Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Общие факты о линейных системахВыбрав произвольно n линейно независимых начальных условий v1 , . . . ,. . . , v ∈ τ и составив из них невырожденную квадратную матрицу V, мы можем, как и раньше, использовать отображение голономии ∆ для построенияматричного решения s → X (s). Это решение будет невырожденно в каждойточке, так как все операторы голономии ∆ обратимы.Чтобы доказать последнее утверждение теоремы, рассмотрим матрицуC(t) = X −1 (t)X 0 (t), являющуюся частным двух фундаментальных матрицрешений одной системы (15.3).
Дифференцируя это частное, получим:dC = d(X −1 X 0 ) = −X −1 dX · X −1 X 0 + X −1 dX 0 = −X −1 ΩX 0 + X −1 ΩX 0 = 0.Это показывает, что частное является постоянной матрицей C.Замечание 15.4. Альтернативное доказательство продолжаемости решения линейной системы вдоль любого пути можно получить при помощи исключительно вещественных рассуждений. Начнём с общей оценки роста решения линейной системы.Лемма 15.5 (неравенство Гронуолла). Пусть A(·) — непрерывная матричнаяфункция на вещественном отрезке t ∈ [t0 ; t1 ] ⊂ R с равномерно ограниченной нормой:∀ t ∈ [t0 , t1 ]A(t) ∈ Mat(n, C),kA(t)k ¶ c.Тогда любое решение x(t) линейной системы (15.2) удовлетворяет неравенствуkx(t)k ¶ kx(t0 )k exp(c |t − t0 |).Доказательство.
Из предельного неравенства треугольника следует, чтоdkx(t)k ¶ kA(t)k · kx(t)k ¶ ckx(t)k,dtdln kx(t)k ограничена постоянной c всюдупоэтому логарифмическая производнаяdtна отрезке [t0 ; t1 ]. А значит, функция ln kx(t)k на отрезке [t0 ; t] возрастает не больше,чем на c|t − t0 |. Отсюда немедленно вытекает неравенство для нормы kx(t)k.Как видно из неравенства Гронуолла, любое решение с начальным условиемx0 ∈ R может покинуть компактное множество K = [t0 ; t1 ] × {kxk ¶ R0 } ⊂ R+1 , гдеR0 = kx0 k exp(R|t1 − t0 |), только через его правый торец K ∩ {t1 } × R . С другой стороны,из классической теоремы о продолжении для обыкновенных дифференциальных уравнений следует, что любое решение, начинающееся в компакте K ⊂ R × R в пространстве-времени может быть продолжено до границы компакта K.
Из этого и предыдущегорассуждений получаем, что решения линейных систем на вещественных интервалахвсегда определены глобально.Эту вещественную теорему можно использовать для продолжения решений вдольпроизвольно параметризованных кривых в T. Остаётся доказать, что ограниченныерешения действительно голоморфны на T, и проверить, так же как и раньше, чтов случае односвязной области решения не зависят от выбора кривой.Замечание 15.6 (метод вариации постоянных). Решение неоднородной системы можно получить из решения однородной с помощью метода вариациипостоянных. Если X (t) — фундаментальное матричное решение линейнойсистемы Ẋ (t) = ΩX , то частное решение неоднородной системы dY = ΩY + Θ,где Θ — известная матричная 1-форма на T, задаётся формуламиY (t) = X (t)C(t),dC = X −1 Θ.(15.4)293§ 15.3.
Монодромия и голономияRРешения второй системы можно найти прямым интегрированием: C = X −1 Θ,так как любая голоморфная 1-форма на односвязной римановой поверхности T точна. Любое решение неоднородной системы можно получить каксумму её частного решения Y (t) и общего решения однородной системы.§ 15.3. Монодромия и голономияЕсли риманова поверхность T не является односвязной, то листы слоения F, заданного уравнением dx −Ωx = 0 на T ×C , вообще говоря, не являются графиками вектор-функций: они могут пересекать вертикальные слоиτ = {t = a} × C ⊂ T × C более чем в одной точке.
На классическом языкеговорят, что решения системы (15.3) являются многозначными функциями t.На языке геометрии это означает, что слоение F может иметь нетривиальнуюгруппу голономии.Согласно определению из § 2.3, эта группа задаёт соответствие междупетлями на нулевом листе T ' L0 = {x = 0} ∈ F и линейным обратимымотображением ∆γ сечения τ в себя. В фиксированной системе координат насечении τ отображение ∆γ можно записать в виде квадратной матрицы Fγ .По построению, для любого фундаментального матричного решения X (t)системы (15.3) его аналитическое продолжение вдоль петли γ имеет вид:∆γ X (a) = Fγ X (a),Fγ ∈ GL(τ ) ' GL(n, C).(15.5)Заметим, что линейные операторы Fγ зависят от выбора начальной точки a.Различные конструкции зависят от выбора фундаментального матричного решения. Если фундаментальное матричное решение X (t) аналитическипродолжить вдоль петли γ ∈ π1 (T , a), то получится другое фундаментальноематричное решение.
По теореме 15.3 существует постоянная матрица M = Mγ ,называемая матрицей монодромии, такая что∆γ X (t) = X (t) · Mγ ,Mγ ∈ GL(n, C).(15.6)Матрица монодромии не зависит от выбора начальной точки a ∈ T в следующем смысле: равенство (15.6) выполнено для всех точек t, достаточноблизких к a, если отождествить петли γ ∈ π1 (T , t) с γ . С другой стороны,матрицы монодромии зависят от выбора фундаментального решения X (t):выбор другого фундаментального решения X 0 (t) = X (t)C приводит к заменематрицы Mγ на матрицу Mγ0 = C −1 Mγ C.Оба соответствия, голономия γ 7→ Fγ и монодромия γ 7→ Mγ , являютсялинейными представлениями фундаментальной группы:∀ γ1 , γ2 ∈ π1 (T , a)Mγ1 ·γ2 = Mγ2 Mγ1 ,Fγ1 ·γ2 = Fγ2 Fγ1 .(15.7)Здесь γ1 · γ2 — композиция петель γ1 и γ2 , т.
е. петля, получающаяся припоследовательном обходе γ1 и γ2 . Два представления эквивалентны: какследует из определений, матрица монодромии Mγ поэлементно совпадаетс матрицей голономии Fγ , если координаты на C выбрать стандартнымобразом, а фундаментальное решение выбрать так, что X (a) = E. Образ294Глава 15. Общие факты о линейных системахпредставления голономии или монодромии при X (a) = E в группе GL(n, C)будем называть группой монодромии линейной системы (15.3).§ 15.4. Калибровочное преобразованиеи голоморфная эквивалентностьОсобая структура фазового пространства, на котором определены линейные системы, задаёт класс допустимых отображений: допустимы не произвольные биголоморфные отображения декартового произведения T × Cв себя, а только лишь линейно преобразующие «вертикальную» координату.А именно, рассмотрим два цилиндра S = T × C и S0 = T 0 × C над римановыми поверхностями T и T 0 соответственно.
Каждый цилиндр снабжёнестественной проекцией π: S → T (соответственно π0 : S0 → T 0 ) на базу.Калибровочное отображение или калибровочное преобразование цилиндра —это голоморфный изоморфизм H : S → S0 , который уважает проекцию и линеен по каждому слою τ = π−1 (a) = {a} × C . Это означает, что существуетголоморфное отображение h : T → T 0 такое, чтоπ0 ◦ H = h ◦ π,−1H|τ : τ → τℎ()τ = π (a),0 −1τℎ() = πлинейно,(15.8)(h(a)).В координатной записи калибровочное преобразование имеет вид(t, x) 7→ (h(t), H(t)x),H ∈ GL(n, O (T )),(15.9)где H(·) — голоморфная матричная функция (по сути, это линейная заменазависимых переменных).
Отдельно отметим, что калибровочное преобразование — это слоение над отображением базы h. Оно обратимо тогда и только тогда, когда h биголоморфно и H(t) обратимо для любого t ∈ T. Практически мыпочти всегда будем рассматривать цилиндры над одной и той же римановойповерхностью и использовать отображения, расслоенные над тождественнымh = id. Голоморфная обратимая матричная функция H = H(t) ∈ GL(n, O (T ))называется сопрягающей матрицей.Калибровочное отображение индуцирует естественное действие на линейных системах, определённых на соответствующих цилиндрах.
Если X (t) — фундаментальное матричное решение системы dX = ΩX и H : (t, x) 7→ (t, H(t)x) —голоморфное отображение, то образ X 0 (t) = H(t)X (t) — фундаментальноематричное решение другой линейной системы dX 0 = Ω0 X 0 . Дифференцируя−1произведение dX 0 · X 0 , получаем выражение для новой матрицы системы Ω0 :Ω0 = dH · H −1 + H · Ω · H −1 .(15.10)Две линейных системы одного порядка, определённые на римановой поверхности T, назовём голоморфно (калибровочно) эквивалентными, если однуможно перевести в другую обратимым калибровочным преобразованием.Ясно, что группы монодромии и группы голономии голоморфно эквивалентных систем изоморфны, а матрицы соответствующих представленийсопряжены. Более того, если для вычисления групп монодромии использовать295§ 15.5.
Системы с изолированными особыми точкамифундаментальные решения X (t) и X 0 = H(t)X (t), то матрицы монодромиисовпадут. Это объясняет, почему во многих случаях матрицы монодромииудобнее, чем операторы голономии. Группы голономии для двух голоморфноэквивалентных систем, ассоциированные с одной и той же точкой базы a ∈ T,линейно сопряжены отображением H(a) ∈ GL(τ ).§ 15.5. Системы с изолированными особыми точкамиЛинейная система с изолированными особыми точками на римановой поверхности T — это сингулярное голоморфное слоение F на T × C , которое совпадает со слоением, определённым некоторой системой вида (15.3) всюду, кроме«маленького» критического множества S ⊂ T матричной 1-формы Ω.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
