Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Его удобносчитать дискретным (размерности 0), тогда слоение F определено на дополнении (T \ S) × C к аналитическому подмножеству комплексной коразмерности 1.Можно показать, что для того чтобы решение можно было продолжитьна дополнение к аналитическому подмножеству коразмерности больше 1,форма должны быть мероморфной, т. е. иметь полюс конечного порядкав каждой точке критического множества, ср. с задачей 15.5. В данном случае,в предположении, что критическая точка совпадает с началом координатt = 0, слоение можно задать голоморфным векторным полем:F = t +1∂+∂tX=1a (t)x∂,∂xr ∈ Z+ ,(t, x) ∈ (C1 , 0) × C .(15.11)Особенности этого слоения после максимального продолжения будут изолированными (априори они образовывали только аналитическое подмножествокоразмерности не меньше 2).
Так как они принадлежат замыканию нулевоголиста T × {0}, нулевой лист является общей сепаратрисой для всех особыхточек. Это наблюдение объясняет особую роль нулевого листа в исследованиилинейных систем.Определение 15.7. Линейная система с особыми точками на римановойповерхности T — это голоморфное слоение с особенностями, заданное системой Пфаффа (15.3) с мероморфной матричной 1-формой Ω ∈ Mat(n, M (T ))с множеством полюсов S ⊂ T. Точки множества S называются особыми точками или просто особенностями линейной системы.Очевидно, что линейная система с особыми точками в S является голоморфной (неособой) линейной системой на римановой поверхности T 0 = T \S.Так как T 0 не является односвязной при S 6= ∅, группа голономии (монодромии) системы, получающейся при ограничении, обычно нетривиальна.Определение 15.8. Группа монодромии линейной системы с особенностями на римановой поверхности — это группа монодромии её ограниченияна (T \S) × C .Пример 15.9 (система Эйлера).
Линейная система с постоянными коэффициентами Ω = A dt не имеет особенностей на комплексной плоскости C,но если её рассматривать как систему на сфере Римана P, она имеет полюс296Глава 15. Общие факты о линейных системахвторого порядка в бесконечности: в карте w = 1/t её матрица Пфаффа имеетвид: Ω = −Aw −2 dw.Простейший нетривиальный пример линейной системы на P с минимальным количеством простых полюсов — это эйлерова системаdX = ΩX ,Ω = A t −1 dt,A ∈ Mat(n, C),(15.12)заданная одной постоянной матрицей A, которая называется матрица-вычет.Множество особенностей системы (15.12) на P состоит из двух точек {0, ∞}.Эйлерова система интегрируема. Рассмотрим логарифмическую картуz = ln t на универсальной накрывающей C поверхности P\S.
В этой карте(15.12) превращается в систему с постоянными коэффициентами Ω = A dz, фундаментальное решение которой задаётся экспонентой матрицы. В исходнойкарте это решение принимает видX (t) = t = exp(A ln t),t 6= 0,(15.13)и его точки ветвления принадлежат S.Фундаментальная группа поверхности P\S = C\{0} — это циклическаягруппа, порождённая петлёй s 7→ exp 2πis, s ∈ [0; 1], обходящей начало координат.
Матрицу монодромии уравнения Эйлера, соответствующую построенному выше фундаментальному решению, легко вычислить:M = exp 2πiA.(15.14)Обход вокруг начала координат соответствует выбору другой ветви логарифма,сдвинутой на 2πi относительно первоначальной.Целое число r ¾ 0, равное порядку полюса матрицы Ω в особой точке,называется рангом Пуанкаре особенности. Очевидно, что ранг Пуанкареу голоморфно эквивалентных систем совпадает.Замечание 15.10. Класс голоморфных линейных систем можно расширитьдо класса мероморфных линейных систем. Класс допустимых калибровочныхпреобразований при этом естественно расширить, ослабив условие голоморфности матричной функции H(t) в уравнении (15.9) до мероморфностивместе с обратной функцией H −1 (t).Однако это оказывается слишком сильным требованием для мероморфнойэквивалентности. В частности, две системы с полюсами первого порядка(т.
е. с нулевым рангом Пуанкаре) мероморфно эквивалентны тогда и только тогда, когда их группы монодромии изоморфны локально и глобально(см. задачу 16.2). С другой стороны, ранг Пуанкаре не обязательно сохраняется при мероморфных калибровочных преобразованиях.Упражнения и задачиЗадача 15.1. С помощью теоремы 1.1 непосредственно докажите, что длякаждой точки a ∈ T существует маленькая окрестность Uα ⊂ T точки a такая,что линейная система (15.3) имеет фундаментальную матрицу решений Xαв U, определённую условием Xα (a) = E.Упражнения и задачи297Упражнение 15.2. Предположим, что покрытие {Uα }, построенное в предыдущей задаче, конечно.
Докажите, что матричные отношения Cαβ = Xα−1 Xβ ,определённые на попарных и тройных пересечениях Uαβ = Uα ∩ Uβ , удовлетворяют тождествамCαβ Cβα = id, Cαβ Cβγ Cγα = id(15.15)на Uα ∩ Uβ и Uα ∩ Uβ ∩ Uγ соответственно (если пересечения непусты).Задача 15.3. Рассмотрим односвязную риманову поверхность T и её покрытие Uα открытыми множествами такое, что непустые попарные и тройныепересечения связны.Докажите, что для любого набора матриц Cαβ , удовлетворяющего тождествам (15.15), можно найти постоянные матрицы Cα такие, что Cαβ = Cα−1 Cβ ,если пересечение Uα ∩ Uβ непусто.Рассмотрите случай неодносвязной поверхности T.Задача 15.4. Выведите из упражнения 15.2 и задачи 15.3, что любая линейная система на односвязной римановой поверхности имеет глобальноопределённое фундаментальное матричное решение.Задача 15.5.
Пусть F — голоморфное слоение, порождённое линейнойсистемой dx − Ωx = 0 на цилиндре T × C вне критического множества S × C ,где S ⊂ T дискретно.Докажите, что это слоение продолжается единственным образом до голоморфного слоения на T × C с множеством особых точек коразмерности¾ 2 тогда и только тогда, когда Ω имеет полюс конечного порядка в каждойточке S.Задача 15.6. Докажите, что любая линейная система на P с двумя простыми полюсами голоморфно эквивалентна системе Эйлера (15.12).Упражнение 15.7. Докажите, что любая невырожденная матрица Mможет быть реализована как матрица монодромии некоторой эйлеровойсистемы.Задача 15.8.
Пусть A1 , . . . , A ∈ Mat(n, C) — коммутирующие постоянныематрицы, A1 + . . . + A = 0 и t1 , . . . , t ∈ C — различные точки комплекснойплоскости.PdtПокажите, что рациональная 1-форма Ω = 1 Aопределяет линейt − t1ную систему с особенностями на P . Опишите критическое множество игруппу монодромии этой системы.Задача 15.9. Докажите, что две голоморфно или мероморфно эквивалентные линейные системы имеют изоморфные группы монодромии.Задача 15.10 (формула Лиувилля — Остроградского).
Пусть X (t) — мероморфная матричная функция в области U с det X 6≡ 0 и Ω = dX · X −1 —мероморфная матричная 1-форма («логарифмическая производная» матрицы X ). Докажите, что скалярная 1-форма tr Ω — это логарифмическая производная det X , т. е. она удовлетворяет тождеству tr Ω = d(det X ) · (det X )−1 в U,ср. с (1.16).Глава 16Локальная теория регулярныхособых точек и её приложенияВ этой главе мы рассматриваем линейные системы, определённые ростками мероморфных 1-форм Ω = A(t) dt в начале координат, для которых нульявляется особой точкой t ∈ (C, 0) конечного порядка r + 1. Такой росток мыбудем называть особой точкой линейной системы или просто особенностью.Фундаментальная группа проколотой окрестности (C, 0)\{0} — это бесконечная циклическая группа, порождённая одной петлёй γ0 вокруг началакоординат, обходимой против часовой стрелки.
Оператор аналитическогопродолжения вдоль петли обозначим ∆, опуская обозначение петли. Оперируяс матрицами монодромии, обозначение петли мы также будем опускать:∆X (t) = X (t)M,M ∈ GL(n, C).(16.1)Понятие калибровочной эквивалентности (голоморфной или мероморфной)локально, поэтому можно говорить о (локально) голоморфно (мероморфно)эквивалентных особенностях линейных системы. Формально мы рассматриваем калибровочные отображения «бесконечно узкого цилиндра» (C, 0) × Cв себя, имеющие вид (15.9), где h : (C, 0) → (C, 0) — тождественный росток,а обратимая матричная функция H(t) принадлежит GL(n, O (C, 0)) илиGL(n, M (C, 0)) соответственно. В то же время мы можем рассматриватьформальные калибровочные преобразования, с формальным матричнымрядом H, H ∈ GL(n, C[[t]]), естественно действующие на формальных линейных системах, определённых формальными уравнениями Пфаффаt +1 dx = Ωx,Ω = A(t) dt,A ∈ Mat(n, C[[t]]).Наша ближайшая цель — дать локальную классификацию особых точек(голоморфных, мероморфных или формальных) линейных систем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
