Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 67
Текст из файла (страница 67)
В обоихслучаях вес его прообраза E=σ−1 (a) — это сумма весов этих компонент. Болееточно, имеет место следующее утверждение.Лемма 14.24. Вес компоненты L0 ⊆ S0, являющейся раздутием компонентыL ⊆ S, равен исходному: w 0 (L0 ) = w(L ).Вес w 0 (E) исключительного дивизора E = σ−1 (a) ⊆ S0 равен сумме весовкомпонент S, проходящих через a,Xесли σ(E) = a, то w 0 (E) =w(L).(14.20): ∈ ⊆ Доказательство. Первое утверждение очевидно, поскольку π0 и π биголоморфно эквивалентны вне a по определению простого раздутия σ.Для доказательства второго утверждения выберем локальные координаты(x, y) вблизи a таким образом, что все (одна или две) компоненты дивизора S,содержащие a, являются координатными осями. Рассмотрим поднятие π∗ lлинейной функции l общего вида.
Мы утверждаем, что в этих координатах y h(x, y),если точка a неугловая,∗π l(x, y) =h(0, 0) 6= 0, x y h(x, y), если точка a угловая,где v и w — веса компонент {x = 0} и { y = 0} исчезающего дивизора S соответственно.Действительно, функция π∗ l делится на соответствующие степени x и yв силу замечания 14.23, поэтому достаточно доказать, что частное h в обоихслучаях не обращается в нуль в точке a = (0, 0). Но если бы h(0, 0) былоравно нулю, то линия уровня π∗ l = 0 имела бы ветвь, не лежащую в исчезающем дивизоре, проекция которой являлась бы комплексной сепаратрисойтривиального слоения dl = 0, что невозможно.Для завершения доказательства леммы рассмотрим любую трансверсальτ: (C, 0) → (M 0, a0 ) к исключительному дивизору E ⊂ M 0 в точке a0 ∈ E.
Заметим, что отображение σ переводит τ в гладкую аналитическую кривую,§ 14.9. Взвешенная сумма порядков малости279проходящую через начало координат на плоскости (x, y), трансверсальнопересекая одну или обе оси, т. е. локально уравнение кривой σ ◦ τ имеет видt 7→ (αt + . . . , β t + . . .), αβ 6= 0. Очевидно, ограничение функции π∗ l на этукривую имеет порядок w или w + v соответственно.
Теперь утверждениелеммы следует из замечания 14.23.Простой комбинаторный закон (14.20) позволяет нам немедленно вычислить порядки сепаратрис слоения, если известно полное разрешениеособенностей. А именно, пусть неугловая особая точка с ненулевым и неположительным характеристическим значением лежит на компоненте L веса wисчезающего дивизора. Тогда порядок кривой, полученной при схлопываниисепаратрисы этой особой точки, трансверсальной компоненте L, равен w.§ 14.9.
Взвешенная сумма порядков малостиПусть F — росток голоморфного слоения с особенностями на (C2 , 0),порождённого голоморфным векторным полем F ∈ D(C2 ,0) с изолированнойособой точкой в начале координат, а γ — росток (в начале координат) неприводимой инвариантной кривой (сепаратрисы) C = { f = 0} ⊆ (C2 , 0) для F(как обычно, функция f считается приведённой, т.
е. свободной от кратныхмножителей). Обозначим также через γ: (C1 ,0)→(C2 ,0) локальную параметризацию кривой C, которая существует в силу теоремы 2.26.Определение 14.25. Порядком малости слоения F вдоль неприводимойсепаратрисы γ называется порядок голоморфного векторного поля γ∗ F ∈∈ D(C1 , 0) — поднятия поля F,c0 (F, γ) = ord0 γ∗ F,F ∈ D(C2 , 0).(14.21)Очевидно, это определение не зависит ни от выбора поля F, порождающего F, ни от параметризации γ кривой C. Если C — гладкая кривая, топорядок малости равен порядку нуля ограничения F на C. Заметим, чтодля подсчёта порядка малости не удаётся использовать непосредственнопфаффову форму ω, задающую слоение, поскольку γ∗ ω ≡ 0.Ясно, что порядок малости инвариантен относительно биголоморфизмов,однако может меняться под действием необратимых отображений (раздутий).Предложение 14.26.
Пусть F — росток недикритического голоморфногослоения с особенностями на (C2 , 0), а F 0 — раздутие слоения F при помощистандартного моноидального отображения σ : (M, E) → (C2 , 0). ТогдаXc (F 0, E) = ord0 F + 1.(14.22)∈EЕсли γ ⊂ (C , 0) — неприводимая сепаратриса слоения F, а γ0 — её раздутие,пересекающее E в точке a = γ0 ∩ E, то2c (F 0, γ0 ) = c0 (F, γ) − ord0 γ · (ord0 F − 1).(14.23)280Глава 14. Комплексные сепаратрисы голоморфных слоенийДоказательство. Пусть F — голоморфное векторное поле, порождающее F,∂∂Fν = pν (x, y) + qν (x, y)∂x∂y— его главная однородная компонента порядка ν = ord0 F. Без потери общности мы можем считать, что все особые точки слоения F 0 принадлежатаффинной карте (x, z), z = y/x на комплексном листе Мёбиуса M.
В этойкарте векторное поле F 0, задающее F 0, принимает видF 0 = [qν (1, z) − zpν (1, z) + x(. . .)]∂∂+ x[pν (1, z) + x(. . .)] .∂z∂xПосле ограничения на гладкий исключительный дивизор E = {x = 0} мыполучаем полиномиальное векторное полеZ = hν+1 (z)∂,∂zhν+1 = qν (1, z) − zpν (1, z).Особые точки поля Z соответствуют корням многочлена hν+1 , причём порядокмалости поля Z в каждой особой точке равен кратности соответствующегокорня. Поэтому сумма всех порядков c (F 0, E) равна степени многочленаhν+1 , т. е. ν + 1. Соотношение (14.22) доказано.Для доказательства равенства (14.23) сравним векторное поле F 0, порождающее раздутие F 0 = σ∗ F вблизи точки a ∈ S ∩ γ0, с векторным полемF 00 = σ∗−1 F — поднятием поля F на M.
Эти два поля касаются одного и того жеслоения F 0 и различаются на множитель xν−1 : F 00 = xν−1 F 0. Таким образом,ограничение поля F 0 на кривую γ0 отличается от ограничения F 00 на скалярныймножитель (x ◦ γ0 (t))ν−1 . Остаётся заметить, что, согласно замечанию 14.23,сама функция x ◦ γ0 (t) имеет в точке t = 0 порядок малости ord0 γ.Первое утверждение предложения 14.26 наводит на мысль, что сумма порядков малости всех особых точек, полученных при раздутии π: (M, S)→(C2 ,0)изолированной особенности слоения F, полном или нет, может быть выражена через порядок ord0 F особенности. Это действительно так, хотяопределение порядка малости следует изменить для угловых точек исчезающего дивизора.SПусть S = L — разбиение исчезающего дивизора раздутия π, а F 0 —раздутие слоения F на M.
Пусть a ∈ S — точка исчезающего дивизора, либо«неугловая» (гладкая), либо угловая (трансверсальное пересечение двух различных гладких компонент). Пусть L 3 a — гладкая компонента исчезающегодивизора, проходящая через точку a. Введём обозначенияc (F 0, L),если точка a не угловая,0κ (F , L) =(14.24)0c (F , L) − 1, если точка a угловая,где c (F 0, L) — порядок малости, введённый в определении 14.25.
Во избежание путаницы в дальнейшем мы будем называть κ порядком малости вдолькомпоненты исчезающего дивизора, в отличие от порядка малости c вдольсепаратрисы.§ 14.9. Взвешенная сумма порядков малости281Определение (14.24) может показаться искусственным, однако оно приводит к элегантной формуле для суммы взвешенных порядков малости, доказанной Камачо, Линсом Нето и Садом [8].Теорема 14.27. Пусть F — голоморфное слоение с особенностями на(C2 , 0), а π: (M, S) → (C2 , 0) — раздутие без дикритических компонент, т. е.соответствующееслоение F 0 везде касается исчезающего дивизора S =S−1= π (0) = L .Тогда взвешенная сумма порядков малости слоения F 0 вдоль всех компонент исчезающего дивизора на единицу больше порядка исходной особенности:XXw(L )κ (F 0, L ) = ord0 F + 1.(14.25) ∈ Хотя суммирование в (14.25) формально распространяется на все точкикаждой компоненты L , ненулевой вклад дают только особые точки слоения F 0.
С другой стороны, все угловые точки появляются в этой сумме дважды,как порядок малости вдоль каждой из двух гладких компонент, проходящихчерез них.Доказательство теоремы 14.27. Доказательство проводится индукциейпо числу простых раздутий, необходимых для получения π.Для стандартного моноидального отображения σ : (M, E) → (C2 , 0) тождество (14.25) совпадает с (14.22), поскольку вес единственной компонентыисключительного дивизора равен 1.Предположим теперь, что для отображения π: (M, S) → (C2 , 0) выполненаформула (14.25). Рассмотрим произвольную точку a, простое раздутие σ множества M в точке a и композицию π0 : (M 0, S0 ) → (C2 , 0), π0 = σ ◦ π.
Доказательство будет завершено, если мы установим равенство (14.25) для раздутия π0.Это будет достигнуто, если мы покажем, что взвешенная сумма, появляющаяся в левой части равенства (14.25), вычисленная для слоения G = π∗ F и его∗простого раздутия G 0 = σ∗ G = π0 F, одна и та же.Как обычно, доказательство проводится отдельно для угловых и длянеугловых случаев.Случай 1.
Точка a = (0, 0) — неугловая. Пусть ν — порядок a на сепаратрисеL = { y = 0} слоения G = π∗ F, а w — вес компоненты, содержащей a. Тогдавклад этой точки в сумму (14.25) для слоения G на M в точности равен wκ,где κ = c — порядок малости слоения F вдоль L.После раздутия σ мы получим слоение G 0 = σ∗ G ; появится новая компонента множества S0 — исчезающий дивизор E = σ−1 (0), — а кривая L0(раздутие кривой L) будет пересекать E в новой угловой особой точкеслоения G 0.Вклад новых особенностей в сумму (14.25) для раздутого слоения G 0состоит из общей суммы взвешенных порядков малости вдоль E плюс порядокмалости вдоль L0 в точке a0. Новые веса могут быть немедленно вычисленыс помощью леммы 14.24:w(E) = w(L) = w,w(L0 ) = w(L) = w.282Глава 14.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
