Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Это позволяет точно вычислить оператор монодромии.Рассмотрим многочлен с матричными коэффициентамиA(t) = A0 + A1 t + A2 t 2 + . . . + A t ∈ Mat(n, C[t])в нормальной форме Пуанкаре — Дюлака — Левеля, т. е. с матричными коэффициентами A , удовлетворяющими условиям (16.6). РазностьI = A(1) − Λ = (A0 − Λ) + A1 + . . . + A(16.9)постоянна и называется характеристической матрицей, соответствующейнормальной форме Пуанкаре — Дюлака — Левеля.Характеристическая матрица I нильпотентна. Действительно, выше показано, что все матрицы A1 , .
. . , A строго верхнетреугольны, A0 − Λ — тоже.Матрица I — строго верхнетреугольная матрица, составленная из внедиагональных элементов жордановой формы матрицы-вычета A0 и членов высшегопорядка ряда A(t). Заметим, что в общем случае Λ и I не коммутируют.Характеристическая матрица I позволяет выписать точное матричноерешение линейной системы в нормальной форме.Лемма 16.18. Система в нормальной форме Пункаре — Дюлака — Левеляс характеристической матрицей I и диагональной частью вычета Λ имеетфундаментальное матричное решениеX (t) = t Λ t .(16.10)Доказательство.
Прямое вычисление, с использованием (16.6), даётt Ẋ X −1 = Λ + t Λ It −Λ = t Λ (Λ + I)t −Λ == t Λ (Λ + A0 − Λ + A1 + . . . + A )t −Λ == (Λ + A0 − Λ) + tA1 + . . . + t A = A(t).Если бы матрицы t и t Λ коммутировали, монодромия системы была быравна произведению монодромий exp(2πiΛ) exp(2πiI) (в любом порядке).Оказывается, эта формула также верна, если [t , t Λ ] 6= 0.Следствие 16.19. Матрица монодромии M нормальной формы Пуанкаре —Левеля является произведением двух коммутирующих матрицM = exp(2πiΛ) exp(2πiI) = exp(2πiI) exp(2πiΛ).(16.11)Доказательство. Вспомним, что корневое подпространство оператора A0 ,соответствующее собственному значению, — максимальное инвариантноеподпространство в C , на котором A0 − λE нильпотентен.Пространство C является прямой суммой резонансных подпространств:по определению, каждое такое подпространство является объединением§ 16.6.
Дальнейшее упрощение нормальной формы фуксовых систем307корневых подпространств всех собственных значений, разность между которыми — целое число. По построению, каждое резонансное подпространствоинвариантно относительно A0 . Условия (16.6) гарантирует также, что резонансное пространство инвариантно относительно всех высших матричныхкоэффициентов A , k = 1, 2, . . .Экспонента диагональной матрицыexp(2πiΛ) = diag exp(2πiλ1 ), . . . , exp(2πiλ )— это скалярная матрица на каждом резонансном подпространстве матрицы A, и разность собственных значений, соответствующих этому подпространству, целочисленна.
Таким образом, на каждом резонансном подпространствеexp(2πiΛ) коммутирует с I, и значит, с t и exp(2πiI). В итоге оператор монодромии ∆ в окрестности особой точки можно записать в виде∆X (t) = t Λ exp(2πiΛ) t exp(2πiI) = t Λ t exp(2πiΛ) exp(2πiI) = X (t)M,где M задана произведением коммутирующих матриц, см. (16.11).Для нильпотентной матрицы I матричная степень t = exp(ln tI) — этомногочлен с матричными коэффициентами от ln t степени ¶ n. Поэтомулемма 16.18 действительно доставляет решение системы в замкнутой форме.Это позволяет описать инвариантные подпространства, т. е. координатныеподпространства в C различных размерностей, которые инвариантны относительно потока фуксовой системы (15.2).Следствие 16.20.
Собственные значения ν оператора монодромии фуксовой особой точки находятся во взаимно однозначном соответствии с собственными значениями λ матрицы-вычета, а именно, ν = e2πλ .Доказательство. Это немедленное следствие леммы 16.18. Для фундаментальной матрицы системы (16.10) его можно непосредственно проверить.Выбор другой фундаментальной матрицы меняет матрицу оператора монодромии на сопряжённую. При этом собственные значения сохраняются. § 16.6. Дальнейшее упрощение нормальнойформы фуксовых системРазные нормальные формы Пуанкаре — Дюлака — Левеля могут быть голоморфноэквивалентны друг другу.
Задача полной голоморфной классификации, включающаяраспознавание попарно неэквивалентных нормальных форм, была совсем недавносведена к чисто алгебраической проблеме классификации верхнетреугольных матрицпри помощи группы Гейзенберга.Рассмотрим расщепление C на резонансные подпространства способом, описанным в замечании 16.14, где собственные значения в каждой резонансной группеупорядочены в порядке невозрастания.Согласно нормальной форме Пуанкаре — Дюлака — Левеля, характеристическаяматрица I (см. (16.9)) системы (16.7)–(16.6) блочно-диагональна и согласована с резонансным расщеплением, и каждый блок — верхнетреугольная матрица.308Глава 16.
Локальная теория регулярных особых точек и её приложенияТеорема 16.21 (полная голоморфная классификация фуксовых особенностей [115]).Две различные системы, приведённые к нормальной форме Пуанкаре — Дюлака — Левеля голоморфно эквивалентны тогда и только тогда, когда их характеристическиематрицы (16.9) сопряжены постоянной блочно-диагональной матрицей с верхнетреугольными блоками.Доказательство. Так как матрицы-вычеты инвариантны, мы можем предположить, исходя из уравнения (16.10), что обе системы находятся в нормальной формеи имеют фундаментальные матричные решенияX1 (t) = t Λ t 1иX2 (t) = t Λ t 2 .(16.12)Если эти системы голоморфно сопряжены, то для некоторого аналитического матричного решения H(t) ∈ GL(n, O (t)) и постоянной матрицы U ∈ GL(n, C) имеем:H(t)X1 (t) = X2 (t)U, т.
е.t −Λ H(t) t Λ = t 2 U t −1 .(16.13)Так как I1 , I2 — нильпотентные матрицы, в правой части стоит матричный многочленот ln t, в то время как левая часть — сходящийся матричный ряд, содержащий толькоразличные степени t. Равенство возможно тогда и только тогда, когда обе частипостоянны. Подставляя в правую часть уравнения (16.13) t = 1, вычислим постоянную:H(t) = t Λ U t −Λ ,t 2 U = U t 1 .(16.14)Тот факт, что матрица H(t) содержит только неотрицательные степени t, означает,что U имеет блочно-треугольную структуру (заметим, что матричные элементы h (t)имеют вид u t λ −λ ).
Второе условие в (16.14) после дифференцирования по t в точкеt = 0 даёт I2 U = UI1 . Таким образом, характеристические матрицы I1 и I2 сопряженыматрицей U, что и требовалось доказать.И наоборот, если U — блочно-треугольная матрица, сопрягающая I1 и I2 , то онатакже сопрягает t 1 и t 2 . По предположению, H(t) = t Λ U t −Λ — многочлен с матричными коэффициентами, содержащий только неотрицательные степени t. Обращаяпредыдущие вычисления, мы приходим к выводу, что рассматриваемые фуксовы системы, приведённые к нормальной форме Пуанкаре — Дюлака — Левеля, голоморфно(на самом деле, полиномиально) сопряжены: H(t) t Λ t 1 = t Λ t 2 U.§ 16.7.
Нелокальная теория линейных системна сфере P: теорема Римана — ФуксаВ конце своей короткой жизни Б. Риман сформулировал следующую задачу:описать все функции, которые могут оказаться решениями линейных уравненийпорядка n с регулярными особыми точками.
Он сам дал ответ в короткой рукописи, которая была найдена спустя десять лет после его смерти. За то же времяЛазарь Фукс, развивая теорию комплексных линейных уравнений, получилтот же ответ.В современных обозначениях решение можно сформулировать на языкелинейных систем.Определение 16.22. Линейная система (15.1) на P называется регулярной,если Ω — мероморфная матрица и все её полюсы — регулярные особые точкисистемы (15.1).§ 16.8. Фуксовы системы и проблема Римана — Гильберта309В аффинной карте t ∈ C регулярную систему можно записать в видесистемы дифференциальных уравненийẋ = A(t)x,(16.15)где матричная функция A(t) мероморфна на P.
Любая мероморфная на Pматричная функция рациональна. По определению, все решения уравнения (16.15) имеют ограниченный рост во всех особых точках. Более того, выполнено свойство монодромии: при обходе вокруг особой точки a любаяфундаментальная матрица X умножается справа на неособую матрицу M .Теорема 16.23 (теорема Римана — Фукса). Любая матричная функцияс конечным числом точек ветвления или логарифмических особенностей, обладающая свойством монодромии и ограниченного роста, является фундаментальной матрицей некоторой регулярной системы.Доказательство. Пусть X — матричная функция, удовлетворяющая условиям теоремы.
Рассмотрим функцию A = Ẋ X −1 . Из следствия 16.5 вытекает,что она мероморфна на P и, следовательно, рациональна. Соответствующаялинейная система регулярна, так как матрица X — ограниченного роста вовсех особых точках по предположению теоремы.Теорема Римана — Фукса очень близка к теореме 16.7.
Последняя, в своюочередь, основана на идеях Римана.§ 16.8. Фуксовы системыи проблема Римана — ГильбертаОпределение 16.24. Линейная система на римановой сфере называетсяфуксовой, если все особые точки фуксовы в смысле определения 16.9, т. е.матричные коэффициенты правой части имеют только простые полюсы.Следующее утверждение можно проверить с помощью замены координатτ = 1/t.Предложение 16.25. Система (16.15) имеет регулярную (т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
