Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 75
Текст из файла (страница 75)
не особую)точку в бесконечности тогда и только тогда, когда lim →∞ tA(t) = 0. Та жесистема имеет фуксову особую точку в бесконечности, если предыдущееотношение не выполнено, но lim →∞ A(t) = 0.Следствие 16.26. Любую фуксову систему на римановой сфере можноP Aпривести к виду: ẋ = 1x.t − aОпределение 16.27. Матрицы A называются матрицами-вычетамисоответствующей фуксовой системы.Это определение является частным случаем определения 16.9.Обозначим M оператор монодромии a . При подходящем выборе путей γ ,обходящих a , получим: γ1 · .
. . · γ = e, где e — тривиальная стягиваемая петляна проколотой сфере P\(a1 , . . . , a ). Тогда:M . . . M2 M1 = E.(16.16)310Глава 16. Локальная теория регулярных особых точек и её приложенияОпределение 16.28. Данные монодромии — это набор m точек a1 , . . . , a ,удовлетворяющих условиям, описанным выше, и обратимые линейные операторы M1 , . . . , M ∈ GL(n, C), произведение которых в некотором заданномпорядке — тождественный оператор, см.
(16.16). Говорят, что данные монодромии реализуются фуксовой системой, если отображение монодромии,ассоциированное с петлёй γ , совпадает с M для всех j = 1, . . . , m.В случае когда расположение особых точек несущественно, мы будемрассматривать набор (M1 , . . . , M ) как данные монодромии.Следующая проблема оставалась открытой больше века.Проблема Римана — Гильберта: Любой ли набор обратимых операторов,удовлетворяющих соотношению (16.16), реализуется фуксовой системой?Д. Гильберт (1900 г.) высказал гипотезу, что ответ положителен.
А. А. Болибрух в 1989 г. построил контрпример.История проблемы, вместе с различными формулировками, изложенав главе 18. Здесь мы приводим различные положительные и отрицательныерезультаты, касающиеся проблемы Римана — Гильберта. Основные методы,использующиеся в главе 18, геометрические. Здесь мы построим контрпример Болибруха чисто аналитическими методами. Изложение основано наработе [114].16.8.1.
Уравнения класса BНабор нереализуемых данных монодромии мы построим в особом классеоператоров, определённом ниже.Определение 16.29. Будем говорить, что упорядоченный набор невырожденных линейных операторов принадлежит классу B, если их произведениеравно тождественному оператору и выполнены следующие условия:• жорданова форма любого оператора содержит ровно одну жордановуклетку;• набор операторов приводи́м, т. е. операторы имеют общее нетривиальноеинвариантное подпространство.Определение 16.30.
Будем говорить, что фуксова система принадлежитклассу B (или является системой Болибруха), если её данные монодромиипринадлежат классу B.Теорема 16.31. Спектр любой матрицы-вычета системы Болибруха состоит из одного элемента. Другими словами, все собственные значенияматрицы-вычета совпадают.Не ограничивая общности, можно считать, что бесконечность не являетсяособой точкой фуксовой системы.
Тогда систему можно привести к видуX AXż =z,A = 0.(16.17)t − aСледующая теорема описывает необходимые условия для реализуемостиданных монодромии класса B фуксовой системой.311§ 16.8. Фуксовы системы и проблема Римана — ГильбертаТеорема 16.32. Предположим, что данные монодромии класса B реализуются фуксовой системой. Тогда произведение собственных значений операторов набора равно единице (без учёта кратности, т. е. единственноесобственное значение каждого оператора учитывается один раз).Теорема 16.32 следует непосредственно из теоремы 16.31. Действительно,в условии теоремы 16.31 единственное собственное значение ν операторамонодромии M равно e2πλ , где λ — единственное собственное значение соответствующей матрицы-вычета (см.
следствие 16.20). Уравнение (16.17) показывает, что сумма следов матриц-вычетов равна нулю. Из теоремы 16.31 следует, что сумма собственных значений этих матриц также равна нулю. Поэтомупроизведение собственных значений операторов монодромии равно единице.Теорема 16.32 позволяет построить набор из трёх операторов, нереализующийся как операторы монодромии. Это известный контрпример Болибруха.Теорема 16.33. Следующие три матрицы M1 , M2 , M3 ∈ GL(4, C)1 −112,310 −4 −11 1 0 030 1 1 00 0 1 1 ,−4 −1 0 010 0 0 10−102 −1104 −1 4 −1 0 0 0 −100(16.18)невозможно реализовать как матрицы монодромии фуксовой системы.Доказательство.
Легко проверить, что данные три оператора принадлежат классу B. Действительно, их произведение — тождественный оператори жорданова нормальная форма каждого из них состоит из одной жордановойклетки. С другой стороны, соответствующие собственные значения равны1, 1 и −1. Поэтому эти операторы не могут быть реализованы как операторымонодромии фуксовой системы по теореме 16.32.Для окончательного доказательства корректности контрпримера мы должны доказать теорему 16.31.16.8.2. Инвариантные подсистемы нормализованной системыДоказательство теоремы 16.31.
Мы докажем теорему 16.31 ниже дляn = 4 при условии, что общее инвариантное подпространство операторовимеет размерность 2, как в предыдущем примере. В общем случае 4 и 2 следуетзаменить на n и k, а отношение 1/2 — отношением k/n. Геометрическоедоказательство усиленной теоремы 16.31 можно найти в конце главы 18.Рассмотрим два решения x 1 (t), x 2 (t), линейная оболочка которых заметает плоскость, инвариантную относительно всех операторов монодромии.Рассмотрим начальную точку t = a и выберем координаты в фазовом пространстве так, что в начальной точке x 1 (a) = e1 и x 2 (a) = e2 — первые два столбцаединичной матрицы E. Пусть X — фундаментальная матрица системы (16.17)с начальными условиями X (a) = E. В окрестности любой особой точки заменакоординат x = H (t)x приводит систему к нормальной форме Пуанкаре — Дюлака — Левеля.
Из уравнения (16.10) следует, что фундаментальная матрица312Глава 16. Локальная теория регулярных особых точек и её приложениянормализованной системы имеет вид:X = (t − a )Λ (t − a ) ,(16.19)где Λ — диагональная матрица. Мы будем считать, что её собственные значения λ убывают в следующем смысле: λ − λ+1, ∈ Z+ .
Тогда матрица I будетверхнетреугольной и нильпотентной. Калибровочное преобразование Hможно продолжить в произвольную односвязную область на проколотойримановой сфере P\(a1 , . . . , a ). Поэтому мы будем считать, что областьопределения любой матрицы H содержит точку a. Возникает следующийестественный вопрос: Куда переходят решения x 1 , x 2 при калибровочномпреобразовании H ?Ответ — ключевое место в доказательстве теоремы 16.31: образы решенийx 1 и x 2 при калибровочном преобразовании H принадлежат плоскости, натянутой на два первых столбца матрицы (16.19), так как линейный оператор,сопряжённый с жордановой клеткой, содержит только одно инвариантноеподпространство размерности 2 (как, впрочем, и любой другой размерности,см.
лемму 18.16).Рассмотрим первые два столбца матрицы X . Они образуют (4 × 2)-мат e = V , где V и 0 — это матрицы размера 2 × 2 ирицу V0(t − a )λ1, V (t) =0c (t − a )λ2, ln(t − a ),(t − a )λ2, λ1, − λ2, = k ∈ Z+ .(16.20)При обходе t вокруг точки a против часовой стрелки эта матрица умножаетсясправа наναm = 0 ν ,где ν = e2πλ , α = 2πic ν a− .Здесь нам не нужно точное выражение для первых двух столбцов матрицы X , мы используем только тот факт, что их линейная оболочка заметаетинвариантную плоскость оператора монодромии.
Решения H x 1 , H x 2 обладают тем же свойством. Но оператор монодромии эквивалентен однойжордановой клетке, поэтому эти две плоскости совпадают. Таким образом,для любого j в некоторой односвязной области U , содержащей a и a , имеетместо равенствоe .(x 1 (t), x 2 (t)) = H−1 (t)VОбозначим Y (t) левый верхний минор матрицы X (t) размера 2 × 2. В области U он имеет вид:Y (t) = h (t)V (t)при Y (a) = E и det h 6≡ 0.Это представление Y (t) завершает основную часть доказательства теоремы 16.31. Оставшаяся часть доказательства основана на формуле Лиувилля —Остроградского и теореме о сумме вычетов мероморфной функции. Об этомпойдёт речь в следующем параграфе.§ 16.10.
Монополи313§ 16.9. Определитель Вронскогоинвариантной подсистемыРассмотрим вронскиан det Y (t) = w(t).Функция Y на проколотой сфере Римана, принимающая значения в пространстве матриц порядка 2, обладает свойством монодромии и регулярна.А именно, при обходе вокруг точек a её значение умножается на m . С другойстороны, она имеет ограниченный рост в любой особой точке a . По теоремеРимана — Фукса, Y удовлетворяет регулярной линейной системе вида Ẏ = PY.Матричнозначная функция P мероморфна на сфере Римана. ПоэтомуXres tr P = 0.(16.21)∈PС другой стороны, по формуле Лиувилля — Остроградского,d(ln w) = tr P.dt(16.22)Из формулы (16.20) следует, что в каждой области U выполнено равенствоw(t) = (t − a )λ1, +λ2, det h (t).Таким образом,resd(ln w) ¾ λ1, + λ2, .dt(16.23)Во всех остальных точках вычет логарифмической производной w неотрицательный, потому что в этих точках функция w голоморфна.
Так каксобственные значения матриц-вычетов упорядочены,λ1, + λ2, ¾1tr A2∀ j ∈ {1, . . . , m}.Это значит, что разность между левой и правой частью неотрицательна.Утверждение теоремы 16.31 равносильно тому, что во всех нестрогих неравенствах имеет место равенство. Действительно, предположим противное.Пусть одно из неравенств строгое. Тогда из (16.21), (16.22), (16.23) следует:X10=res tr P > tr A = 0.∈P2Полученное противоречие доказывает теорему 16.31.Закончим эту главу леммой о перестановке Болибруха. Это мощный инструмент в исследовании линейных систем.§ 16.10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
