Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 80
Текст из файла (страница 80)
. ,где c0 6= 0.Определение 17.21. Порядок мероморфной вектор-функцииx(t) = (x1 (t), . . . , x (t)) ∈ M ⊗ C— минимальный из порядков её компонент, ord0 x = min1¶¶ ord0 x .§ 17.6. Степень голоморфного расслоения329Непосредственно легко проверить, что ord0 x(·) — это единственное целоечисло d ∈ Z такое, что t − x(t) голоморфна и не обращается в нуль в точкеt = 0:ord0 x(t) = d ⇐⇒ t − x(t) ∈ O (C, 0) ⊗ C и lim t − x(t) 6= 0.→0Если π — голоморфное векторное расслоение над одномерной римановойповерхностью T, то порядок ord s мероморфного сечения s ∈ Γ (π) в заданной точке a ∈ T базы может быть определён как порядок соответствующейвектор-функции xα в любой тривиализующей карте над Uα 3 a: так каккоцикл перехода состоит из голоморфных матричных функций, это определение корректно.
Порядок мероморфного сечения равен нулю всюду, кромедискретного множества.Предложение 17.22. Все нетривиальные мероморфные сечения линейногорасслоения над компактной римановой поверхностью T имеют один и тот жеглобальный порядок: для любого мероморфного сечения суммаXdeg s =ord s, s ∈ Γ (π),(17.11)∈постоянна и зависит только от расслоения π.Доказательство. Если слои одномерны, то любые два сечения s, s0 ∈ Γ (π)пропорциональны, т. е. существует мероморфная функция ϕ ∈ M (T ) такая,что s0 = ϕs. Очевидно,Xdeg s0 = deg s +ord ϕ,где последнее слагаемое — сумма порядков всех полюсов и нулей функции ϕ.Каждую мероморфную функцию ϕ можно рассматривать как отображениеϕ : T → P, принимающее каждое значение одинаковое количество раз (равноестепениP отображения).
Применяя это соображение к точкам 0 и ∞, получим,что ord ϕ = 0 и deg s = deg s0.Определение 17.23. Общая степень всех мероморфных сечений называется степенью линейного расслоения π и обозначается deg π.Степень произвольного голоморфного векторного расслоения определяется как степень его определителя, т. е. линейного расслоения, соответствующего определяющему коциклу (17.8),deg π = deg(det π).(17.12)Голоморфное отображение между расслоениями одной размерности мыбудем называть невырожденным, если оно имеет полный ранг в некоторойточке. Нам понадобится следующее свойство степени.Лемма 17.24. Пусть π: S → T и π0 : S0 → T — два расслоения одного ранганад компактной одномерной базой T.Если существует невырожденное голоморфное отображение F : S → S0,расслоенное над тождественным отображением базы, то deg π ¶ deg π0.330Глава 17.
Голоморфные векторные расслоения и мероморфная связностьДоказательство. Рассмотрим первый случай. Пусть S и S0 — линейныерасслоения, заданные скалярными коциклами H = {hαβ }, H 0 = {h0αβ } на тривиализациях над покрытием U . Тогда расслоенное отображение между ними,определённое набором голоморфных функций fα 6≡ 0, связано с коцикламиH , H 0 соотношениями (17.7).Произвольное мероморфное сечение s ∈ Γ (π) и его образ s0 = Fs ∈ Γ (π0 )определены мероморфными скалярными коцепями xα и xα0 , удовлетворяющими тождеству xα0 = fα xα . Так как fα 6≡ 0, то ord s0α = ord sα + ord fα ¾ ord sα .Складывая эти неравенства во всех точках многообразия T, мы получимнеравенство deg s0 ¾ deg s.
Согласно предложению 17.22, это означает, чтоdeg π0 ¶ deg π.Произвольное невырожденное линейное отображение F : S → S0, заданноематричной коцепью {Fα }, определяет невырожденное отображение det Fмежду детерминантными расслоениями det π и det π0. Отображение det Fопределяется ненулевой скалярной голоморфной коцепью fα = det Fα : этоследует из уравнения (17.7) после перехода к детерминантным расслоениям и подстановки определения детерминантного расслоения (17.8).
Леммавытекает из утверждения о линейных расслоениях и определения степенипроизвольного расслоения.Поэтому мы можем считать, что степень подрасслоения тривиальногорасслоения неположительна.Следствие 17.25. Каждое подрасслоение тривиального расслоения надкомпактной римановой поверхностью имеет неположительную степень.Доказательство. Пусть π: S → T — подрасслоение ранга n тривиальногорасслоения π0 : T × C+ → T.
Докажем, что deg π ¶ 0. Действительно, всегдаможно найти разбиение слоя C+ = C ⊕ C на два подпространства таких,что слои π−1 (a) и C трансверсальны в некоторой точке a ∈ T. Проекция на Cпараллельно C после ограничения на подрасслоение S превращается в голоморфное невырожденное расслоенное отображение между π и тривиальнымподрасслоением π0 = T × C → T. Согласно лемме 17.24, deg π ¾ deg π0 = 0.
§ 17.7. Голоморфная и мероморфная связностьЕсли x : T → C — голоморфная вектор-функция одной или несколькихпеременных, её дифференциал — векторнозначная 1-форма на T. Так какслои над различными точками базы T различаются, так же как и в случаеголоморфных векторных расслоений, понятие дифференцирования сечениянеобходимо модифицировать. Таким образом, появляется понятие связности,или, точнее, связности на голоморфном векторном расслоении.Связность можно определить аксиоматически, задав её геометрическиесвойства.
Через Λ1 (T ) ⊗M () Γ (π) обозначим M (T )-модуль мероморфной1-формы со значениями в слоях голоморфного векторного расслоения πна T. Тензорное произведение рассматривается над полем мероморфныхфункций M (T ). По определению, 1-форму со значениями в слоях ω ⊗ s можноприменить к любому мероморфному векторному полю Z ∈ D(T ), и результат§ 17.8. Связности и линейные системы331будет мероморфным сечением ϕ · s ∈ Γ (π), ϕ = ω(Z).
Это обобщение понятиявекторнозначной 1-формы. Теперь определим понятие внешней производнойдля векторнозначных функций. Это дифференциальный оператор, называемый связностью расслоения.Определение 17.26. Мероморфная связность на голоморфном векторномрасслоении π — это C-линейный оператор ∇: Γ (π) → Λ1 (T ) ⊗ Γ (π), удовлетворяющий правилу Лейбница:∇(λs + λ0 s0 ) = λ∇s + λ0 ∇s0∇(ϕ · s) = ϕ · ∇s + df ⊗ s∀ s, s0 ∈ Γ (π), λ, λ0 ∈ C,∀ s ∈ Γ (π), ϕ ∈ M (T ).(17.13)Результат дифференцирования ∇s — это 1-форма со значением в слояхрасслоения на T.Пример 17.27. Если расслоение π тривиально с S = T × C , то стандартная(векторнозначная) внешняя производная ∇x = dx ∀ x : T → C , очевидно,удовлетворяет условиям (17.13). Фактически, для тривиальных расслоений мыможем легко описать все дифференциальные операторы, удовлетворяющиеаксиомам (17.13).
Действительно, если ∇, ∇0 — два таких оператора, то ихразность — это линейный оператор на каждом слое: из (17.13) немедленноследует, что(∇ − ∇0 )(ϕ · x) = ϕ · [(∇ − ∇0 )x].Поэтому разность между операторами определена (n × n)-матричнозначнойформой. Применяя её к касательному вектору в точке a ∈ T, мы получимлинейный автоморфизм слоя π−1 (a) ' C .Другими словами, любую связность ∇ на тривиальном расслоении можно представить с помощью подходящей мероморфной матричной 1-формыΩ ∈ Mat(n, Λ1 (T ) ⊗ M (T )) как разность ∇ = d − Ω, т.
е.∇x = dx − Ωx∀ x : T → C .(17.14)Матричная 1-форма Ω называется формой связности связности ∇.Для произвольных (нетривиальных) расслоений равенство выполненотолько локально, в тривиализующих картах.§ 17.8. Связности и линейные системыЕсли F : S → S0 — обратимое голоморфное отображение между двумя расслоениями π, π0 над одной базой, то можно перенести связность с S на S0 ,и наоборот. Две связности ∇, ∇0 на расслоениях называются F-сопряжёнными,если F(∇s) = ∇0 (Fs) для любого сечения s ∈ Γ (π).
Здесь Fs обозначает сечениеs0 ∈ Γ (π0 ), полученное применением функции F к сечению s.Предположим, что S и S0 — тривиальные расслоения (одного ранга) и F —калибровочное отображение, заданное матричной функцией F(a) ∈ GL(n, C)аналогично (15.9). Оно переводит векторнозначную функцию a 7→ x(a) в вектор-функцию x 0 (a) = F(a)x(a). Поэтому две связности, ∇ = d − Ω и ∇0 = d − Ω0,заданные матричными формами Ω, Ω0, сопряжены отображением F тогда332Глава 17. Голоморфные векторные расслоения и мероморфная связностьи только тогда, когда F(dx − Ωx) = d(Fx) − Ω0 Fx для любых векторнозначныхголоморфных функций x(·).
Это условие эквивалентно матричному тождествуΩ0 = dF · F −1 + FΩF −1 ,(17.15)которое естественным образом совпадает с законом калибровочного преобразования (15.10).Это замечание позволяет представить любую связность на голоморфномрасслоении набором матричных 1-форм, связанных с различными локальнымитривиализациями этого расслоения. Действительно, если Φα — локальнаятривиализация голоморфного векторного расслоения с мероморфной связностью ∇, то существует единственная мероморфная связность ∇α на тривиальном расслоении Uα × C , которая сопряжена со связностью ∇ функцией Φα .На пересечении двух карт Uαβ две различных тривиализации дают разные1-формы связности Ωα , Ωβ . Согласно (17.15), эти две матричные формы связанытождествомdHαβ = Ωα Hαβ − Hαβ Ωβ .(17.16)И наоборот, предположим, что задан набор тривиализаций голоморфного векторного расслоения, связанных матричных коциклом H = {Hαβ },и произвольный набор мероморфных матричных 1-форм Ωα , удовлетворяющий уравнениям перехода (17.15) на попарных пересечениях.
Тогда можноопределить мероморфную матричную связность ∇ как оператор, переводящий векторную коцепь {xα }, задающую сечение s ∈ Γ (π), в коцепь {θα }векторнозначных 1-форм θα = dxα − Ωxα . Необходимо проверить, что если изначальная коцепь удовлетворяет условию (17.10), то коцепь {ωα } определяетсечение расслоения Λ1 (T ) ⊗ Γ (π), т. е. удовлетворяет аналогичному тождеству Hαβ θβ = θα на попарных пересечениях.
Мы предоставим это читателюв качестве упражнения.Описание мероморфной связности при помощи матричной 1-формы в подходящей тривиализации позволяет перенести все понятия и теоремы теориилинейных систем, которые уважают голоморфные калибровочные преобразования, из локальной теории в глобальную. Мы пропустим тривиальнуюпроверку.Определение 17.28. Особые точки мероморфной связности ∇ — этоточки, в которых матрица связности Ωα в некоторой (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
