . Эти секторы образуют покрытие проколотойокрестности в начале координат; в пересечении находятся узкие пересечения S, +1 = {|arg t − jπ/(m − 1)| < δ} с раствором 2δ > 0 каждое. Этот наборсекторов будем называть стандартным покрытием проколотой окрестностиначала координат, см.
рис. 20.1.По теореме 20.16, над каждым сектором S существует голоморфное сопряжение H (t) ∈ GL(n, O (S )) исходной системы (20.5) и её формальной нормальной формы (20.10). Это сопряжение единственно по предложению 20.18.Набор {H } соответствующих секториальных нормализующих отображений называется нормализующей коцепью, порождённой стандартным покрытием {S }.Поскольку все отображения, образующие нормализующую коцепь, имеют одини тот же асимптотический ряд, матричные отношения F = H H−1 = F−1 , определённые на непустых пересечениях S ∩ S ,являются секториальными автоморфизмами (20.10). Ясно, что пересечение S ∩ Sнепусто, если и только если j = i + 1 циклически по модулю 2(m − 1); эти пересечения являются узкими секторами вокругповёрнутых копий ρ R+ положительноголуча вещественной прямой.Рис.
20.1. Стандартное покрытиеОбозначим через {H } (однозначнои лучи раздела в простейшем слуопределённую) нормализующую коцепь,чае m = 2порождённую стандартным покрытием.Выберем диагональное фундаментальное матричное решение W (t); поскольку в общем случае нормальная форма имеет нетривиальную монодромию,решение W (t) многозначно. Чтобы избежать этого, разрежем окрестностьвдоль луча {arg t = π/(2(m − 1))}, целиком принадлежащего S1 и не пересекающегося со всеми перекрывающимися секторами S = S ∩ S , |i − j| = 1,и рассмотрим фундаментальное решение на разрезанной области. Такоерешение определено однозначно по модулю диагонального преобразованияW (t) 7→ DW (t) = W (t)D,D = diag{α1 , . .
. , α },и по построению голоморфно во всех пересечениях S .(20.20)396Глава 20. Иррегулярные особенности и явление СтоксаОпределение 20.19. Набор Стокса линейной системы в нерезонанснойиррегулярной особой точке — это набор матриц Стокса {C }, j = 1,. . .,2(m −1),секториальных автоморфизмов F = H H−1 , i + 1 = j, соответствующих диагональному решению W (t) формальной нормальной формы.Предложение 20.20. Матрицы C из набора Стокса унипотентны.Доказательство. Если S — сектор, содержащий положительную полуось,и собственные значения Λ0 упорядочены, как в (20.19), утверждение следует из второго утверждения леммы 20.17.
Исходный случай может бытьсведён к рассмотренному с помощью подходящего поворота плоскости tи перенумерации собственных чисел.По предложению 20.18, набор Стокса определён единственным образом,если диагональное фундаментальное решение W (t) фиксировано. Заменадиагонального решения W (t) на другое решение DW (t) = W (t)D приводитк одновременному диагональному сопряжению матриц Стокса:C 7→ C0 = DC D −1∀ j = 1, .
. . , 2(m − 1),D = diag{α1 , . . . , α }.(20.21)0Наборы Стокса {C1 , . . . , C2−2 } и {C10 , . . . , C2−2}, связанные преобразованием (20.21), называются эквивалентными наборами Стокса. Отметим, чтотривиальный набор C1 = . . . = C2−2 = E эквивалентен только себе.Теорема 20.21 (теорема о классификации нерезонансных иррегулярныхособенностей). Любые две нерезонансные иррегулярные линейные системыс одной и той же формальной нормальной формой локально голоморфнокалибровочно эквивалентны тогда и только тогда, когда их наборы Стоксаэквивалентны в смысле (20.21).В частности, линейная система голоморфно эквивалентна своей формальной нормальной форме тогда и только тогда, когда её набор Стоксатривиален.Доказательство. Рассмотрим две системы с одной и той же формальнойнормальной формой.
Без потери общности можно считать, что выбрано стандартное покрытие. Обозначим однозначно определённые нормализующиекоцепи через {H } и {H0 } соответственно.Пусть G — голоморфное сопряжение между этими системами. Как и {H0 },коцепь {H G}, очевидно, также является нормализующей коцепью второйсистемы. Из единственности (предложение 20.18) следует, что H0 = H G и,следовательно, H0 (H0 )−1 = DH H−1 D −1 для всех |i − j| = 1. Совпадение коциклов преобразования означает, что соответствующие наборы Стокса (априорноопределённые относительно двух различных фундаментальных решений Wи W 0 = DW ) эквивалентны.Это же рассуждение можно провести в обратную сторону.
Если два набораСтокса эквивалентны, то, выбирая другое диагональное фундаментальноерешение, можно гарантировать, что соответствующие операторы Стоксасовпадают. Тогда матричные частные G = H0 H−1 и G = H0 H−1 совпадают нанепустых пересечениях (т. е. при |i − j| = 1) и, следовательно, вместе задаютматричную функцию G, голоморфно обратимую вне начала координат.§ 20.9. Теорема реализуемости397Эта функция имеет асимптотическое разложение, совпадающее с матричнымÒ0 HÒ−1 для двухчастным двух формальных калибровочных преобразований Hсистем, и, следовательно, продолжается в начало координат.§ 20.9. Теорема реализуемостиУтверждение 20.20 описывает необходимые свойства операторов Стокса,связанных с данным порядком m и набором собственных значений λ1 , . . . , λ .Оказывается, эти же свойства являются достаточным условием реализуемости.Теорема 20.22 (Биркгоф, 1909).
Любой набор унипотентных верхнетреугольных матриц {C }, удовлетворяющих ограничениям из предложения 20.20,может быть реализован как набор Стокса для нерезонансной иррегулярнойособенности с заданной наперёд нормальной формой (20.10).Набросок доказательства. Рассмотрим диагональную матричную нормальнуюформу (20.10), стандартное покрытие S и набор голоморфных обратимых матричныхфункций−1F, +1 (t) = W (t)C W −1 (t) = F+1,(t), j = 1, .
. . , 2(m − 1),определённых в соответствующих непустых пересечениях S = S ∩ S , |i − j| = 1.Здесь W (t) — диагональное фундаментальное решение формальной нормальной формы, голоморфное в малой окрестности начала координат (C, 0), как и ранее, разрезанной вдоль луча {arg t = π/(2(m − 1))} ⊂ S1 . По предположению, постоянные матрицы Cсоотносятся с собственными значениями λ таким образом, что разности F (t) − Eявляются плоскими в узких секторах S .Можно показать, что коцикл F = {F } является разрешимым относительно голоморфной коцепи H = {H } из голоморфных обратимых матричных функций, такчто F H = H для |i − j| = 1.
Это означает, что секториальные решенияX (t) = H−1 (t)W (t) = X (t)Cудовлетворяют линейным системам с матричными коэффициентамиA (t) = t d(H−1 )H + H−1 (t)Λ(t)H (t),dtсовпадающими на пересечениях, A (t) = A (t) для t ∈ S ∩ S . Получающаяся матричная функция A(t), определённая в проколотой окрестности нуля, ограничена,а следовательно, голоморфна, и, по построению, система t Ẋ = A(t)X голоморфноэквивалентна формальной нормальной форме t Ẇ = Λ(t)W.Ясно, что набор Стокса в построенной системе совпадает с заданными наперёдданными {C }.С геометрической точки зрения, это построение состоит в «склеивании» вместе линейных систем, определённых на различных секторах S , с использованиемотображения F , |i − j| = 1, для склейки.
Результатом будет голоморфное векторное расслоение над проколотой окрестностью (C, 0)\{0}. Такое расслоение всегдаголоморфно тривиально, как и любое расслоение над некомпактной римановойповерхностью [24, § 30]. Тонкий момент состоит в том, чтобы проверить, что линейнаясистема, возникающая после тривиализации этого расслоения, будет иметь заданныйформальный тип. Разрешимость «асимптотически тривиального» коцикла {F } голоморфной коцепью {H } гарантирует это автоматически. Подробности можно найтив [2].398Глава 20.
Иррегулярные особенности и явление СтоксаКак следствие мы получим, что существуют нефуксовы системы, для которых формальные диагонализирующие ряды расходятся. Более того, в некотором смысле эта расходимость свойственна большинству нефуксовых особенностей: из теорем 20.21 и 20.22 следует, что классы голоморфной эквивалентности параметризованы (m − 1)n(n − 1) комплексными параметрами(элементами набора Стокса).Дополнение:доказательство теоремы СибуиВ этом разделе мы докажем теорему о секториальной нормализации 20.16.Эта теорема может быть сведена к утверждению о существовании плоскихрешений неоднородной системы линейных уравнений в некотором секторе.На протяжении этого дополнения мы зафиксируем нерезонансную линейную систему(20.5), её диагональную формальную нормальную форму (20.10),Ò ∈ GL(n, C[[t]]), ихгде Λ(0) = diag{λ1 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
