Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Если D — целочисленная диагональная матрица D =diag{d1 ,. . ., d }с невозрастающими собственными значениями d1 ¾ . . . ¾ d и H(t) голоморфна и вырожденна в бесконечности, то произведение t H(t) — это монополь,0эквивалентный t + H 0 (t) с D 0 и H 0 (t), описанными выше.Действительно, согласно шагу 1, существует постоянная верхнетреуголь0ная матрица C такая, что CH(t) = t H 0 (t) с голоморфным множителем H 0 (t),удовлетворяющая (17.25). Рассмотрим сопряжение матрицы C при помощи t , Π(t) = t C t − .
Так как матрица C верхнетреугольна, а последовательность {d } монотонна, матричная функция Π(t) — это верхнетреугольныймонополь. Матрицы D и D 0 коммутируют, поэтому00Π(t) t H(t) = t C t − · t H = t CH = t t H 0 = t + H 0 .Шаг 3. Для произвольной диагональной матрицы D можно найти постоянную матрицу перестановки P ∈ GL(n, C) (в частном случае монополя) такую,что диагональные элементы D 0 = P t P −1 будут изменяться монотонно, кактребуется на шаге 2. Поэтому условие на порядок диагональных элементов d ,которое требуется для прохождения шага 2, всегда можно удовлетворить припомощи подходящей монопольной замены (левым умножением на P):0P t H = P t P −1 · PH = t H 0с голоморфной матрицей H 0, невырожденной в бесконечности вместе с H.Шаг 4. Доказательство леммы Соважа осуществляется по индукции. Любой росток мероморфной функции H(t) можно представить в виде t 1 H1 (t)§ 17.10.
Классификация голоморфных векторных расслоений над P341с функцией H1 (t), голоморфной в бесконечности: достаточно умножить H(t)на подходящую степень t. Так как det H(t) 6≡ 0, кратность нуля определителяdet H1 (t) в точке t = ∞ конечна. Индуктивное применение описанной в шагах 1–3 конструкции позволяет построить последовательность монопольныхпреобразований, приводящих H1 (t) к произведению двух функций, t H (t)(диагональной и голоморфной в бесконечности соответственно), со строгоубывающими порядком корней ord∞ det H (t).
После конечного числа шаговголоморфная функция H (t) становится невырожденной в бесконечности.Лемма Соважа доказана.Доказательство леммы 17.39. В доказательстве леммы 17.38, без ограничения общности можно считать, что коцикл Биркгофа — Гротендика H01разрешим при помощи мероморфной коцепи {F0 , F1 }, такой что F0 и F1голоморфны и голоморфно обратимы всюду в области определения, возможноза исключением бесконечности, где F1 имеет полюс конечного порядка.По лемме Соважа 17.41, росток мероморфной матричной функции F1−1 (t)можно представить в виде произведенияF1−1 = Π(t) t G(t),где Π(t) — монополь, а G(t) — голоморфно обратимый росток в t = ∞. Матричная функция G1 = t − Π −1 F1−1 , определённая во всей области U1 , голоморфнаи голоморфно обратима в этой области.
Действительно, все множителив последнем равенстве голоморфно обратимы в U1 \{∞}, в то время какв точке t = ∞ росток произведения равен G. Подставляя выражение дляF1 = G1−1 t − Π −1 в тождество H10 (t)F0 (t) = F1 (t), мы получимH10 F0 = G1−1 t − Π,т. е.H10 F0 Π −1 = G1−1 t − .Другими словами, голоморфная коцепь {F0 Π −1 , G1−1 } сопрягает коцикл Биркгофа — Гротендика H = {H01 } со стандартным коциклом {t − }.Доказательство теорем 17.36 и 17.37.
Доказательство обеих теорем получается аналогично доказательству теоремы 17.16. Мы рассмотрим триангуляцию накрытия и последовательно разрешим коцикл Картана, используялемму 17.38 и исчерпывая диск D меньшими дисками. В случае сферыРимана P мы можем заменить первоначальный коцикл эквивалентнымкоциклом Биркгофа — Гротендика. Тогда из леммы 17.39 следует, что этоткоцикл эквивалентен одному из стандартных коциклов, соответствующихвекторному расслоению ξ .Остаётся только доказать единственность типа расщепления D (ясно, чторасслоения с переставленными линейными подрасслоениями эквивалентны).Предположим, что существует голоморфное отображение между расслоениями разных типов D и D 0.
Тогда существует голоморфная матричная коцепь{H0 , H1 }, подчинённая покрытию Биркгофа — Гротендика, такому что0H1 = t H0 t − ,H ∈ GL(n, O (U )).0Рассмотрим произвольный элемент правой матрицы h0 (t) t − . Если d ¾ d0,то это — голоморфная в U0 и в U1 функция, так как h0 голоморфна в U0 , а в U1342Глава 17. Голоморфные векторные расслоения и мероморфная связностьмы имеем функцию h1 (t) ∈ O (U1 ).
Это возможно, только если h0 константа,равная нулю при d > d0.Предположим что наборы чисел d1 , . . . , d и d10 , . . . , d0 упорядочены в невозрастающем порядке. Рассмотрим наибольшие элементы d1 и d10 . Если d1 > d10 ,то матрицы H0 , H1 имеют нулевую первую строку, что противоречит невырожденности. Из соображений симметрии, строгое неравенство d10 < d1 такженевозможно. Поэтому остаётся только одна возможность d1 = d10 . Пусть k —наименьший номер, где d и d0 различаются.Если d > d0 , то матричная функция H0 (t) — блочно-верхнетреугольнаяс верхним (k × k)-блоком, имеющим нулевую первую строку.
Такая матрица вырождена, что противоречит предположению. Таким образом, d ¶ d0 .Аналогично из соображений симметрии следует, что d0 ¶ d , т. е. d = d0 .Другими словами, после упорядочивания в порядке невозрастания обатипа D и D 0 должны совпадать. Но это означает, что они являются перестановкой друг друга.Упражнения и задачиЗадача 17.1. Пусть hα : Uα → C — атлас открытого покрытия U голоморфного многообразия M. Выпишите тривиализацию касательного и кокасательного расслоений TM и T∗ M.Упражнение 17.2.
Докажите, что пара эквивалентных голоморфных коцепей определяет пару эквивалентных голоморфных расслоений над однойбазой.Задача 17.3. Пусть H , H 0 — два коцикла (матрицы различного размера),соответствующие векторным расслоениям S, S0 соответственно. Постройтекоциклы, соответствующие прямой сумме S ⊕ S0 и тензорному произведению S ⊗ S0.Задача 17.4. Пусть S0 ⊂ S — подрасслоение. Докажите, что коцикл H ,ассоциированный с S, эквивалентен коциклу из блочных верхнетреугольныхматриц.
Опишите коцикл, ассоциированный с факторрасслоением S00 = S/S0.Упражнение 17.5. Докажите, что среди всех коциклов {t } на сфереРимана только коцикл с d = 0 разрешим.Упражнение 17.6. Докажите, что для заданного мероморфного сечениялинейного расслоения существует единственная связность, для которой сечение горизонтально.Задача 17.7. Докажите, что линейное расслоение ξ на проективнойпрямой P допускает нетривиальные голоморфные сечения тогда и толькотогда, когда его степень d неотрицательна.Задача 17.8. Докажите, что линейное расслоение ξ над проективнойпрямой P допускает нетривиальные автоморфизмы, отличные от умножения на постоянный множитель, тогда и только тогда, когда его степень dотрицательна.Задача 17.9. Докажите, что касательное расслоение TP и кокасательноерасслоение T∗ P на сфере Римана имеют степени 2 и −2 соответственно.343Упражнения и задачиЗадача 17.10.
Докажите, что голоморфное расслоение ранга n допускаетn голоморфных сечений линейно независимых на каждом слое тогда и толькотогда, когда расслоение эквивалентно тривиальному.Упражнение 17.11. Выведите из определения, что понятие связностилокально, т.
е. докажите, что для любых двух мероморфных сечений s, s0одного расслоения, голоморфных в точке a ∈ T и с одинаковой 1-струёй,соответствующие значения совпадают, ∇s(a) = ∇s0 (a) ∈ π−1 (a).Упражнение 17.12. Докажите, что для того чтобы задать связность расслоения ранга n, достаточно задать n линейно независимых горизонтальныхсечений: если две связности имеют n общих горизонтальных сечений, то онисовпадают как дифференциальные операторы.Задача 17.13. Пусть π0 : T × C → T — тривиальное расслоение над односвязным голоморфным многообразием T и ∇ — голоморфная связность нанём (голоморфность означает мероморфность и отсутствие особенностей).Докажите, что n горизонтальных голоморфных сечений линейно независимых на каждом слое в окрестности U точки a можно построить тогда и толькотогда, когда форма связностиΩ = (ω ), =1 ,ω ∈ Λ1 (T ) ⊗ M (T ),удовлетворяет уравнениюdΩ − Ω ∧ Ω = 0(17.26)в окрестности точки a, гдеdΩ = (dω ), =1 ,Ω∧Ω=Xω ∧ ω, =1— две матричнозначные 2-формы на T.Задача 17.14 (см.
[101]). Найдите тип расщепления (набор индексовd1 , . . . , d ) для расслоений, определённых коциклами Биркгофа — Гротендикаtλ,t −1t.λ t −1(17.27)Задача 17.15. Пусть H — голоморфно разрешимый коцикл Биркгофа —Гротендика (допустим, рациональный). Докажите, что любой другой рациональный коцикл H 0, достаточно близкий к H в кольце A = U0 ∩ U1 , тожеразрешим.Задача 17.16 (Ю. Л. Шмульян, 1954).
Предположим, что у типа расщепления d1 ¶ . . . ¶ d коцикла Биркгофа — Гротендика H есть не больше одногоскачка, т. е. d − d1 ¶ 1. Докажите, что любой близкий коцикл имеет тот жетип расщепления. Приведите пример, показывающий, что это неверно, еслиd − d1 > 1.Упражнение 17.17. Докажите, что степень расслоения ξ равна |D| = d1 ++ . . . + d .Задача 17.18. Докажите, что любую голоморфно обратимую матричнуюфункцию F(t) в кольце A=U0 ∩U1 можно представить в виде F(t)=H0 (t)H1 (t) t ,344Глава 17. Голоморфные векторные расслоения и мероморфная связностьпричём функции H (t) голоморфно обратимы в U , i = 0, 1, а матрица D целочисленна. Эту форму иногда называют разложением Биркгофа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
