Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Предположим, что связность Болибруха ∇0 голоморфноговекторного расслоения π0 над P имеет нетривиальное инвариантное подрасслоение π. Тогда отношение степени подрасслоения к его рангу больше илиравно аналогичному отношению для объемлющего расслоения:π ⊆ π0 ⇒deg πdeg π0¾.rank πrank π0(18.10)Равенство выполняется тогда и только тогда, когда спектр каждойособенности связности ∇0 является одноточечным.Доказательство.
Пусть ∇ = ∇0 |π — ограничение связности ∇0 на подмногообразие π: L → P. Введём обозначения: k = rank π, n = rank π0. Согласноследствию 17.35, степени обоих расслоений равны сумме следов вычетов всехособенностей.Суммируя все локальные неравенства (18.9) по всем особенностям a ∈ Σ,мы получаемXX1111deg π =res tr ∇ ¾res tr ∇0 = deg π0 .kknnРавенство выполняется тогда и только тогда, когда все спектры одноточечные.Вместе со следствием 17.25 теорема 18.19 приводит к довольно строгимограничениям на связности Болибруха над тривиальным расслоением.Теорема 18.20.
Спектры всех особых точек связности Болибруха тривиального расслоения должны быть одноточечными, а его инвариантноеподрасслоение также должно быть тривиальным.Доказательство. Если π0 является тривиальным расслоением и π —его подрасслоение, инвариантное относительно связности Болибруха ∇, тоdeg π0 = 0.
По теореме 18.19 имеем deg π ¾ 0, а по следствию 17.25 выполняется deg π ¶ 0. Эти неравенства могут выполняться одновременно толькопри deg π = 0, таким образом, в обоих случаях наблюдается экстремальныйслучай. Из этого следуют оба утверждения теоремы.360Глава 18. Проблема Римана — ГильбертаМы дошли до главного шага в доказательстве неразрешимости. Условиятеоремы 18.20 (приводимость и блочная жорданова структура матриц монодромии) налагаются на группу голономии связности ∇, а не на саму связность.Однако утверждение теоремы касается именно связности (точнее, матрицвычетов). Иными словами, теорема 18.20 неявно описывает препятствияк реализуемости приводимых данных монодромии с моноблочными операторами фуксовой связностью тривиального расслоения.
В частности, мыполучаем следующий результат, который является лишь геометрическойпереформулировкой теоремы 16.33.Теорема 18.21. Если фуксова связность ∇ на голоморфном расслоении πранга 4 над P с тремя особыми точками имеет матрицы монодромии 1 1311 −1−12 −1−4 −1 1 2 4 −11 1 1, , ,1 1 31 −11−4 −14 −1(18.11)то расслоение π является нетривиальным.Доказательство. Нетрудно видеть, что все три матрицы (18.11) являютсямоноблоками (соответствующие собственные значения равны µ1,2 =1, µ3 =−1)и имеют инвариантные пространства, натянутые на два первых координатных вектора. Следовательно, связность ∇, реализующая такую монодромию,обязана быть связностью Болибруха.
Если бы расслоение π было тривиальным, по теореме 18.20 каждая матрица-вычет A = res ∇ имела бы одноточечный спектр и его единственное собственное значение λ удовлетворялоуравнению exp 2πiλ = µ для всех j = 1, 2, 3. Решая соответствующие уравнения exp 2πiλ1,2 = 1, exp 2πiλ3 = −1, получаем сравнениеλ1 ≡ λ2 ≡ 0 mod Z,λ3 ≡1mod Z.2(18.12)С другой стороны, по теореме об индексе (следствие 17.35), для тривиального расслоение выполняется равенствоdeg π = 0 = tr A1 + tr A2 + tr A3 = 4(λ1 + λ2 + λ3 ),откуда следует неверное сравнение 0 ≡ 2 mod 4Z. Противоречие доказывает,что расслоение π не может быть тривиальным.Это рассуждение даёт другое доказательство теоремы 16.33.Упражнения и задачиЗадача 18.1.
Докажите, что проблема Римана — Гильберта разрешима,если все матрицы монодромии коммутируют: [M , M ] = 0 для всех i, j.Упражнение 18.2. Напишите подробное доказательство теоремы 18.5.Упражнение 18.3. Докажите, что проблема Римана — Гильберта всегдаможет быть разрешима фуксовой линейной системой для любых данных моно-Упражнения и задачи361дромии, если разрешить мероморфной матричной форме иметь единственную дополнительную особую точку с тождественной голономией в любойзаданной наперёд точке, не принадлежащей особому множеству Σ.Задача 18.4. Постройте пример иррегулярной особой точки и подпространства, инвариантного относительно (локальной) монодромии, котороене продолжается как инвариантное голоморфное подрасслоение над окрестностью особой точки (ср. с утверждением 18.8).Задача 18.5.
Докажите, что любая мероморфная прямоугольная матричная функция X (t) размера n × k, k < n, может быть локально (при t ∈ (C, 0))представлена в форме X (t) = L(t)D(t)R(t), где L(t) и R(t) — голоморфныеобратимые квадратные матрицы размера n×n и k×k соответственно, а D(t) —«диагональная (n × k)-матрица» (т. е. d = 0 при i 6= j), элементы которой —нули и целые степени t.Упражнение 18.6. Докажите, что любой оператор M ∈ GL(n, C) имеетхотя бы одно инвариантное подпространство L ⊂ C любой промежуточнойразмерности k = 1, .
. . , n − 1.Задача 18.7. Докажите, что любые два матричных логарифма A, A0 одногои того же моноблочного оператора отличаются на целочисленное кратноеединичной матрицы по модулю сопряжения:exp A = exp A0 является моноблоком ⇒ A − CA0 C −1 = 2πikEдля подходящего целого числа k ∈ Z и обратимой сопрягающей матрицы C ∈∈ GL(n, C). Докажите, что каждый логарифм также является моноблоком.Задача 18.8. Докажите, что проблема Римана — Гильберта всегда разрешима в классическом смысле (т. е. на тривиальном расслоении) в размерности 2.Задача 18.9. Докажите, что данные монодромии с одной диагональнойматрицей можно реализовать бесконечным множеством неэквивалентныхфуксовых систем.Задача 18.10. Докажите, что неприводимые данные монодромии можнореализовать бесконечным множеством неэквивалентных фуксовых систем.Задача 18.11. Докажите, что проблема Римана — Гильберта неразрешимадля всех размерностей больше 4.Задача 18.12 (обобщение теоремы 18.12).
Пусть ∇ — мероморфная нефуксова связность на голоморфном векторном расслоении ранга n и с типомрасщепления D = {d1 , . . . , d } с как минимум одной фуксовой особой точкой.Обозначим через m суммарный порядок полюсов всех особых точек. Докажите, что если для некоторой пары индексов |d − d | ¾ (m − 2)(n − 1), тосвязность ∇ приводима, т. е. существует инвариантное подрасслоение.Глава 19Линейные дифференциальные уравнениявысших порядковЛинейное скалярное дифференциальное уравнение высшего порядкаможет быть сведено к сопутствующей линейной системе специального вида,естественно определяемой через связность на расслоении струй.
Благодаряспециальному виду этой связности легко определить тип её регулярныхособых точек и построить мероморфное преобразование, приводящее еёк фуксовой форме, что было известно ещё во времена самого Фукса. Однакоэто мероморфное преобразование является нетривиальным, и естественнойглобальной областью определения фуксовых уравнений на сфере Римана Pявляются нетривиальные голоморфные векторные расслоения, тип которыхзависит от числа особых точек.Дополнительным важным инструментом исследований является структура (некоммутативной) алгебры на множестве линейных дифференциальныхоператоров, из которой следует возможность факторизации операторов.
Этообстоятельство играет важную роль при изучении корней решений линейныхобыкновенных дифференциальных уравнений.В конце главы мы рассмотрим некоторые вопросы в духе проблемы Римана — Гильберта для линейных уравнений высших порядков в тех ситуациях,когда эти вопросы имеют смысл.§ 19.1. Дифференциальные уравнениявысших порядков: алгебраическая теорияПуть T — риманова поверхность (одномерное комплексное многообразие).Обозначим через M = M (T ) поле (т. е. коммутативную C-алгебру) мероморфных функций на T.
Любому дифференцированию D∈DerM , т. е. C-линейномуотображению M на себя, удовлетворяющему правилу ЛейбницаD( fg) = f Dg + gD f,ставится в соответствие векторное поле на T,Der M ' D(T ) ⊗ M .Поскольку T одномерно, любые два дифференцирования отличаются мероморфным множителем:D, D 0 ∈ Der M ⇐⇒ D 0 = rDдля некоторого r ∈ M .(19.1)363§ 19.1. Дифференциальные уравнения высших порядков: алгебраическая теорияОпределение 19.1. Линейным дифференциальным оператором порядка nназывается любой C-линейный оператор L : M → M , допускающий следующее представление:L = a0 D + a1 D −1 + .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
