Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Сепаратриса называетсятождественной, если любая регулярная точка a ∈ C\{0} имеет окрестность V,такую что любая точка b ∈ V принадлежит сепаратрисе слоения.Докажите, что любая сепаратриса голоморфного слоения с особенностямилибо изолирована, либо тождественна.Задача 14.11. Докажите, что число изолированных сепаратрис изолированной особой точки голоморфного слоения всегда конечно.ЧАСТЬ IIIЛокальная и глобальная теориялинейных систем• Общие факты о линейных системах• Локальная теория регулярных особых точек и её приложения• Глобальная теория линейных систем: голоморфные векторныерасслоения и мероморфная связность• Проблема Римана — Гильберта• Линейные дифференциальные уравнения высших порядков• Иррегулярные особенности и явление СтоксаАнализ голоморфных векторных полей и аналитических слоений,выходящий за границы локальной теории, изложенной в первыхдвух частях, оказывается весьма сложным, даже когда размерность фазового пространства равна 2.
Возможно, единственныймногомерный случай, который поддается как локальному, таки глобальному анализу, — это (неавтономные) линейные системы. Эти системы определены на голоморфных многообразияхспециального вида — голоморфных векторных расслоениях. Это«локально-цилиндрические многообразия», составленные из цилиндров (декартовых произведений) U × C , U ⊆ C, таким жеобразом, как «обычные» многообразия составлены из локальноевклидовых областей. В этой части описывается локальное и глобальное поведение линейных систем на голоморфных векторныхрасслоениях.Глава 15Общие факты о линейных системах§ 15.1. Линейные дифференциальные уравнения:пфаффовы, обыкновенные, матричныеРоль комплексной оси времени будет играть риманова поверхность 1 T.В дальнейшем наиболее важными будут следующие случаи: малая окрестность точки (проколотая или непроколотая), область на комплексной прямой C и римановой сфере (проективной прямой (CP 1 ), обозначаемой длякраткости как P).Мы не будем рассматривать линейные системы, определённые на римановых поверхностях положительного рода.Пусть n — некоторое натуральное число и ω ∈ Λ1 (T ), i, j = 1, .
. . , n, —набор из n2 голоморфных дифференциальных форм на T, представленныйв виде матричной 1-формы размера n × n.Ω=ω11 . . . ω1..............ω1 . . . ω∈ Mat(n, Λ1 (T )).Рассмотрим n-мерное комплексное пространство C с координатамиx = (x1 , . . . , x ). Одномерное Pполе прямых на T × C , заданное нулями голоморфных 1-форм θ = dx − =1 ω x ∈ Λ1 (T × C ), i = 1, . . . , n, определяетголоморфное слоение.
Если рассматривать его листы как графики голоморфных вектор-функций x(·): T → C , то функции будут решениями системылинейных пфаффовых дифференциальных уравненийXdx = Ωx, или, в развёрнутом виде, dx =ω x .(15.1)=1Заметим, что линейная система общего положения может иметь многозначные голоморфные решения, поскольку листы могут пересекать «вертикальные» плоскости {t = const} несколько раз.
Такие плоскости, имея в видудальнейшие обобщения теории, мы будем называть вертикальными слоями.e ⊆ T — карта в T и t : Ue → C — координатная функция, U = t(U)e —Пусть Uобласть её значений. Тогда 1-формы ω и соответствующая матрица Ω могутбыть представлены в следующем виде:ω = a (t) dt,1Ω = A(t) dt,То есть связное одномерное комплексное многообразие.290Глава 15.
Общие факты о линейных системахгде a (t) — голоморфные функции на U, вместе образующие голоморфнуюматричную функцию A(t) ∈ Mat(n, O (U)). В карте U система пфаффовых уравнений (15.1) приводится к системе n обыкновенных линейных дифференциальных уравненийẋ(t) = A(t)x(t),t ∈ U ⊆ C,x = (x1 .
. . , x )> ∈ C .(15.2)Вместе с векторными решениями уравнений (15.1) или (15.2) очень полезнорассматривать их матричные решения. Вообще говоря, можно рассматриватьпроизвольное матричное решение из n строк, но наиболее важен случай квадратных матриц n × n. Чтобы отличать матричные уравнения от векторных,будем использовать прописные буквы:dX = ΩX ,Ω ∈ Mat(n, Λ (T )),1Ẋ (t) = A(t)X (t),или(пфаффово уравнение),X = X (t) ∈ Mat(n, O (t)),A(t) ∈ Mat(n, O (T )),(обыкновенное уравнение),Ω = A(t) dt,(15.3)t ∈ T.Такие матрицы представляют наборы из n векторных решений системы (15.2)или (15.1), записанных по столбцам.§ 15.2.
Фундаментальные системы решенийРешения дифференциальных уравнений не всегда можно продолжить вдольлюбого пути. Однако решения линейных систем ведут себя очень хорошо.Предложение 15.1. Любое решение системы дифференциальных уравнений (15.1) можно продолжить как аналитическую вектор-функцию вдольлюбого простого пути γ ⊂ T. Результатом продолжения является линейноеотображение голономии ∆γ между слоями τ и τ , «растущими» над концамиa, b ∈ T пути γ.Доказательство. Очевидно, нулевое решение может быть продолженовдоль любого пути. По теореме о непрерывной зависимости решения отначального условия, любое достаточно близкое к нему решение также можетбыть продолжено.
В силу линейности, это распространяется на любое решение.Проведём это рассуждение более подробно. Нулевой лист, т. е. криваяT × {0} ⊂ T × C , будет листом любого слоения, определённого линейной системой (15.1). Эта кривая трансверсальна любому слою τ = {a}×C ⊂ T ×C .Пусть γ ⊂ T — произвольный путь, соединяющий точки a, b ∈ T. Тогда длялюбого слоения F, определённого системой (15.1), отображение голономии∆γ : (a, τ ) → (b, τ ) определено между достаточно малыми окрестностямиточек a и b на соответствующих сечениях τ , τ (см. § 2.3).
Однако, в силулинейности системы, отображение голономии является линейным и, следовательно, может быть продолжено до всюду определённого отображения междутрансверсалями τ , τ ' C . Действительно, пусть x 0 (t), x 00 (t) — решенияуравнения (15.1), соответствующие начальным условиям v 0, v 00 ∈ τα и достаточно малые, чтобы их графики и график их суммы x(t) = x 0 (t) + x 00 (t) лежали§ 15.2.
Фундаментальные системы решений291в достаточно малой цилиндрической окрестности кривой γ ⊂ T × {0} ⊂ T × C .Тогда их сумма x(t) тоже удовлетворяет уравнению (15.1)dx = d(x 0 + x 00 ) = dx 0 + dx 00 = Ωx 0 + Ωx 00 = Ω(x 0 + x 00 ) = Ωxс начальным условием v = v 0 + v 00 и для отображения голономии выполненоравенство ∆γ (v) = ∆γ (v 0 ) + ∆γ (v 00 ). Аналогично доказывается, что ∆γ (cv) == c∆γ (v) для всех достаточно малых v и cv.Далее мы считаем отображения голономии ∆γ глобально определёнными(и, в частности, обратимыми) линейными отображениями между различнымиэкземплярами пространства C при a 6= b или линейными отображениямигруппы GL(n, C), если a = b и γ — замкнутый путь.
Как следует из общихсвойств голономии, отображение ∆γ зависит только от гомотопическогокласса пути γ. Очевидно, что в этом случае решения линейной системыобразуют линейное пространство над C.Определение 15.2. Набор решений системы (15.1) называется фундаментальной системой решений системы (15.1) или (15.2) на односвязнойримановой поверхности T, если он является базисом в линейном пространстве всех решений на римановой поверхности T.
Фундаментальной матрицейрешений уравнения (15.3) называется голоморфная нигде не вырожденнаяматричная функция X : T → Mat(n, C), det X (t) 6= 0 для всех t ∈ T.Следующий классический результат описывает структуру линейного пространства решений линейной системы.Теорема 15.3. Произвольная линейная система (15.1) порядка n на односвязной римановой поверхности T имеет n-мерное линейное пространстворешений.
Отображение «взятия значения» x(·) → x(a), сопоставляющее каждому решению x(·) его значение в точке a, осуществляет изоморфизм междупространством решений и вертикальным слоем τ = {a} × C для произвольновыбранной точки a ∈ T.Любые n решений с линейно независимыми начальными условиями на τобразуют фундаментальную матрицу решений, определённую на всём пространстве T. Любые две фундаментальные матрицы решений X (t), X 0 (t)отличаются умножением справа на постоянную матрицу: X 0 (t) = X (t)C, гдеC ∈ Mat(n, C).Доказательство.
Пусть a ∈ T — фиксированная точка базы. Согласнопредложению 15.1 для любой точки x ∈ T отображение голономии ∆ сеченияτ = {t = a} на сечение τ = {t = s} — это однозначно определённый линейныйоператор, и для начального значения v ∈ τ функцияs 7 −→ x (s) = ∆ (v),s ∈ T,задаёт глобально определённое решение линейной системы (15.1). Отображение v → x (·), обратное к отображению взятия значения, — это линейноеотображение линейных пространств: оно сюръективно, так как по теореме 1.1решение существует, и инъективно, так как решение единственно.292Глава 15.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
